Differentialgleichungen Schwingungen
Aufgaben
Lösungen und Kommentar
1. Übungen:
a)
b) c)
Der inhomogene Teil von c) ist von Hand besser zu lösen. Die Ausgabe im Rechner ist ungünstig.
d)
e) Resonanzfall
f) Resonanzfall
g) Von Hand sieht die Lösung schöner aus.
Differentialgleichungen Schwingungen h) kein Resonanzfall, e-x kommt
zwar in der homogenen Lösung vor, aber nicht "allein".
2. Differentialgleichungen finden:
a) Die Konstanten 3 und 7 sind unwesentlich. Entscheidend ist nur, dass k1 = k2 = –4 sein muss.
Also y" + 8y' + 16y = 0.
Kontrolle siehe rechts.
b) Die Lösungen sind 2 + 3i und 2 – 3i.
Also lautet die Diffgl.
y" – 4y' + 13y = 0
c) Ebenso mit den Lösungen 3, –2:
y" – y' – 6y = 0
3. Maturaufgabe:
Die Lösung der homogenen Gleichung geht im Rechner sofort und problemlos.
Für die inhomogene Gleichung machen wir den üblichen Ansatz
... und setzen alles in die inhomogene Gleichung ein.
Differentialgleichungen Schwingungen Das ergibt das Gleichungssystem
für die Parameter a und b aus dem Ansatz für die inhomogene Gleichung.
Definiere y(x) neu für die ganze Differentialgleichung
Setze in die Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y'(0) = 1 ein.
Das ergibt als Lösung der Maturaaufgabe die Funktion ) x 5sin(
) 2 x 5cos(
) 1 x 5sin(
) 2 x 5cos(
e 1
y x + +
− +
⋅
= −
Zusatzinformation: Der Rechner stellt die Funktion etwas anders dar:
