Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 17. M¨arz 2017
H¨ohere Mathematik II (MB)
15. ¨Ubung : Taylor-Formel, Newton-Verfahren
15.1 Schreiben Sie f¨urf(x) das Taylorpolynomn-ten Grades auf (nach Potenzen von x−x0).
(a) f(x) = cosx, x0= 0
(b)f(x) =exa, x0=a6= 0, a∈R
15.2 Geben Sie das Taylorpolynomn-ten Grades (nach Potenzen von x) sowie das Restglied an f¨urf(x) = ln (1 +x), x >−1.
(a) Setzen Sien= 2 und berechnen Sie damit n¨aherungsweise ln 1.15. Wie groß ist der zu erwartende Fehler ? (Sch¨atzen Sie dazu das Restglied ab).
(b) Wie groß istnzu w¨ahlen, wenn der N¨aherungswert f¨ur ln 1.15 nicht mehr als 10−6vom exakten Wert abweichen soll ? Berechnen Sie f¨ur das gefundenendiesen N¨aherungswert.
15.3 Bestimmen Sie die Nullstelle des Taylor-Polynoms ersten Grades f¨ur f(x) = x3−6x+ 3 und x0= 2
und vergleichen Sie mit der beix0liegenden Nullstellex∗= 2.145103 vonf. Verfahren Sie analog mit dem Taylor-Polynom zweiten Grades.
Veranschaulichen Sie die Graphen der drei Polynome.
15.4 Wie lauten die Taylor-Polynomen-ten Grades (n >2) f¨ur das Polynom f(x) aus Aufgabe 15.3 (x0= 2) ?
15.5 Zeigen Sie, dass die Funktionf(x) =xsinx−1 in D= [0,2] eine Nullstellex∗hat, und grenzen Sie diese mit einigen Schritten der fortgesetzten Intervallhalbierung (Bisektion) weiter ein.
Berechnen Sie N¨aherungen f¨urx∗mit dem Newton-Verfahren.
Starten Sie dazu mitx0= 1,und f¨uhren Sie drei Schritte aus.
15.6 Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren alle Nullstellen vonf in D. (a) f(x) = 3−x2−x1, D=R\ {0}
(b)f(x) =x3−6x+ 3, D=R
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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16. ¨Ubung : Reihen
16.1 Ein Gummiball springt auf einer festen horizontalen Oberfl¨ache und verliert dabei von Sprung zu Sprung jeweils 10% an H¨ohe.
Welchen Weg s legt der Ball zur¨uck, ehe er zur Ruhe kommt, wenn er mit einem senkrechten Fall aus einer H¨ohe von h startet ?
16.2 Konvergieren die folgenden Zahlenreihen ? (a) 2
3+4 9+ 6
27+ 8
81+. . . (b)
∞
X
n=1
n2 n!
(c) 1 + 3 2·3+ 32
22·5+ 33
23·7+. . . (d) 1 + 1
√3
2+ 1
√3
3+ 1
√3
4+. . . (e)
∞
X
n=1
(−1)n(n+ 1)
2n (f)
∞
X
n=2
(−1)n
n(n−1) (g)
∞
X
n=1
n!
nn
16.3 Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.
(a)
∞
X
n=1
2−nn2·(x−2)n (b)
∞
X
n=1
1 + 1
n n2
·xn (c)
∞
X
n=0
n!·xn (n+ 1)n 16.4 Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe.
(a) X∞ n=1
(x−2)n
n (b)
X∞ n=0
n!·(x−1)n (c) X∞ n=1
xn−1 n·3n−1 16.5 Leiten Sie aus der Taylorreihe (x0= 0) f¨ur exeine Potenzreihe f¨ur
sinhx=12(ex−e−x) her. Differenzieren Sie diese Reihe gliedweise.
Welche Reihe erhalten Sie ?
16.6 Entwickeln Sie die Funktion f(x) = sinhx·sinx in eine Potenzreihe inx.Nutzen Sie hierzu die Reihen f¨ur sinhxund sinx sowie die Rechengesetze f¨ur Reihen. Geben Sie die Glieder bis zur sechsten Potenz an. Wie groß ist der Konvergenzradius der Reihe ?
Wie lautet der Koeffizient vonx8in der Reihenentwicklung vonf? Istf(x) gerade oder ungerade ?
16.7 Berechnen Sie lim
x→0
1−cosx2
x2 ,indem Sie die Potenzreihe f¨ur die Kosinus-Funktion nutzen.
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