UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG

(1)

UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG

INSTITUT F ¨ UR THEORETISCHE PHYSIK

Quantenmechanik Ubungsblatt 7 ¨ Musterl¨ osungen

19 Aufgabe

Wir haben: [a, a

^∗

] = 1, [a, (a

^∗

)

²

] = 2a

^∗

], [a, (a

^∗

)

³

] = 3(a

^∗

)

²

, und es l¨ asst sich unter Verwendung von [A, BC] = [A, B ]C + B[A, C] induktiv sofort beweisen, dass

[a, (a

^∗

)

ⁿ

] = n(a

^∗

)

ⁿ⁻¹

. (1)

Wegen Linearit¨ at des Kommutators gilt [a, e

^λa^∗

] =

∞

X

n=0

λ

ⁿ

n! [a, (a

^∗

)

ⁿ

] = . . . = λe

^λa^∗

. (2) Es sei nun ψ

₀

normiert, und sei ψ

_n

= N

_n

(a

^∗

)

ⁿ

ψ

₀

. Wir finden

(ψ

_n

, ψ

_n

) = N

_n²

(ψ

₀

, a

ⁿ

(a

^∗

)

ⁿ

ψ

₀

) = N

_n²

n (ψ

₀

, a

ⁿ⁻¹

(a

^∗

)

ⁿ⁻¹

ψ

₀

) = . . . = N

_n²

n! (ψ

₀

, ψ

₀

) = 1, (3) also N

_n

= 1/ √

n!, d.h. die Vektoren

ψ

_n

= (a

^∗

)

ⁿ

√ n! ψ

₀

(4)

sind auch normiert. Schliesslich aψ

_n

= a (a

^∗

)

ⁿ

√ n! ψ

₀

= (a

^∗

)

ⁿ

a + n(a

^∗

)

ⁿ⁻¹

√ n! ψ

₀

= √

nψ

_n−1

, (5)

und analog

a

^∗

ψ

n−1

= √

n ψ

n

. (6)

Wir sehen sofort, dass auch die folgende Formel

a

^∗

a ψ

_n

= n ψ

_n

(7)

g¨ ultig ist.

In der Aufgabe 18 wurde argumentiert, dass alle normierbaren Eigenzust¨ ande des Hamilton-

operators bereits in der Familie {ψ

_n

} liegen. Die Existenz der Streuzust¨ ande ist per Annahme

(2)

ausgeschlossen

¹

. Alle Bindungszust¨ ande mussen normierbar sein. Die Familie der Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators ist nach Spektralsatz vollst¨ andig, was in unserem Fall bedeutet, dass die Familie {ψ

_n

} vollst¨ andig sein muss.

20 Aufgabe

Per Definition gilt:

x = 1

√ 2 (a + a

^∗

), p = i

√ 2 (a

^∗

− a). (8)

In dieser Aufgabe wird das folgende Argument oft verwendet: die Ausdr¨ ucke der Form

(ψ

₀

, a

ⁿ

(a

^∗

)

^m

ψ

₀

) (9)

verschwinden wenn n 6= m; dieses Argument gilt allgemein, sogar wenn die Reihenfolge der Ope- ratoren anderes ist, z.B.

(ψ

₀

, a

ⁿ

a

^∗

a(a

^∗

)

^m

ψ

₀

) (10)

verschwindet auch, wenn n 6= m.

Unter Verwendung dieses Arguments finden wir zun¨ achst, dass hxi

_ψ_n

= 0 = hpi

_ψ_n

und auch (ψ

_n

, x

²

ψ

n−1

) = 0 = (ψ

_n

, p

²

ψ

n−1

). (11) Weiterhin gilt

(ψ

_n

, x

²

ψ

_n

) = 1

2 (ψ

_n

, [a

²

+ (a

^∗

)

²

+ aa

^∗

+ a

^∗

a] ψ

_n

) = (ψ

_n

, [a

^∗

a + 1/2]ψ

_n

) = n + 1/2. (12) Analog

(ψ

_n

, p

²

ψ

_n

) = n + 1/2. (13)

F¨ ur die “off-diagonale” Matrixelemente der x und p Operatoren finden wir (ψ

_n

, xψ

n−1

) = 1

√ 2 (ψ

_n

, [a + a

^∗

]ψ

n−1

) = r n

2 (14)

und

(ψ

n

, pψ

n−1

) = i r n

2 . (15)

21 Aufgabe

Per Annahme

ψ(t = 0) = ψ

₀

+ ψ

₁

√ 2 . (16)

1

Diese Annahme ist nicht n¨ otig; In der nichtrelativistischen Quantenmechanik gibt es tats¨ achlich keine Streu-

zust¨ ande des harmonischen Potentials.

(3)

Die ψ

₀

und ψ

₁

haben als station¨ are Zust¨ ande eine einfache Form der Zeitentwicklung:

ψ

0

→ e

^−itω(1/2)

ψ

0

, ψ

1

→ e

−itω(1+1/2)

ψ

1

. (17)

Wir finden also

ψ(t) = e

^−iωt/2

√ 2

ψ

₀

+ e

^−iωt

ψ

₁

. (18)

F¨ ur die Erwartungswerte ergibt sich hxi

_ψ

= 1

2 ψ

₀

+ e

^−iωt

ψ

₁

, [a + a

^∗

][ψ

₀

+ e

^−iωt

ψ

₁

]

= . . . = cos(ωt), (19) und

hpi

_ψ

= i

2 ψ

₀

+ e

^−iωt

ψ

₁

, [a

^∗

− a][ψ

₀

+ e

^−iωt

ψ

₁

]

= . . . = − sin(ωt), (20) das heißt

d

dt hxi = hpi · ω (21)

d

dt hpi = −hxi · ω, (22)

In den dimensionsbehafteten Gr¨ oßen, ˆ x = p

ω ~ /k, p ˆ = √

~ ωm, sind diese Gleichungen den be- kannten Bewegungsgleichungen des klassischen harmonischen Oszillators,

d

dt hˆ xi = h pi/m ˆ (23)

d

dt hˆ pi = −khˆ xi, (24)

¨ ahnlich. Allgemein in der Quantenmechanik gilt d

dt hAi

_ψ

= 1 i ~

h[A, H]i

_ψ

+ ∂A

∂t

ψ

(25) (Ehrenfest-Theorem; der Zustant ψ ist beliebig). F¨ ur

H = p ˆ

²

2m + V (ˆ x) (26)

bedeutet das insbesondere d

dt hpi

_ψ

= 1

i ~ h[p, V (x)]i

_ψ

= −h

^dV_dx^(x)

i

_ψ

. (27)

Im diesen Sinne bewegt sich das quantenmechanische Wellenpaket entlag der klassischen Trajek-

torien.