UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG
INSTITUT F ¨ UR THEORETISCHE PHYSIK
Quantenmechanik Ubungsblatt 8 ¨ Musterl¨ osungen
21 Aufgabe
Wir verwenden die Vollst¨ andigkeit der Energie-Eigenfunktionen und schreiben f(x) = X
n
c
nψ
n(x) + Z
dk c(k)ψ
k(x)
wobei mit ψ
n(x) die Bindungszust¨ ande, mit ψ
k(x) die Streuzust¨ ande bezeichnet werden. Die Nor- miertheit von f bedeutet
(f, f ) = X
n
|c
n|
2+ Z
dk |c(k)|
2= 1 Offensichtlich gilt nun
Hf (x) = X
n
c
nE
nψ
n(x) + Z
dk c(k)E(k)ψ
k(x)
und damit
(f, Hf ) = E
0|c
0|
2+ X
n6=0
E
n|c
n|
2+ Z
dk E(k)|c(k)|
2Wegen E
0< E
n< E(k) gilt somit
(f, Hf ) ≥ E
0|c
0|
2+ X
n
|c
n|
2+ Z
dk |c(k)|
2!
= E
0.
Die Funktion
ψ
a= (a/π)
1/4e
−ax2(1)
stellt eine normierte Testfunktion dar, die aber keine Eigenfunktion von H ist. Wir finden:
(ψ
a, V (x)ψ
a) = −g p
a/π, (ψ
a, −ψ
00a) = (ψ
0a, ψ
a0) = a
2 , (2)
d.h.
(ψ
a, H ψ
a) = ~
24m
a − g
√ π
a
1/2(3)
Der Parameter “a” kann noch frei gew¨ ahlt werden; jedes a liefert eine Absch¨ atzung (von oben) der Grundzustandsenergie E
0. F¨ ur
a
1/2= 2m √ π
g ~
2(4)
ergibt sich eine besonders niedrige Schranke
E
06 − mg
2~
21
π . (5)
Nat¨ urlich, muss diese Absch¨ atzung immer (f¨ ur alle g, m) erf¨ ullt sein; aus Auf. 6:
E
0= − mg
2~
21
2 . (6)
22 Aufgabe
Zun¨ achst gilt
H = a
∗a + b
∗b (7)
mit
a = x + ip
x√ 2 , b = y + ip
y√ 2 . (8)
Weiterhin kann der ϕ−Ableitungsoperator durch a’s und b’s ausgedr¨ uckt werden:
∂
∂ϕ = x∂
y− y∂
x=
a + a
∗√ 2
b − b
∗√ 2
−
b + b
∗√ 2
a − a
∗√ 2
= a
∗b − ab
∗,
wobei die Orts- und Impulsoperatoren auch durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausgedr¨ uckt worden sind. Nun muss offensichtlich [a, b] = 0 = [a, b
∗] wegen ∂
x(y) = 0 = ∂
y(x).
Damit erhalten wir
J = i(b
∗a − a
∗b).
Dieser Operator ist selbstadjungiert weil a
∗adjungiert zu a und b
∗adjungiet zu b sind. Unter Benutzung der bekannten Kommutationsregeln [a, a
∗] = 1 = [b, b
∗] finden wir unmittelbar
[J, a] = ib, [J, b] = −ia.
(Die ¨ ubrigen Kommutatoren folgen via hermitischer Konjugation der obigen Regeln.) Der Grundzustand des Systems wird durch
aψ
0= 0 = bψ
0(9)
definiert. Wir finden sofort, dass die Wellenfunktion des Grundzustands ψ
0= 1
√ π e
−(x2+y2)/2= 1
√ π e
−r2/2(10) zylinder-symmetrisch ist. Es l¨ asst sich sofort verifizieren, dass ψ
+=
a∗√+ib∗2
ψ
0ein Eigenzustand von J zum Eigenwert +1 ist, und dass ψ
a= a
∗ψ
0kein Eigenzustand von J ist.
Um die Situation etwas tiefer zu verstehen definieren wir zwei Operatoren J
+= a
∗+ ib
∗√ 2 J
−= a − ib
√ 2 , (11)
die die folgenden Kommutationsregeln gen¨ ugen:
[J, J
−] = −J
−, [J, J
+] = J
+, [J
−, J
+] = 1, (J
−)
†= J
+. (12) Es sei ψ
mein Eigenzustand von J zum Eigenwert m; offensichtlich sind J
+ψ
mund J
−ψ
mauch Eigenzust¨ ande von J zu den Eigenwerten, entsprechend, (m + 1) und (m − 1).
Der Grundzustand ist ein Eigenzustand von J zum Eigenwert 0, und daher muss ψ
+= J
+ψ
0ein Eigenzustand zum Eigenwert +1 sein. Wegen
J a
∗ψ
0= ib
∗ψ
0(13)
ist ψ
akein Eigenzustand von J.
Wir bemerken auch, dass zus¨ atzlich auch die Operatoren D
+= a
∗− ib
∗√ 2 D
−= a + ib
√ 2 , (14)
definieret werden k¨ onnen (etwa b → −b in den Formeln f¨ ur J
±und J), mit den Kommutationsre- geln:
[J, D
−] = D
−, [J, D
+] = −D
+, [D
−, D
+] = 1, (D
−)
†= D
+. (15) Es folgt, dass D
−und J
+(D
+und J
−) erh¨ ohen (erniedrigen) den Eigenwert von J . Dabei erzeugen J
+und D
+Anregungen der Oszillator die von J
−und D
−vernichtet werden k¨ onnen. Wegen
[J
+, D
+] = 0, [J
+, D
−] = 0 (16) sind die von J
+und D
+erzeugte Anregungen unabh¨ angig
1.
1
