Konzentrierte und polydisperse Ferroﬂuide im Magnetic Particle Imaging

(1)

Konzentrierte und polydisperse Ferrofluide im Magnetic Particle Imaging

Jan-Philip Gehrcke

Julius-Maximilians-Universit¨at W¨urzburg

18. Mai 2009

(2)

Ubersicht ¨

1 Einleitung

2 Polydispersit¨at

3 Konzentrationsabh¨angigkeit

(3)

Magnetisierungskurve im MPI

Die Magnetisierungskurve M(H) ubersetzt das eingestrahlte Feld in¨ ein Antwortfeld → MPI-Signal

(4)

MPI: Magnetisierungskurve von Ferrofluiden

m¨oglichst exakte Theorie zu M(H) ist essentiell Erforderlich fuer realit¨atsgetreue Simulation des MPI-Signals

M(H) korrekt f¨ur großen Konzentrations- und Temperaturbereich numerisch gut implementierbar

(5)

MPI: Magnetisierungskurve von Ferrofluiden

(6)

MPI: Magnetisierungskurve von Ferrofluiden

(7)

MPI: Magnetisierungskurve von Ferrofluiden

(8)

Sehr geringe Partikeldichte

sehr kleine Konzentrationen

Interpartikelwechselwirkung vernachl¨assigbar

”Paramagnetisches Gas“

→ Langevin’sSingle Particle Model (SPM)

(9)

Sehr geringe Partikeldichte

(10)

Sehr geringe Partikeldichte

(11)

Sehr geringe Partikeldichte

(12)

Langevin ’s Single Particle Model

M_SPM(H) =M∞·L

µ₀mH k_BT

mit L(z) = coth(z)−1 z

M∞= lim

H→∞M_SPM(H) =ρnorm·Ms

Ms:

”bulk“-S¨attigungsmagnetisierung (Magnetit: 480000A/m) ρ_norm: normierte Dichte∈[0,1]

(13)

Langevin ’s Single Particle Model

M_SPM(H) =M∞·L

µ₀mH k_BT

mit L(z) = coth(z)−1 z

M∞= lim

H→∞M_SPM(H) =ρnorm·Ms

Ms:

”bulk“-S¨attigungsmagnetisierung (Magnetit: 480000A/m) ρ_norm: normierte Dichte∈[0,1]

(14)

Langevin ’s Single Particle Model

Ms = m V_p

M_SPM(H) =ρnorm·Ms·L

µ0mH k_BT

M_SPM(H) =ρ_pnd·m·L

µ₀mH k_BT

ρ_pnd: particle number density∈[0,ca. 10²⁴] ρ_norm: normierte Dichte ∈[0,1]

(15)

Langevin ’s Single Particle Model

Ms = m V_p

M_SPM(H) =ρnorm·Ms·L

µ0mH k_BT

M_SPM(H) =ρ_pnd·m·L

µ₀mH k_BT

ρ_pnd: particle number density∈[0,ca. 10²⁴] ρ_norm: normierte Dichte ∈[0,1]

(16)

Langevin ’s Single Particle Model

G¨ultigkeitsbereich lautK.I. Morozov, A.V. Lebedev, J. Magn. Magn.

Mater. 85 (1990) 51: ρ_norm≤0.01

c ≤0.22^mol_l mitc(ρnorm) = 10⁻³·_V ^ρ^norm

mol,Magnetit

O.B. Kuznetsova, A.O. Ivanov, B. Huke, M. L¨ucke (http://tinyurl.com/pkgbck):

”The Langevin theory is absolutely inapplicable even to diluted ferrofluids.“ (ρ_norm= 0.08)

+ Polydispersit¨at→ gutes Modell f¨ur extrem kleine Konzentrationen

(17)

Langevin ’s Single Particle Model

Mater. 85 (1990) 51: ρ_norm≤0.01

mol,Magnetit

(18)

Langevin ’s Single Particle Model

Mater. 85 (1990) 51: ρ_norm≤0.01

mol,Magnetit

(19)

Langevin ’s Single Particle Model

Mater. 85 (1990) 51: ρ_norm≤0.01

mol,Magnetit

(20)

Langevin ’s Single Particle Model

Mater. 85 (1990) 51: ρ_norm≤0.01

mol,Magnetit

(21)

Ubersicht ¨

1 Einleitung

2 Polydispersit¨at

(22)

SPM + Polydispersit¨ at

Wahrscheinlichkeitsdistribution p(x)

x: Durchmesser des magnetischen Kerns der Partikel im Fluid M_SPM(H) =

ρ_pnd·m·L

µ₀mH kBT

Erwartungswert bilden

hmi= πM_s 6 · hx³i M_SPM(H) =ρ_pnd· hmi ·L

µ₀hmiH kBT

MSPM(H) =ρnorm(hx³i)·Ms·L

µ₀hmiH kBT

(23)

SPM + Polydispersit¨ at

Wahrscheinlichkeitsdistribution p(x)

x: Durchmesser des magnetischen Kerns der Partikel im Fluid M_SPM(H) =

ρ_pnd·m·L

µ₀mH kBT

Erwartungswert bilden

hmi= πM_s 6 · hx³i M_SPM(H) =ρ_pnd· hmi ·L

µ₀hmiH kBT

MSPM(H) =ρnorm(hx³i)·Ms·L

µ₀hmiH kBT

(24)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

A.F. Pshenichnikov, V.V. Mekhonoshin, A.V. Lebedev; J. Magn. Magn.

Mater. 161, 94 (1996):

oftmals Lognormalverteilung langsamer Abfall f¨ur großex

zu große hohe Momentehx^pi →fehlerhaft

Beispiele für Sensitivität auf hohe Momente Rayleighstreuung: Wirkungsquerschnitt ∝ hx⁶i Anfangssuszeptibilität∝ hm²i ∝ hx⁶i

→ schnellerer Abfall (Realitätsnähe) für großex oft gewünscht

(25)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

(26)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

(27)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

zu große hohe Momentehx^pi →fehlerhaft Beispiele f¨ur Sensitivit¨at auf hohe Momente

Rayleighstreuung: Wirkungsquerschnitt ∝ hx⁶i Anfangssuszeptibilit¨at∝ hm²i ∝ hx⁶i

(28)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

(29)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

(30)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

(31)

Wahl der Verteilungsfunktion p(x)

Mater. 161, 94 (1996):

(32)

Die Γ-Verteilung

”exponentiell ged¨ampfte Potenz“

x^αe⁻

x x0

¨

ahnlich zur Lognormalverteilung, aber exponentieller Abfall Normierung

p(x) = 1

x₀^α+1·Γ(α+ 1)·x^αe⁻

x x0

Γ-Funktion in Normierung→

”Γ-Verteilung“

(33)

Die Γ-Verteilung

x^αe⁻

x x0

¨

p(x) = 1

x₀^α+1·Γ(α+ 1)·x^αe⁻

x x0

”Γ-Verteilung“

(34)

Die Γ-Verteilung

x^αe⁻

x x0

¨

p(x) = 1

x₀^α+1·Γ(α+ 1)·x^αe⁻

x x0

”Γ-Verteilung“

(35)

Die Γ-Verteilung

x^αe⁻

x x0

¨

p(x) = 1

x₀^α+1·Γ(α+ 1)·x^αe⁻

x x0

”Γ-Verteilung“

(36)

Γ-Verteilung besser geeignet?

laut J. Magn. Magn. Mater. 161, 94 (1996) ja:

Elektronenmikroskop: Histogramme f¨ur versch. Suspensionen aufgenommen

daraus hxi und hx²i berechnet

daraus Parameter f¨ur Lognormal- bzw. Γ-Verteilung bestimmt hx³iund hx⁶i aus Histogrammen gewonnen

hx³iund hx⁶i aus den Verteilungsfunktionen bestimmt Vergleich der

”experimentellen“ und

”gefitteten“ hx³i und hx⁶i hx³ipasst bei beiden Distributionen

hx⁶iergibt bei Γ-Vert. deutlich kleinere Fehler als bei Lognormalvert.

je breiter die reale Verteilung, desto fehlerhafter die hx⁶i der Lognormalvert.

(37)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(38)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(39)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(40)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(41)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(42)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(43)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(44)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(45)

Γ-Verteilung besser geeignet?

(46)

Γ-Verteilung vs. Lognormalverteilung

gleicher Erwartungswert und gleiche Varianz:

(47)

Γ-Verteilung vs. Lognormalverteilung

(48)

Γ-Verteilung vs. Lognormalverteilung

(49)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

Wie wirken sich verschieden große Durchmesser aus?

viele monodispere

”Experimente“; alles konstant bis auf x Peaks im MPI-Signal (SPM) mitae^bx gefittet

Fitparameter aufgetragen ¨uberx

(50)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

viele monodispere

(51)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

viele monodispere

(52)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

viele monodispere

(53)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

ein monodisperses Beispielexperiment

(54)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

St¨arke des exponentiellen Abfalls des MPI-Signals in Abh. von x

(55)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

Γ-Verteilung vs. Lognormalverteilung

beide Verteilungen mithxi= 25nm und σ² = 25nm Verteilungen diskretisiert in 100

”bins“:pi,mi(xi) effektive Magnetisierungskurven berechnet:

M_SPM(H) =M_s·

100

X

i=1

p_i ·L

µ₀m_iH kBT

· 1

P₁₀₀

i=1p_i relative Abweichung zwischen Magnetisierungskurven und MPI-Signalen berechnet

(56)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

M_SPM(H) =M_s·

100

X

i=1

p_i ·L

µ₀m_iH kBT

· 1

P₁₀₀

(57)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

M_SPM(H) =M_s·

100

X

i=1

p_i ·L

µ₀m_iH kBT

· 1

P₁₀₀

(58)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

M_SPM(H) =M_s·

100

X

i=1

p_i ·L

µ₀m_iH kBT

· 1

P₁₀₀

(59)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

M_SPM(H) =M_s·

100

X

i=1

p_i ·L

µ₀m_iH kBT

· 1

P₁₀₀

(60)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

beide Verteilungen mit hxi= 25nm und σ² = 25nm

(61)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

Diskretisierung & Normierung der Lognormalverteilung

(62)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

effektive SPM Langevinfunktion

(63)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

Magnetisierungsantwort

(64)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

MPI-Signal

(65)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

→ bei qualitativer Betrachtung des exponentiellen Abfalls bis zum 20.

Peak ist die Abweichung vernachl¨assigbar.

(66)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

St¨arke des exponentiellen Abfalls des MPI-Signals in Abh. von hxiund σ² Lognormalverteilung mit vielen hxi und σ² gebildet

Peaks im MPI-Signal (SPM) mitae^bx gefittet Fitparameter aufgetragen ¨uberhxiund σ²

(67)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

(68)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

(69)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

(70)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

ein”schlechter“ Beispielfit: hxi= 7nm undσ² = 35nm

(71)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

b aufgetragen ¨uber hxi und σ²

(72)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

Fitkorrelationskoeffizient R aufgetragen ¨uber hxiund σ²

(73)

Einfluss der Polydispersit¨ at auf das MPI-Signal

a aufgetragen ¨uber hxi und σ²

(74)

Ubersicht ¨

1 Einleitung

2 Polydispersit¨at

(75)

Konzentrierte Ferrofluide

Paramagnetisches Modell nicht mehr korrekt:

beschreibt unabh¨angige magnetische Dipole im ¨außeren Feld (Uij k_BT)

schwache Felder:

2- bis 3-facheSteigerung der Magnetisierung starke Felder:

weniger große ¨Anderung, aber signifikant bis zuH ≈10⁵_m^A ≈0.1T

(76)

Konzentrierte Ferrofluide

schwache Felder:

(77)

Konzentrierte Ferrofluide

schwache Felder:

(78)

Konzentrierte Ferrofluide im MPI

MPI

schwache Felder (O(0.01T)) und u.U.hoheKonzentrationen in Zellen (O(1^mol_l ) bis zu O(10^mol_l ))

→ starke ¨Anderung der Kr¨ummungder Magnetisierungskurve

(79)

Konzentrierte Ferrofluide im MPI

MPI

schwache Felder (O(0.01T)) und u.U.hoheKonzentrationen in Zellen (O(1^mol_l ) bis zu O(10^mol_l ))

→ starke ¨Anderung der Kr¨ummungder Magnetisierungskurve

(80)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

Weiss model (mean-field)

Mean Spherical Model MSM/MSA High Temperature Approximation HTA Cluster Expansion Theory CET

first-order Modified Mean Field ModelMMF1 second-order Modified Mean Field Model MMF2

(81)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(82)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(83)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(84)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(85)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(86)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(87)

verschiedene Modelle f¨ uhren zur verschiedenen M (H, ρ)

Langevin’s SPM

(88)

G¨ ute der Theorien

M(H)-Messung f¨ur verschiedene Konzentrationen und Vgl. mit Theorie?

Problem: zwei Unsicherheiten Interpartikelwechselwirkung unbekannte Polydispersit¨at

Beliebige MagnetisierungskurveM_bel: M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

→ ”Tarnung“ der Interpartikelwechselwirkung

→ effektive Gr¨oßenverteilung, nicht real

(89)

G¨ ute der Theorien

Problem: zwei Unsicherheiten Interpartikelwechselwirkung unbekannte Polydispersit¨at Beliebige MagnetisierungskurveM_bel:

M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

(90)

G¨ ute der Theorien

M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

(91)

G¨ ute der Theorien

M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

(92)

G¨ ute der Theorien

M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

(93)

G¨ ute der Theorien

M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

(94)

G¨ ute der Theorien

M_bel(H) =M0·X

i

p_i,bel ·L

µ0miH k_BT

(95)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

”magneto-granulometric analysis“ (MGA)

M(H) messen → kleine Felder:χinit, große Felder: asymptotisches Verhalten der Magnetisierung

Anhand eines Theoriemodellshmi(M_∞) und hm²i(χ_init) bestimmen aushmi undhm²i erh¨alt man hx³i undhx⁶i

zwei bekannte Momente ↔zwei Paramter der Verteilungsfunktion (Γ-Vert.: α,x0)

Gedankenexperiment:

große Menge Ferrofluid→ Proben unterschiedlicher Konzentration MGA f¨ur jede Probe

Wenn eine Theorie f¨ur einen großen Konzentrationsbereich korrekt ist, ...

... sind die per MGA gewonnenen Paramter der Verteilungsfkt.

unabh¨angigvon der Konzentration!

(96)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(97)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(98)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(99)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(100)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(101)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(102)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(103)

G¨ ute der Theorien

L¨osung:

Gedankenexperiment:

(104)

G¨ ute der Theorien

(105)

G¨ ute der Theorien

(106)

Mean-Field Model

mean-field model (Weiss model)

M_SPM(H) =ρ_norm·M_s·L

µ₀mH

k_BT

M_Weiss(H) =M_SPM(H_e(H)) He(H) =H+1

3M_Weiss(H) transzendent, nichtlinear in ρ

(107)

Mean-Field Model

µ₀mH k_BT

(108)

Mean-Field Model

µ₀mH k_BT

(109)

Modified Mean-Field Model

Mater. 161, 94 (1996):

”This permits us to offer another simple and effective model“

M_another(H) =M_SPM(H_e(H)) H_e(H) =H+1

3M_SPM(H) analytisch l¨osbar

(110)

Modified Mean-Field Model

Mater. 161, 94 (1996):

(111)

Modified Mean-Field Model

Mater. 161, 94 (1996):

(112)

Modified Mean-Field Model

Ivanov, A.O., Kantorovich, S.S., Reznikov, E.N., et al., Phys. Rev. E, 2007, vol. 75, p. 061405:

”a rigorous analysis of the paircorrelation functions in dipolar fluids (employing the Yvon-Born-Bogolyubov-Green-Kirkwood formalism) to generate expressions for M(H)“

M_YBBGK(H) =M_SPM(H_e(H)) He(H) =H+1

3M_SPM(H)

1 + 1 48

dM_SPM(H) dH

analytisch l¨osbar

(113)

Modified Mean-Field Model

3M_SPM(H)

1 + 1 48

dM_SPM(H) dH

analytisch l¨osbar

(114)

Modified Mean-Field Model

3M_SPM(H)

1 + 1 48

dM_SPM(H) dH

analytisch l¨osbar

(115)

Modified Mean-Field Model

MMF1 und MMF2

H_e,MMF₁(H) =H+1

3M_SPM(H) H_e,MMF₂(H) =H+1

3M_SPM(H)

1 + 1 48

dM_SPM(H) dH

(116)

MMF2

Magnetisierungsfunktion nach MMF2:

M_MMF₂(H) =ρnorm·Ms·L(Q(H, ρnorm))

Q(H, ρ_norm) = mµ0

k_BT ·

H+1

3M_sρ_norm

− k_BT

Hmµ₀ + Coth

Hmµ0

k_BT

·





1 + 1

48Msρnorm





 k_BT H²mµ0

−

mµ₀Cschh

Hmµ0

kBT

i2

kBT













(117)

MMF2

k_BT ·

H+1

3M_sρ_norm

− k_BT

Hmµ₀ + Coth

Hmµ0

k_BT

·





1 + 1

48Msρnorm





 k_BT H²mµ0

−

mµ₀Cschh

Hmµ0

kBT

i2

kBT













(118)

MMF2

k_BT ·

H+1

3M_sρ_norm

− k_BT

Hmµ₀ + Coth

Hmµ0

k_BT

·





1 + 1

48Msρnorm





 k_BT H²mµ0

−

mµ₀Cschh

Hmµ0

kBT

i2

kBT













(119)

Einfluss der Konzentration auf die Magnetisierungskurve

M_norm(H) in Abh. der Dichte; x konstant Video 01

(120)

Einfluss der Konzentration auf die Magnetisierungskurve

M_norm(ρ) in Abh. der Feldst¨arke; x konstant - Vergleich mit SPM Video 02

(121)

Einfluss der Konzentration auf die Magnetisierungskurve

M_norm(ρ,B) in Abh. vonx Video 03

(122)

Einfluss der Konzentration auf die Magnetisierungskurve

M_norm(ρ,B) in Abh. vonx - Vergleich mit SPM Video 04

(123)

Einfluss der Konzentration auf die Magnetisierungskurve

M(ρ,B) in Abh. vonx - Vergleich mit SPM Video 05

(124)

Einfluss der Konzentration auf das MPI-Signal

norm. MPI-Signal in Abh. von der Konzentration f¨urx = 13nm (MMF2)

(125)

Einfluss der Konzentration auf das MPI-Signal

norm. MPI-Signal in Abh. von der Konzentration f¨urx = 13nm (SPM)

(126)

Zusammenfassung

Polydispersit¨at

Γ-Verteilung liefert wesentlich realere hohe Momente als Lognormalverteilung (wichtig f¨ur MGA)

Γ-Verteilung oder Lognormalverteilung f¨ur MPI? Unterschied vorerst vernachl¨assigbar

f¨ur kleine hxi und großeσ² sieht man: Abfall des MPI-Signals entspricht nichtae^bx

Konzentrationsabh¨angigkeit

Langevin’s SPM gilt nur im Bereichc ≤0.22^mol_l

MPI: schwache Felder und u.U. hohe Konzentrationen in Zellen→ starke ¨Anderung des MPI-Signals im Vgl. zu SPM

MMF2 bisher einzige Theorie, die bei MGA unabh¨angig von ρ konstante Verteilungsparameter liefert

(127)

Zusammenfassung

Polydispersit¨at

(128)

Zusammenfassung

Polydispersit¨at

(129)

Zusammenfassung

Polydispersit¨at

(130)

Zusammenfassung

Polydispersit¨at

(131)

Zusammenfassung

Polydispersit¨at