Springer-Lehrbuch
Springer
Berlin Heidelberg New York Barcelona Budapest Hong Kong London Mailand Paris Tokyo
P. Tran-Gia
Analytische
Leistungsbewertung verteilter Systeme
Eine Einfiihrung
Mit Obungsaufgaben und
105Abbildungen
Springer
Prof. Dr.-Ing. Phuoc Tran-Gia
Lehrstuhl fUr Verteilte Systeme Universitiit Wiirzburg
Am Hubland D-97074 Wiirzburg
ISBN-13: 978-3-540-60666-6
001: 10.1007/978-3-642-80068-9 e-ISBN-13: 978-3-642-80068-9 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Tran-Gia, Phuoc:
Analytische Leistungsbewertung verteilter Systeme : eine Einfiihrung ; mit Obungsaufgaben / P. Tran-Gia. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hong Kong;
London; Mailand ; Paris; Tokyo: Springer, 1996 (Springer-Lehrbuch)
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funk- sendung, der Mikroverfilmung oder der VervielfaItigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verweriung, vorbehalten. Eine Vervielfiiltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland yom 9. September 1965 in der jeweiligen Fassung zuliissig. Sie ist grundsiitzlich vergiitungspflichtig.
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SPIN: 10525175 45/3142-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Dem Andenken
meiner Eltern
Vorwort
Das vorliegende Buch stammt in wesentlichen Teilen aus meiner Vorlesung "Leistungs- bewertung verteilter Systeme", die ich an der Universitat Wiirzburg halte. Zielsetzung der Vorlesung ist eine Einfiihrung in die Modellierung technischer Systeme mit Metho- den der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Die Schwerpunkte liegen in der angewandten Nachrichtenverkehrstheorie und der klassischen Warteschlan- gentheorie, wobei Anwendungen in der Fertigungstechnik ebenfalls erortert werden. In der mit zwei Semesterwochenstunden und zusatzlich zwei Ubungsstunden angesetzten Lehrveranstaltung werden die Kapitel 1 bis 5 behandelt. Diese Lehrveranstaltung wird Informatik-Studenten im Hauptstudium - hauptsachlich 5. oder 6. Fachsemester - sowie Studenten mit Informatik als Nebenfach angeboten. Kapitel6 dient der Vertiefung des Stoffes bei besonderem Interesse.
Der einfiihrende Charakter dieses Lehrbuchs spiegelt sich in der Stoffauswahl wider.
Sie solI die erforderlichen Grundlagen der analytischen Leistungsbewertung und ihrer Anwendungen bereitstellen und die Einarbeitung fiir Studien- und Diplomarbeiten un- terstiitzen.
In Kapitell werden wichtige Begriffe zur Modellbildung und Leistungsbewertung im Zu- sammenhang mit analytiachen Untersuchungsmethoden erortert und Beispiele zur Mo- dellbildung in Rechnerkommunikations- und Fertigungssystemen aufgefiihrt. Zur Auf- frischung der beim Leser vorausgesetzten Grundkenntnisse werden wichtige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der haufig benotigten Transformationsmethoden und Verteilungsfunktionen zusammengefaBt.
In Kapitel 2 werden in der analytischen Leistungsbewertung haufig benotigte elementare stochastische Prozesse eingehend behandelt. Die Klasse von Erneuerungsprozessen, die in der Charakterisierung von Verkehrsstromen in technischen Systemen eine wichtige Rolle spielt, wird eingefiihrt. Wichtige Beziehungen zur Analyse Markovscher Zustands- prozesse werden hergeleitet.
viii Vorwort
Kapitel 3 und 4 behandeln klassische Modelle der Verkehrstheorie, die zum Grundre- pertoire der analytischen Beispiele gehOren und in der Praxis der Leistungsbewertung am haufigsten zum Einsatz kommen. In Kapitel 5 werden Analyseverfahren fUr zeit- diskrete Verkehrsmodelle behandelt. Zeitdiskrete Systeme und deren Modelle gewinnen zunehmend an Bedeutung in modernen Kommunikationssystemen und Rechnernetzen, in denen Dateneinheiten konstanter Lange iibermittelt werden.
Zur Vervollstandigung des Stoffgebietes wird in Kapitel 6 die Matrixanalytische Me- thode erortert. Diese Klasse von Analysemethoden wird in ~en letzten Jahren immer haufiger in der Fachliteratur diskutiert und findet zunehmend Anwendung in System un- tersuchungen. Sie ist eine der wichtigsten methodischen Neuentwicklungen in der Modell- analyse. Kapitel 6 ist als Zusatzlektiire fiir den interessierten Leser gedacht und setzt vertiefte Kenntnisse der Matrizenrechnung voraus. Der Inhalt dieses Kapitels gehOrt nicht zum regularen Stoff der Vorlesung "Leistungsbewertung verteilter Systeme".
Die im Buch verwendeten Notationen und Formelzeichen sind in einer Ubersicht im AnschluB an den Index zusammengestellt.
Dieses Lehrbuch hiitte nicht ohne tatkraftige Hilfe von Studierenden, Mitarbeitern und Kollegen entstehen konnen. Ihnen mochte ich meinen Dank aussprechen. 1m einzelnen mochte ich Dr. rer. nat. E. Ernst, Dr. rer. nat. H. Gold und Dipl.-Math. M. Mittler fUr die interessanten Diskussionen danken, die zur Verbesserung des Buches beigetragen haben. Dipl.-Inform. M. Ritter, Dipl.-Math. O. Rose, Dipl.-Inform. A. Schomig, Dipl.- Inform. K. Tutschku, Dipl.-Ing. G. Willmann und. Herrn U. Ehrenberger danke ich fUr die Mithilfe bei der Korrektur des Manuskripts. Dipl.-Inform. N. Gerlich danke ich fUr die fachkundige Hilfe bei der Gestaltung des Buches. Dipl.-Inform. P. Och gebiihrt mein Dank insbesondere fiir die unermiidliche Mitarbeit und Mitgestaltung des Kapitels 6.
Wertvolle Hinweise zu diesem Kapitel habe ich ebenfalls von Prof. G. Latouche erhalten.
Zu Dank bin ich den Kollegen Prof. D. Baum und Prof. V. Schmidt fUr die wertvollen
Anr~gungen zur fachlichen Gestaltung des Buches verpflichtet. Meiner Frau Walburga und meinen Kindern Johannes und Thomas danke ich fUr die Unterstiitzung in der entbehrungsvollen Zeit wahrend der Erstellung des Buches. SchlieBlich mochte ich Dr.
Hans W5ssner yom Springer-Verlag fUr die konstruktive Zusammenarbeit danken.
Wiirzburg, Januar 1996 Phuoc Tran-Gia
In ha Itsverzeich n is
1 Grundlagen
1.1 Verkehrstheoretische Modellbildung
1.1.1 Modellbegriff und Abstraktionsebenen 1.1.2 Modellbeispiele . . . . 1.1.3 Notation fUr einstufige Modelle 1.1.4 Theorem von Little . . . . 1.2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie .
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten . Wichtige Begriffe und Gesetze . . . .
Zufallsvariable, Verteilung und Verteilungsfunktion Erwartungswert und Momente . . .
Funktionen zweier Zufallsvariablen
1.3 Transformationsmethoden und wichtige Verteilungen 1.3.1
1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5
Die erzeugende Funktion . . . . Laplace- und Laplace-Stieltjes-Transformation Wichtige Verteilungen und ihre Transformierten
Wichtige Verteilungsfunktionen und ihre Transformierten . Wichtige Zusammenhange
Literatur zu Kapitel 1 . . . . Ubungsaufgaben zu Kapitel 1
1 1 4 10 11 14 14 16 18 22 23 31 31 33 36 41 45 49 49
x Inhaltsverzeichnis
2 Elementare Zufallsprozesse 2.1 Stochastische Prozesse
2.1.1 Definition ...
2.1.2 Markov-Prozesse
2.1.3 Elementare Prozesse in Verkehrsmodellen . 2.2 Erneuerungsprozesse
2.2.1 Definitionen.
2.2.2 Analyse der Rekurrenzzeit 2.3 Analyse Markovscher Zustandsprozesse
2.3.1 Ubergangsverhalten von Markov-Zustandsprozessen 2.3.2 Zustandsgleichungen und -wahrscheinlichkeiten . 2.3.3 Beispiele fUr Ubergangswahrscheinlichkeitsdichten 2.3.4 Geburts- und Sterbeprozesse .
Literatur zu Kapitel 2 ... . Ubungsaufgaben zu Kapitel 2 3 Analyse Markovscher Systeme
3.1 Das Verlustsystem M/M/n . . . . 3.1.1 Modellbeschreibung und Parameter
3.1.2 Zustandsraum und Zustandswahrscheinlichkeiten 3.1.3 Systemcharakteristiken . . . . 3.1.4 Verallgemeinerung auf das Verlustsystem M/GI/n 3.1.5 Modellierungsbeispiele und Anwendungen
3.2 Das Wartesystem M/M/n .. . . . . 3.2.1 Modellbeschreibung und Parameter
3.2.2 Zustandsraum und Zustandswahrscheinlichkeiten 3.2.3 Systemcharakteristiken ....
3.2.4 Wartezeitverteilungsfunktion.
52 52 55 56 60 60 61 65 65 66 75 78 82 82
85 85 86 90 91 91 95 95 96 100 104
4
Inhaltsverzeichnis xi
3.3 Verlustsystem mit endlicher Quellenzahl 107
3.3.1 Modellbeschreibung... ...
3.3.2 Zustandsraum und Zustandswahrscheinlichkeiten Literatur zu Kapitel 3 ....
Ubungsaufgaben zu Kapitel 3
Analyse nicht-Markovscher Systeme
4.1 Methode der eingebetteten Markov-Kette . 4.2 Das Wartesystem M/GI/1 ...
4.2.1 Modell und ZustandsprozeB
4.2.2 Markov-Kette und Ubergangsverhalten 4.2.3 Zustandsgleichungen
...
4.2.4 Zustandswahrscheinlichkeiten 4.2.5 Wartezeitverteilungsfunktion . 4.2.6 Weitere Systemcharakteristiken
4.2.7 Zustandswahrscheinlichkeiten zu zuf81ligen Zeitpunkten . 4.3 Das Wartesystem GI/M/1
...
4.3.1 Modell und ZustandsprozeB 4.3.2 Ubergangsverhalten . 4.3.3 Zustandsgleichungen
4.3.4 Zustands~alyse mit geometrischem Ansatz 4.3.5 Wartezeitverteilungsfunktion . . . . . 4.4 Ein Gruppenbediensystem mit Startschwelle
4.4.1 Modell und ZustandsprozeB
...
4.4.2 Markov-Kette und Ubergangsverhalten
4.4.3 Zustandswahrscheinlichkeiten und Systemcharakteristiken . Literatur zu Kapitel4
....
Ubungsaufgaben zu Kapitel 4
107 108 112 112
115 118 118 119 121 122 124 127 129 132 132 132 135 136 138 140 140 142 144 147 147
xii Inhaltsverzeichnis
5 Analyse zeitdiskreter Systeme 5.1 Zeitdiskrete Zufallsprozesse .
5.1.1 Voraussetzungen und Parameter.
5.1.2 Zeitdiskrete Erneuerungsprozesse
5.2 Transformationsmethoden fUr zeitdiskrete Analyse . 5.2.1 Diskrete Fourier-Transformation ...
5.2.2 Das Konzept des komplexen Cepstrums . 5.3 Das zeitdiskrete Wartesystem GEOM(1)/GI/1
5.3.1 Modellbeschreibung . . . . 5.3.2 Markov-Kette und Zustandsiibergange 5.3.3 Zustandswahrscheinlichkeit.
5.3.4 Wartezeitverteilung ...
5.4 Das zeitdiskrete Wartesystem GI/GI/1 5.4.1 Modellbeschreibung...
5.4.2 5.4.3
Die Lindley-Integralgleichung
fUr zeitkontinuierliche GI/GI/1-Systeme Modifizierte Lindley-Integralgleichung fiir zeitdiskrete GI/GI/1-Systeme ....
150 150 152 158 158 160 167 167 168 169 171 173 173 173 .,175 5.4.4 Charakteristische Gleichung im transformierten Bereich . 179 5.4.5 Analysealgorithmus im Zeitbereich .. . . . 183 5.4.6 Analysealgorithmen im transformierten Bereich 185
5.4.7 Numerische Beispiele . . . 191
5.4.8 Weitere Systemcharakteristiken 194
Literatur zu Kapitel 5 ....
Ubungsaufgaben zu Kapitel 5
195 195
6
Inhaltsverzeichnis xiii Matrixanalytische Methode
6.1 Die Phasenverteilung (PH) 197
6.1.1 Von der Erlang-k-Phasendarstellung zur Phasenverteilung 198
6.1.2 Definition der Phasenverteilung . 199
6.1.3 Beispiele fiir Phasenverteilungen . 204
6.1.4 Funktionen von phasenverteilten Zufallsvariablen 207 6.1.5 Die zeitdiskrete Phasenverteilung (D-PH) .
6.2 Der Markovsche AnkunftsprozeB (MAP) 6.2.1 Definition . . . .
6.2.2 Wichtige Eigenschaften des Markov-Ankunftsprozesses 6.2.3 Der zeitdiskrete Markov-AnkunftsprozeB (D-MAP) 6.3 Das Wartesystem MAP /GI/1
6.3.1 Modellbeschreibung ..
6.3.2 ZiihlprozeB der Ankiinfte .
6.3.3 Eingebetteter Markov-ErneuerungsprozeB . 6.3.4 Stationiire Zustandswahrscheinlichkeiten .
6.3.5 Zustandswahrscheinlichkeit zu beliebigen Zeitpunkten 6.3.6 Virtuelle Wartezeitverteilungsfunktion . . . . 6.3.7 Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmenschritte Literatur zu Kapitel 6 ....
Ubungsaufgaben zu Kapitel 6
208 210 210 212 215 218 218 218 222 225 233 234 235 237 237
Index . . . . 239 Notationskonventionen und Formelzeichen 242
