Mathematik f¨ur Physiker und Geowissenschaftler

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Mathematik f¨ ur Physiker und Geowissenschaftler

Lineare Algebra: Wintersemester 2004/2005 15 Wochen (2V + 1 ¨ U)

I. Gleichungssysteme und Vektorr¨ aume

§1 Das Gaußsche Eliminierungsverfahren

§2 Der Begriff des Vektorraumes

§3 Linearkombinationen, Unterr¨ aume

II. Die innere Struktur von Vektorr¨ aumen

§1 Lineare Abh¨ angigkeit

§2 Basen in Vektorr¨ aumen

§3 Der Rang von Vektorsystemen und Matrizen

§4 Haupts¨ atze ¨ uber lineare Gleichungssysteme

III. Matrizen und lineare Abbildungen

§1 Matrizenoperationen

§2 Lineare Abbildungen

IV. Determinanten

§1 Definition und Berechnung

§2 Determinanten und Rangkriterien

§3 Inverse Matrix und Cramersche Regel

V. Metrische Theorie der Vektorr¨ aume

§1 Euklidische Vektorr¨ aume und orthonormale Basen

§2 Kreuz– und Spatprodukte in R

³

§3 Elemente der analytischen Geometrie

§4 Kongruenzabbildungen und orthogonale Matrizen

VI. Das Eigenwertproblem

§1 Die Eigenwertgleichung

§2 Eigenwerte und Eigenr¨ aume symmetrischer Matrizen, Hauptachsentransformation

§3 Quadratische Formen

§4 Fl¨ achen zweiter Ordnung

§5 Eigenwerte und Spur VII. Matrizengruppen

§1 Begriff und Beispiele (GL(n), SL(n), SO(n))

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Analysis I: Wintersemester 2004/2005 15 Wochen (4V + 2 ¨ U)

I. Grundlagen der Analysis

§1 Mengenlehre und Logik

§2 Der K¨ orper der reellen Zahlen, Ungleichungen, Binomialkoeffizient

§3 Suprema und Infima

II. Elementare Funktionen

§1 Funktionen und deren Eigenschaften

§2 Potenz- und Exponentialfunktionen und deren Umkehrfunktionen

III. Folgen und Reihen in R und C

§1 Der K¨ orper der komplexen Zahlen

§2 Konvergenz reeller und komplexer Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

§3 Topologische Grundbegriffe

§4 Konvergenzkriterien f¨ ur Reihen

§5 Absolutkonvergente Reihen und Potenzreihen

§6 Exponential- und trigonometrische Funktionen

§7 Der Banachsche Fixpunktsatz und Anwendungen

IV. Stetige Funktionen

§1 Der Stetigkeitsbegriff

§2 Eigenschaften stetiger Funktionen auf kompakten Mengen

§3 Grenzwerte von Funktionen

V. Differentialrechnung

§1 Differenzierbarkeit und Differentiationsregeln

§2 Differentiation elementarer Funktionen

§3 Mittelwerts¨ atze der Differentialrechnungen

§4 Der Satz von Taylor

§5 Taylorreihen und analytische Funktionen

§6 Kurvendiskussionen

VI. Integralrechnung

§1 Das Riemannsche Integral

§2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

§3 Integrationsmethoden

§4 Integration gebrochener rationaler Funktionen

§5 Numerische Integration

§6 Uneigentliche Integrale

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Analysis II: Sommersemester 2005 14 Wochen (4V + 2 ¨ U)

I. Metrische R¨ aume

§1 Definition und topologische Grundbegriffe

§2 Cauchyfolgen und Vollst¨ andigkeit

§3 Banachscher Fixpunktsatz

§4 Kompaktheit

II. Mehrdimensionale Differentialrechnung

§1 Topologische Grundbegriffe in R

ⁿ

§2 Funktionen mit mehreren Variablen

§3 Richtungsableitung, partielle Ableitung, Gradient

§4 Taylorscher Satz, Satz von Schwarz, Hesse-Matrix, Jakobi-Matrix

§5 Anwendungen (z.B. Extremwerte, Fehlerfortpflanzung, implizite Funktionen)

§6 Vektorfelder und Differentialoperatoren

III. Mehrdimensionale Integration

§1 Das n-dimensionale Riemannsche Integral

§2 Mehrdimensionaler Inhalt und Volumenintegrale

§3 Reduktionsformel f¨ ur Normalbereiche

§4 Transformationsformel, Zylinder- und Kugelkoordinaten

§5 Integration auf Mannigfaltigkeiten (Kurven- und Fl¨ achenintegrale)

§6 Potentialfelder

§7 Integrals¨ atze (Gauss, Stokes)

IV. Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

§1 Anfangswertprobleme und Isoklinenmethode

§2 Ein Einzigkeitssatz

§3 Ausgew¨ ahlte explizite Verfahren

§4 Der Satz von Picard-Lindel¨ of

§5 Lineare Systeme

§6 Lineare Differentialgleichungen 2-ter Ordnung

§7 Numerische Verfahren (Euler, Heun, Runge-Kutta)

V. Funktionentheorie

§1 Differenzierbarkeit und Cauchy-Riemannsche Dgl

§2 Wegintegrale

§3 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen und die Laplacegleichung

§4 Cauchyscher Integralsatz und Folgerungen, Cauchysche Integralformel

§5 Isolierte Singularit¨ aten und Laurentreihen

§6 Klassifizierung isolierter Singularit¨ aten

§7 Residuen, Anwendungen

§8 Berechnung von uneigentlichen Integralen und Reihen mittels Residuentechnik

§9 Anwendungen auf die Hydrodynamik

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Analysis III: Wintersemester 2005/06 (4V + 2 ¨ U)

I. Maß- und Integrationstheorie (Einf¨ uhrung)

§1 Lebesguesches Integral

§2 Integral und Maß

§3 Die Funktionsr¨ aume L

^p

(I)

II. Hilbertr¨ aume und Fourierreihen

§1 Skalarprodukt

§2 Orthogonalsysteme und Fourierreihen

§3 Fourierreihen in L

²

(−π, π)

§4 Orthoprojektoren in Hilbertr¨ aumen (Projektionssatz, Satz v. Riesz)

§5 Topologische Erg¨ anzungen

III. Die Fouriertransformation

§1 Die Fouriertransformation in (L

¹

, L

²

und ) S

§2 Faltungen

§3 Die Fouriertransformation in L

²

( R )

§4 L¨ osung gew¨ ohnlicher Dgl. mittels Fouriertransformation

§5 Die Distributionenr¨ aume S

⁰

( R

ⁿ

) und D

⁰

(Ω), Grundl¨ osungen.

§6 Fouriertransformation und partielle Differentialgleichungen

VI. Partielle Differentialgleichungen (2.Ordnung)

§1 Wichtige PDG der Physik

§2 Klassifizierung linearer PDG 2.Ordnung, konstanter Koeffizienten

V. Die Laplace Gleichung und harmonische Funktionen

§1 Fundamentall¨ osungen

§2 Harmonische Funktionen und ihre Eigenschaften

§3 Minimalfl¨ achen

§4 Numerische Verfahren: Methode der finiten Differenzen

§5 Greensche Funktion und Poisson-Formel

§6 Konstruktion Greenscher Funktionen

VI.Parabolische Differentialgleichungen: W¨ armeleitung/Diffussion

§1 Das physikalische Modell

§2 Konstruktion von L¨ osungen im r¨ aumlich unbegrenzten Fall

§3 Eindeutigkeit der Cauchy-Aufgabe

§4 W¨ armeleitungsgleichung in beschr¨ ankten Gebieten

§5 Die Eigenwertgleichung zum Laplace Operator

§6 Explizite Bestimmung der Eigenwerte und Eigenfunktionen von ∆ auf Ω

VII. Hyperbolische partielle Differentialgleichungen

§1 Das Modell: Die schwingende Saite

§2 Die d’Alembertsche Methode

§3 Die Methode der Grundl¨ osung in (0, ∞) × R

^d

§4 Schr¨ odinger Gleichung

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Funktionalanalysis (Analysis IV): Sommersemester 2006 (2V + 2 ¨ U)

I. Hilbert- und Banachr¨ aume

§1 Definiton und Beispiele

§2 Halbnormen und konvexe Mengen

II. Lineare beschr¨ ankte Operatoren

§1 Stetigkeit und Norm

§2 Beispiele

§3 Die R¨ aume L(X, Y ) und L(X)

§4 Integraloperatoren und Fredholmsche Integralgleichung

§5 Dualr¨ aume

§6 Orthoprojektoren und Satz von Riesz

§7 Adjungierte Operatoren

III. Spektraltheorie

§1 Spektrum und Resolvente

§2 Selbstadjungierte Operatoren

§3 Kompakte Operatoren

§4 Spektralzerlegung kompakter, selbstadjungierter Operatoren

§5 Polardarstellung nichtselbstadjungierter Operatoren

§6 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren und Funktionenkalk¨ ul

IV. Erg¨ anzungen

§1 Satz von Baire und Folgerungen

(Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem, Banach-Steinhaus)

§2 Methoden f¨ ur unbeschr¨ ankte, selbstadjungierte Operatoren