EINMALEINS BEZIEHUNGSREICH
Thema: Übung des kleinen Einmaleins; operative Beziehungen erkunden Stufe: ab 2. Schuljahr
Dauer: 2 bis 3 Lektionen
Materialien: Kleine Einmaleinstafeln (ohne Farben), Punktefelder
Quelle: Wittmann, E.Ch. und Müller, G.N.: „Muster und Strukturen“ als
fachliches Grundkonzept des Mathematikunterrichts der Grundschule.
In: Walther, G. u.a. (Hg.), Bildungsstandards für die Grundschule:
Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor 2007, S.40-63 Bearbeitung: Salome Tschopp und Elmar Hengartner
Aufgabe A: Folgen von Aufgabenpaaren (waagrecht in der Maltafel)
1 Starte mit den Malaufgaben 2x5 und 1x6. Sie liegen in der Maltafel untereinander.
Berechne die Ergebnisse. Gehe dann waagrecht nach rechts zu den nächsten Aufgabenpaaren und berechne die Ergebnisse:
2 x 5 = 3 x 6 = 4 x 7 = 5 x 8 = ...
Aufgabe B: Folgen von Aufgabenpaaren (senkrecht in der Maltafel)
3 Starte mit den beiden Malaufgaben 1 x 8 und 2 x 9. Sie liegen in der Maltafel nebeneinander. Gehe senkrecht nach oben zu den nächsten Aufgaben- paaren und rechne die Ergebnisse:
1 x 8 = ... 2 x 9 = ....
2 x 7 = ... 3 x 8 = ...
3 x 6 = ... 4 x 7 = ...
4 x 5 = ... 5 x 6 = ..
... ...
Beschreibe die Päckchen.
Vergleiche die Ergebnisse.
4 Wähle selber Paare von nebeneinander liegenden Einmaleinsaufgaben, rechne sie aus und setze sie in gleicher Art senkrecht nach oben oder nach unten fort:
... x ... = ... ... x ... = ...
... x ... = ... ... x ... = ...
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Worum es geht?
Die Idee zu dieser Lernumgebung verdanken wir Erich Ch. Wittmann: Wir folgen seiner Beschreibung im Aufsatz: Wittmann, E.Ch./ Müller, G.N.: „Muster und Strukturen“ als fachliche Grundkonzepte des Mathematikunterrichts der Grundschule.
Aufgabe A: Folgen von Aufgabenpaaren (waagrecht in der Maltafel)
Die Übung des Einmaleins wird in dieser Lernumgebung mit der Maltafel so strukturiert, dass operative Beziehungen zwischen den Einmaleinsaufgaben unmittelbar sichtbar werden und der Kontrolle der Ergebnisse dienen können.
Man startet mit einer Malaufgabe, zum Beispiel 2 x 5 und entwickelt daraus ein Päckchen nach folgender Regel:
2 x 5 = 3 x 6 = 4 x 7 = 5 x 8 = ...
1 x 6 = 2 x 7 = 3 x 8 = 4 x 9 = ...
„Jede Aufgabe in der zweiten Zeile entsteht aus der darüber stehenden dadurch, dass der erste Faktor um 1 erniedrigt und der zweite um 1 erhöht wird. In jeder Zeile nehmen die Faktoren von einem Feld zum nächsten um je 1 zu. Die Pünktchen am Schluss deuten an, dass das Päckchen fortgesetzt werden kann, wenn und so weit ein Kind das möchte.“ (ebd. S. XX). Dass die Kinder dies taten, zeigen ihre
Dokumente. In ihnen wird auch deutlich, dass sie ein Muster entdeckt haben, dass nämlich die Ergebnisse der zweiten Zeile durchgehend um 4 kleiner sind als die Ergebnisse der darüber stehenden Aufgaben. Und einzelne Kinder konnten dies anhand von Punktfeldern (Kopiervorlage 2) auch begründen (siehe das Dokument von Melanie im Abschnitt Kinderdokumente aus der Erprobung).
Aufgabe B: Folgen von Aufgabenpaaren (senkrecht in der Maltafel)
Die Regel für die Bildung der Päckchen wird abgewandelt: Man startet zum Beispiel mit 1 x 8 und entwickelt folgendes Päckchen:
1 x 8 = ... 2 x 9 = ...
2 x 7 = ... 3 x 8 = ...
3 x 6 = ... 4 x 7 = ...
4 x 5 = ... 5 x 6 = ...
... ...
In beiden Päcken rechts wie links wird der erste Faktor um 1 erhöht, während der zweite Faktor um 1 erniedrigt wird. Von links nach rechts werden beide Faktoren der ersten Aufgabe um 1 erhöht. Wiederum bleiben die Ergebnisunterschiede konstant.
Und wiederum haben die Kinder die Päckchen teils fortgesetzt, und einzelne
versuchten die Konstanz der Ergebnisunterschiede an Punktefeldern zu begründen (siehe das Dokument von Tim).
Kinderdokumente aus der Erprobung
Aufgabe A: Folgen von Aufgabenpaaren (waagrecht in der Maltafel)
Simone hat drei Päckchen von Aufgabenpaaren waagrecht in der Maltafel fortgesetzt:
- die vorgegebene mit Start bei 2 x 5 und 1 x 6 (über die Maltafelgrenze hinaus!), - die mittlere mit vertauschten Faktoren beginnend mit 2 x 1 und 1 x 2 und
- eine dritte beginnend mit 6 x 1 und 5 x 2.
Simone stellt fest, dass die Ergebnisunterschiede der Aufgabenpaare immer gleich bleiben. Sie begründet zudem, weshalb die Ergebnisunterschiede in der ersten und der dritten Folge gleich sind, nämlich 4, weil sie gleich weit von der Mitte, das heisst gleich weit von den Aufgaben der Quadratzahlen entfernt sind.
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Melanie gibt anhand von Punktfeldern, in denen sie die Aufgaben anmalt, eine Begründung, weshalb der Ergebnisunterschied übereinander liegender
Aufgabenpaare immer 4 bleibt:
Von 2 x 5 zu 1 x 6 fällt 1 x 5 weg, dafür kommt 1 hinzu, der Unterschied ist also 4.
Von 3 x 6 zu 2 x 7 fällt 1 x 6 weg, dafür kommen 2 dazu, der Unterschied bleibt 4.
Von 4 x 7 zu 3 x 8 fällt 1 x 7 weg, dafür kommen 3 hinzu, der Unterschied bleibt 4.
Und das gilt auch für die weiteren Beispiele.
Aufgabe B: Folgen von Aufgabenpaaren (senkrecht in der Maltafel)
Daniela hat drei Folgen von Aufgabenpaaren senkrecht in der Maltafel fortgesetzt:
- die vorgegebene Folge, begonnen mit 1 x 8 und 2 x 9 (siehe die Pfeile), - eine zweite begonnen von oben mit 6 x 1 und 7 x 3 und
- eine dritte Folge begonnen von oben mit 7 x 6 und 8 x 7. Sie stellt fest, dass die Ergebnisunterschiede zwischen Aufgabenpaaren nebeneinander in allen drei Folgen jeweils gleich bleiben. In der ersten Folge ist der Unterschied immer 10, in der
zweiten immer 8 und in der dritten immer 14.
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Simone gibt keinerlei Erläuterungen – weder Feststellungen zu gleichen Abständen der Ergebnisse noch Begründungen. Aber sie hat entlang der strukturierten
Aufgabenpäckchen fast die gesamte Einmaleinstafel gerechnet, insgesamt 80 Aufgaben. Und sie hat alle richtig gerechnet und nur eine einzige nicht der Struktur entsprechend bestimmt (2 x 4 = 8 statt 2 x 5 = 10). Es ist anzunehmen, dass auch sie auf die gleichen Abstände zwischen den Ergebnissen aufmerksam wurde. Ohne dieses Muster hätte sie kaum so viele Aufgaben gerechnet.
David hat ähnlich viele Aufgaben wie Simone gerechnet.. Von Anfang an gilt seine Aufmerksamkeit aber den gleich bleibenden Unterschieden zwischen den
Aufgabenpaaren, die er vertikal fortsetzt: „Von der 1. Reihe zur 2. Reihe ist immer ein gewisser Unterschied, z.B. 10, 17, 14, 18, 13, 11 und 11“, schreibt er nach den ersten Erkundungen, welche er dann weiter fortsetzt mit Aufgabenpaaren mit Unterschied 4, 5 und 8. Er macht eine interessante Feststellung: :“Desto weiter ich nach links gehe (gemeint: bei der Wahl der vertikal fortgesetzten Aufgabenpaare in der Maltafel), desto kleiner werden die Ergebnisse“ (gemeint: Ergebnisunterschiede).
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Timo rechnet nach dem vorgegebenen Päckchen, von unten beginnend mit 1 x 8 und 2 x 9, zwei weitere Folgen (Päckchen) von Aufgabenpaaren, die er unmittelbar nach rechts anschliesst. Wie andere Kinder auch geht er über die Grenze der Maltafel hinaus und setzt die Struktur der Aufgabenfolge fort. Interessant ist Timos neue Fragestellung, wie sich denn die Aufgaben waagrecht auf jeder Zeile
entwickeln. Er untersucht das an der obersten Zeile von 5 x 4, 6 x 5, 7 x 6, 8 x 7, 9 x 8 und 10 x 9 und schreibt dazu, dass beide Faktoren jeweils um 1 grösser werden:
„Von Rechnung zu Rechnung wächst die vordere Zahl und die hintere Zahl um eins.“
Und zu den Ergebnissen schreibt er: „Von Resultat zu Resultat wachsen die
Abstände immer um zwei in einer geraden Reihe.“ Gemeint ist: Sie wachsen immer um die nächste gerade Zahl, was der Bildungsregel der „Fast-Quadratzahlen“
entspricht.
Robin begründet anhand von Punktefeldern, in denen er die Aufgaben des ersten vorgegebenen Päckchens anmalt, weshalb der Ergebnisunterschied nebeneinander liegender Aufgabenpaare immer 10 bleibt :
Von 1 x 8 zu 2 x 9 kommen 8 hinzu plus 2 rechts vertikal.
Von 2 x 7 zu 3 x 8 kommen 7 hinzu plus 3 rechts vertikal.
Von 3 x 6 zu 4 x 7 kommen 6 hinzu plus 4 rechts vertikal.
Von 4 x 5 zu 5 x 6 kommen 5 hinzu plus 5 rechts vertikal usw.
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Kopiervorlage 2: Punktefelder zum Anmalen von Aufgabenpaaren
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