Formelsammlung Numerische Mathematik

Formelsammlung Numerische Mathematik

Lineare Gleichungen

Normen:

Vektoren Matritzen

1-Norm, Summennorm: ∥x∥₁=

∑

i=1 n

∣x_i∣ 1-Norm, Spaltensummennorm: ∥A∥₁= max j=1,..., n

∑

i=1 n

∣a_ij∣

Empfindlichkeit bzw.

Fehlerfortpfl.kennzahl LGS

condA=∥A∥⋅∥A^{- 1}∥

condAgroß:

starke Fehlerauswirkung 2-Norm, euklidische Norm: ∥x∥2=

 ^∑

^{i=1n xi2} 2-Norm, euklidische Norm: ∥A∥₂=



^{pAT⋅A}

für A⋅x=b

∥x∥

∥x∥^{≤condA⋅}

∥b∥

∥b∥

∞−Norm , Maximumnorm

für Abschätzung ∥x∥∞= max

j=1,...,n∣xi∣ ^∞−Norm , Zeilensummennorm:

für Abschätzung ∥A∥_∞= max

i=1,..., n

∑

j=1 n

∣a_ij∣ ^∥x∥

∥x∥=rel. Fehlerx ;b analog

Inverse Matrix: Determinante: Nachiteration:

A =



^{aa1121 aa1222}



^{ A- 1 = det A1 ⋅}



^{−aa2221−aa1112}



det A = a₁₁⋅a₂₂−a₁₂⋅a₂₁

1.

r=b−A⋅



x ´

b´

2.

A⋅x=r

3.

x_verb=x' x

4.

r_verb=b−A⋅x_verb mit r=Residuum

Multiplikation: Transponierte Matrix:



^{aaa112131 aaa122232 aaa132333}



^⋅



^{bbb112131 bbb122232 bbb132333}



⁼

^

^{a11⋅b11a12⋅b.... 21a13⋅b31 a11⋅b12a12⋅b.... 22a13⋅b32 ......}

^

^A=



^{aaa112131 aaa122232 aaa133323}



^AT=



^{aaa111213 aaa212223 aaa313233}



L-R-Zerlegung:

A = L⋅R Beispiel:

Z₁ Z2

Z3



^{−1−12 −120 −021}



^{ 1/}1/²2^⋅⋅^ZZ¹₁^



^{200 −1/2−13/2 −1/2−13/2}



^{ 1/3⋅Z}3



^{20 3/20 −10 −1/−14/32}



^{=R ; L=}



^{−1/2−1/21 −1/301 001}



→ ^{A ⋅ x = b L ⋅ z = b R ⋅ x = b}



^{−1−12 −120 −102}



^⋅



^xxx123



⁼

^

¹⁰⁰

^

^

^

^{−1/−1/122 −1/013 001}

^

^⋅



^zzz123



⁼

^

¹⁰⁰

^

^



^zzz132



⁼

^

^1/2/123

^{ }

^{20 3/0 −102 −1/4−1/32}

^

^⋅



^xxx123



⁼

^

^1/2/123

^

LGS nach Cramer: ^xi = Di

D Di = Hilfsdeterminante indem man die i-te Spalte durch die rechte Seite b tauscht Bsp.: ^A=



^{152 −1 312 14}



^B=



⁻⁷²¹



D=det A=- 2 ; D₁ =



^{−721 −1 312 14}



^{=−2 ; D2 =}



^{215 −7 321 14}



^{=−4 ; D3 =}



^{215 −112 −721}



⁼⁴

aus A⋅x = B folgt: ^x1= D₁

D=−2

−2=1 ; x₂=D₂ D=−4

−4=2 ; x₃=D₃ D= 4

−2=−2

Iterative Verfahren:(nach Jacobi und Gauß-Seidel) Konvergenzkriterium:

nur hinreichend

Zeilensummenkrit.:

∑

j=1...n j≠i

∣a_ij∣∣a_ii∣ Spaltensummenkrit.:

∑

i=1...n i≠j

∣aij∣∣ajj∣

Falls Zeilensummenkriterium nicht erfülltweitere Betrachtung: 1.durch Vertauschung der Gleichungen (Zeilen + rechte Seite) oder 2.Matrix A + rechte Seite b mit der Transponierten A^Tmultiplizieren A ´=A^T⋅A ; b´=A^T⋅bneuesGleichungssystem A ´⋅x=b´

Gesamtschrittverfahren nach Jacobi:x^k_i^1=b_i a_ii−

∑

k=1...n k≠i

a_ik

a_ii⋅x_k^k Einzelschrittverfahrennach Gauß−Seidel:xi=b_i aii

−∑

k=1...n k≠i

a_ik aii

⋅xk

2.Weg:

Gesamtschrittverfahren Jacobi:A⋅x=b Dann heißt die Fixpunktiteration

Dx^n1=−LRx^nb

d.h. x^n1=−D^-1LRx^nD^-1b

A=

 _

^{aa02131 a0032 000}



=L



 _

^{a0011 a0022 a00}33



=D



 _

^{000 a0012 aa01323}



=R

2.Weg:

EinzelschrittverfahrenGauß−Seidel:A⋅x=b Dannheißt die Fixpunktiteration:

DLx^n1=−R x^nb d.h. x^n1=−DL^-1R x^nDL^-1b

Nichtlineare Gleichungen

Fixpunktverfahren: Eigenschaft: Nullstelle bei Funktion meistens :  x=x Konvergenzkriterium: ∣'x_K∣_max = M  1 x_k1 =  x_k Startwert:Schnittpunkt vonGerade y=k mit x

Fehler e_i1=e_i^q z.B:fx=2x−cosx ; fx=0  nach x Auflösen:  x = 1/2⋅cosx x_k1 =  x_k = 1/2⋅cosx_k ; ∣'x_k∣_max = M  1 (im Intervall)  Konvergenz

a-priori-Fehlerabschätzung (nach k Schritten) a-posteriori-Fehlerabschätzung(Vorabschätzung)

 ≤ M^k

1−M⋅∣x₁−x₀∣ k ≥ 1

lnM⋅ln



^{1−M⋅∣x}1−^x₀∣



^k=Anzahl notwendiger^=Fehler

Schritte fürk Aufrunden  ≤ M

1−M⋅∣xk−xk−1∣

zur Berechung von k : Maximale Anzahl an benötigten Schritten mit M=∣'x_K∣_max;Wahrscheinliche Anzahl an Schritten mit M=∣'x_K∣für x_k=Startwert c ≥ ∣xk1−∣

∣x_k−∣^q

q:Konvergenzordnung q=1:lineare Konvergenz q=2 :quadratische Konvergenz

für lineare Konvergenz gilt:

∣

^ddk1k

∣

^{=∣x∣xk2}k1^−x−x^k1_k∣^∣≈const=M≈∣'∣ M=Konvergenz- faktor Differenzen = d_k1=x_k1−x_k Konvergenzfaktoren=Quotienten der Differenzen falls Konvergenzfaktoren const.lineare Konvergenz

falls Konvergenzfaktoren nicht const.steiler

Newton: Eigenschaften: konvergiert quadratisch ; höhere Konvergenzordnung Globale Fehlerordnung q=2; Fehler verringert sich quadratisch x_k1 =  x_k = x_k− fxk

f 'x_k Konvergenzkriterium: ∣'x_K∣_max = fxk⋅f ' 'xk

f 'x_k²  1 Horner Schema anhand eines Beispiels:

P₃x = 1x³2x³3x4 ; x₀ = 2

1.Schritt: 2. Schritt: 3.Schritt:

1 2 3 4

1 4 11 1 6

x₀=2 2⋅1 2⋅4 2⋅11

x₀=2 2⋅1 2⋅6 x₀=2 2⋅1

∑

¹



^{4 11 [26 = P3x0]}

_∑

1



6 ^{[23 = Q2x0 = P3'x0 ]}

^∑

^{1 [8 = R1x0 = Q2'x0]}

1x₀²4x₀11=23=Q₂x₀=P₃'x₀ 1x₀6=8=R₁x₀=Q₂'x₀ für Newton x₁=x₀− P₃x₀ P₃'x₀

Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme:

Jacobi Matrix: ^{J =}



^∂∂∂∂^gfxx ^∂∂yf

∂g

∂y



Konvergenzkriterium:

DetJ≠0

Newton−Raphson−Schritt

x^k1 = x^k−J^-1⋅fx^k ^{für J- 1siehe:}LineareGleichungen z.B mit:

fx , y = x²y²−25=0  Kreis um P0,0mit Radius



^{25 ; gx , y = x2−5x−4y4=0  Parabel P0=5;1}

J∣_P0 =



^{105 −42}



^{J-1 f5;1=}



^{gf55;;11}



^{P1=P0−J-1⋅f5;1}

Interpolation

allgemeines Interpolationspolynom: P_nx_i =

∑

k=0 n

a_k⋅x_i^k = y_i konkret: Px_i = a₀a₁⋅x_ia₂⋅x_i²a₃⋅x_i⁴....

Px_i=y−Koordinaten von Punkten mit den entsprechenden x−Wertenmehrere Gleichungen

BeimSkizzieren der interpolierenden Kurve zuerst gegebene Punkte einzeichnen , dann Punkte interpolierend verbinden

Bedingungsgleichung lösen nach Gauß/Kramer Newton Interpolationspolynom:

konkret: P_nx = c₀c₁x−x₀c₂x−x₀ x−x₁c₃x−x₀x−x₁ x−x₂...

=> P_nx₀ = y₀=c₀ P_nx₁ = y₁=c₀c₁x₁−x₀ P_nx₂=y₂=c₀c₁x₂−x₀c₂x₂−x₀ x₂−x₁ x_i f_i fx_i, x_i1 fx_i, x_i1, x_i2

x_o fx



₀

c0

x₁ fx₁

x₂ fx₂

x3 fx3

⋱

⋰

⋱

⋰

⋱

⋰

fx₁−fx₀

x₁−x₀ =



fx_0,x₁

c₁

fx2−fx1

x₂−x₁ = fx_1,x₂ fx₃−fx₂

x3−x2

= fx_2,x₃

⋱

⋰

⋱

⋰

fx_1,x₂−fx_0,x₁

x₂−x₀ =



fx0,x1,x2

c₂

fx_2,x₃−fx_1,x₂

x₃−x₁ = fx_1,x_2,x₃

⋱

⋰

fx1,x2,x3−fx0,x1,x2

x₃−x₀ =



fx_0,x_1,x_2,x₃

c₃

Interpolationsfehler e_max: konstante Interpolation:e_max=1/2⋅h⋅∣f '_max∣ lineare Interpolation:e_max=1/8⋅h²⋅∣f^2_max∣ hierzu∣f^_max^k∣abschätzen quadratische Interpolation:e_max=^{3/27⋅h3⋅∣f}max

3∣ kubische Interpolationfür mittleres Intervall=3/128⋅h⁴⋅∣f_max^4∣⇔1/24⋅h⁴⋅∣f_max^4∣für äußere Intervalle

kubische Splines: für n1Stützstellen →4nUnbekannte S_ix=a₀a₁xa₂x²a₃x³ für weitere ianstelle von a , b einsetzten Bsp.: x₀=−1;1 ; x₁=0;0 ; x₂=1;42Splines S₀und S₁ ; 8Unbekannte

Bedingungen:S₀−1=1 ; S₀0=0 ; S₁0=0 ; S₁1=4 ; S₀'0=S₁'0 ; S₀' '0=S₁' '0 ; S₀' '−1=0 ; S₁' '1=0

Approximation

durch Taylor-Polynome: P_nx=fx₀f 'x₀x−x₀f ' 'x_o

2! x−x₀²...f^nx₀ n ! x−x₀ⁿ Restglied:

Fehlerfkt. Rnx=f^n1 

n1!⋅x−x0^n1mit ∈ ]x0,x[ e_max=max∣f^n1∣⋅ h^n1

n1!mit ∈ ]x₀−h , x₀h[

durch Polynome: P_m=c₀c₁xc₂x²...c_nxⁿ m=Anzahl Stützstellen ; n=Polynomgrad Bestimmungsgleichung Koeffizienten c Fehlerquadratsumme F: Bedingung:F minimal zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten [X] ⋅ c = y

F=

∑

i=0 m

p_nx_i−y_i²=

∑

i=0 m

r_i²mit r=Abstand approximierte Gerade zu exaktem Punkt

Bestimmung der Koeffizienten c: 1. [X]^T⋅[X]=[M] 2. [X]^T⋅y=z 3. [M]⋅c=z



^{1111: xxxx:m123 xxxx:122232m2 xxxx:m3132333 ............ xxxx:mn1n2n3n}



^⋅

^

^cccc:012n

^

⁼

^

^yyyy:m123

^

nichtlineare Approximation

1.Überlegung:Wie formt man durch Substitutioneine nichtlineare Gleichung zu einer linearenGleichung um z.B:y=a₀⋅e^a1⋅x  lny=lna₀a₁⋅x mit V=lny ; ₀=lna₀;U=x ; ₁=a₁  V=₀₁⋅U 2.Umformen der gegebenen Ergebnistabelle mit den oberen Substitutionen V=lny und U=x

3. 1) [U]^T⋅[U]=[M]Bestimmen von[M] 2 ) [U]^T⋅V= ZBestimmen vonZ 3 ) [M]⋅=ZLösen des LGS nach 4.Rücktransformieren des Ergebnisvekgors a mit: ₀=lna₀; ₁=a₁

Numerische Integration

summierte Integrationsformeln: Fehler: n⋅h=b−a

global lokal

Rechteck: Q_R=h^fx0fx₁...fx_n ^{ERn=b−a⋅1}₂^{⋅h⋅f ' ER=1}₂^{⋅h2⋅f ' }

Trapez: Q_T=h

2^fx02fx₁2fx₂...fx_n ^ETn=−b−a⋅1

12⋅h²⋅f ' '  E_T=−1

12⋅h³⋅f ' '

Simpson: Q_S=h

3^fx04fx₁2fx₂4fx₃...2fx_n−24fx_n−1fx_n ^ESn=−b−a⋅1

180⋅h⁴⋅f^4 E_S=−1

90⋅h⁵⋅f^4  Kepler: Q_S2=1

34Q_T2−Q_T1=h

3^fx04fx₁fx₂ E_Sn=−b−a⋅ 1

180⋅h⁴⋅f^4 E_S=−1

90⋅h⁵⋅f^4 

Richard – Extrapolation: Fehler global: Rombergschema:

aus Trapez: Q_S2n=1

34Q_T2n−Q_Tn ^ET2n=1

3Q_T2n−Q_Tn aus Simpson: Q_B2n=1

1516Q_S2n−Q_Sn E_B2n=1

15Q_S2n−Q_Sn

Numerische Differentiation

tatsächlicher Fehler= exakter Wert – numerischer Wert Taylor Reihe: D=dfx

dx ∣_x=...=D_V/R/ZE_VV/R/ZE_DV/R/Z E_D=Datenfehler/Rundungsfehler ; E_V=Verfahrensfehler Differenzenquotient Verfahrensfehler Datenfehler

D_Vx=fxh−fx

h [vorwärts] ^EVx=−h

2⋅f ' ' ^EDV=∣±∣∣±∣

h D_Rx=fx−fx−h

h [rückwärts] E_Rx=h

2⋅f ' ' E_DR=∣±∣∣±∣

h D_Zx=fxh−fx−h

2h [zentral] E_Zx=−h²

6⋅f ' ' '  E_DZ=∣±∣∣±∣

2h entspricht 3-Punkte-Formel Sonderformen:

5-Punkte-Formel: Verfahrensfehler Datenfehler D5Pktx= 1

12h[fx−2h−8fx−h−8fx−2h−fx2h] E_5Pktx=−h⁴

30⋅f^5 E_D5Pkt=∣±∣8⋅∣±∣8⋅∣±∣∣±∣

12⋅h 2. Ableitung zu zentralen Differenzenquotienten:

D_2Zx=fx−h−2fxfxh

h² E_2Zx=−h²

12⋅f^4 

Richard – Extrapolation Rombergeschema:

DRich



^h2



⁼

1 3[ 4D

Z



^h2



^{−DZh] ERich}



^h2



⁼

1 3[D

Z



^h2



^{−DZh] Fehler∝h4}

DRich−verbessert=1 15[ 16D

Rich



^h2



^−DRich



^h4



^{] Fehler∝h6}

optimales hopt: ∣E_G∣=∣E_D∣∣E_Z∣ →

∣

^dEdh^G

∣

⁼

∣

^dEdh^D

∣

^

∣

^dEdh^Z

∣

= 0 setzen → dann nach hopt auflösen (EZ entspricht EV) h

h - -

h/2 -

h/4 h/8

Q_T Q_S Q_B

Q_Tn

Q_T2n Q_S2n

Q_T4n Q_S4n Q_B4n Q_T8n Q_S8n Q_B8n

h

h - -

h/2 -

h/4

D_Z D_rich Drich-v erbessert

D_Zn

D_Z2n D_{rich 2n}

D_Z4n D_{rich 4n} Drich-v erb 4n

DGL

Grundform: y ' = fx , y Steigung am Ort x mit Funktionswert y Tatsächlicher Fehler Bestimmung Fehlerordnung Euler Verfahren (Fehlerordnung 1 / Doppelte Schrittweite =>doppelter Fehler) e = y_exakt−y_{Verfahren e}^e_h^h_/2^{ =} _y^{yexakt−yh}

exakt−yh/2

x_i1 = x_ih y_ii = y_ih⋅fx_i, y_i z.B.:42²Fehlerordnung q=2

1.Schritt: x_1 = x_0h y_1 = y₀h⋅fx_0,y₀ mit Anfangswerten x0,y0,y´0=f(x0,y0) Heun Verfahren (Fehlerordnung 2 / Doppelte Schrittweite => 4-facher Fehler)

K1 = h⋅fx0,y0 ; K2 = h⋅fxi1, yiK1 ; yi1 = yi1

2⋅K1K2 yi1P = yih⋅fxi, yi ; yi1 = yih

2⋅



^fxi, yifxi1, yi1P



Runge - Kutta – Verfahren (Fehlerordnung 4 / Doppelte Schrittweite => 16-facher Fehler) K₁ = h⋅fx_i, y_i ; K₂ = h⋅fx_ih

2,y_iK1

2  ; K₃ = h⋅fx_ih 2, y_iK2

2 K4 = h⋅fxi1, yiK3 ; K = 1

6⋅K12⋅K22⋅K3K4 ; yi1 = yiK Richardson Extrapolation

Euler: y_R = 2⋅y



^h2



^−yh Fehlerschätzung: e



^h2



^{= y}



^h2



^−yh

Heun yR = 1

3⋅

[

^4⋅y



^h2



^−yh

]

Fehlerschätzung: e



^h2



^{= 1}3⋅

[

^y



^h2



^−yh

]

Runge Kutta yR = 1

15⋅

[

^16⋅y



^h2



^−yh

]

Fehlerschätzung: e



^h2



⁼ 15¹⋅

[

^y



^h2



^−yh

]

Bemerkung: Für die Richardson Extrapolation sind Ergebnisse für zwei unterschiedliche Schrittweiten von nöten.

Adaptives Verfahren: Anpassung der Schrittweite an den Verlauf der Lösungsfunktion unter verwendung des lokalen Diskretisierungsfehlers. (z.B.:

Abschätzung des Fehlers mit Richardson als Schranke für Schrittweitenanpassung) DGL 2. Ordnung

1. Umstellen nach y'' 2. Substituieren mit z=y' ; u=z'=y''

3.Substituiere Anfangsbedingungen 4. Lösen der zwei DGL's 1. Ordnung mit EC/H/RK z.B: y ' = 4⋅x²−2⋅y mit z = y ' und u = z ' = y ' '  y ' = z und z ' = 4⋅x²−2⋅y DGL 3. Ordnung

1.Umstellen nach y'''

2. Substituieren mit 3.Substituiere Anfangsbedingungen 4. Lösen der zwei DGL's 1. Ordnung mit EC/H/RK hier nach Heun u₀=y y0=u₀0 u^P_i1^=u_ih⋅fx_i,u_i

u₁=y '=u₀ y '0=u₁0 u_i1=u_ih

2⋅



^fxi,u_i fx_i,u_i1^P



u₂=y ' '=u₁' ; y ' ' '=u₂' y ' '0=u₂0

z.B: 2y ' ' '−3y '2y=4sinx  y ' ' '=3

2y '−y2sinx 



^uuu012'''



⁼



^{32u1−u0uu2sinx12 }



^;

^

^{uuu0i11i12i1PPP}

^

⁼

^

^{uuu01i2ii}

^

^h⋅



^{32u1i−uuu0i1i2i2sinxi}





^{uuu0i1i2i111}



⁼



^{uuu0i1i2i}



^h2⋅

 ^

^{32u1i−uuu0i1i2i2sin xi}

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Fehler und Rechenaufwand:

Formelsammlung von: Korbinian Antwerpen, Christoph Raichl, Johannes Sattler, Tomas Zöller

Verfahren Funktionsauswertungen Rechenaufwand Fehler h → h/2 h → h/2

Euler 1 *2 *1/2

2 *2 *1/4

4 *2 *1/16

pro Schrit Heun

Runge-Kutta