Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 12. 2.Jahrgangstufe
Analytische Geometrie
Diese Aufgaben zeigen, welche grundlegenden Fertigkeiten die Schülerinnen und Schüler in diesem Lehrplanabschnitt erlernen müssen. Diese Aufgaben sollten die Schülerinnen und Schüler also sicher lösen können. Da viele Abituraufgaben komplexer
sind und einzelne Aufgabentypen vernetzen, garantiert das Beherrschen dieser Aufgaben jedoch noch keine gute oder sehr gute Abiturnote.
1. Gegeben sind die Geradeng1:X~ =
−1
−1
+λ
1 0
−3
,g2:X~ =
1 2 4
+µ
0 1 3
, g3:X~ =
2 4 8
+σ
0 2 6
undg4:X~ = 1
2
−4
−16
+τ
0
−3
−9
,λ, µ, σ, τ ∈IR.
Untersuchen Sie jeweils die Lagebeziehung:
(a) g1 undg2; (b)g2 undg3; (c)g3 undg4; (d)g1 undg4; falls sich die Geraden schneiden, bestimmen Sie auch den Schnittwinkel; falls die Geraden parallel sind, bestimmen Sie auch den Abstand.
2. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geradeng :X~=
0 9
−7
+λ
1
−4 1
,λ∈IR, λ ∈ IR, und der gegebenen Ebene; falls sie
sich schneiden, berechnen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel, falls sie echt parallel sind, den Ab- standd(g, E).
(a)E :x1−x2−5x3 = 26 (b)E : 3x1+x2+ 2x3+ 8 = 0 (c)E : 2x1+x2+ 2x3 = 5 3. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen; falls sie parallel sind, bestimmen
Sie den Abstand; falls sie sich schneiden, Schnittgerade und Schnittwinkel.
(a) E1 : 2x1−x2−2x3 = 6undE2 : 4x1 −x2 + 8x3 = 9 (b) E1 : 2x1−x2−2x3 = 6undE2 :−x1+ 0,5x2+x3 = 6 (c) E1 : 14x1 −2x2+x3 = 4undE2 : 3,5x1−0,5x2+ 14x3 = 1 4. Geben Sie zur EbeneE : x1 −2x2 −3x3 = 4
die
Gleichung
einer
Ebene F an, die darauf senkrecht steht und die Geradeg :X~ =
1 1
−1
+λ
−2 1 5
,λ∈IR, enth¨alt.
5. Gegeben sind die EbenenE : 3x1−2x2+ 6x3 = 14undF :−x1+ 4x2+x3 =−12.
(a) Berechnen Sie jeweils die Hesse-Normalform (HNF)!
(b) Liegt der PunktP(4|2| −6)n¨aher anE oder anF?
(c) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte (0|0|x3) auf der x3-Achse, die Ab- stand 10 von der EbeneEhaben.
(d) Welchen Gleichung hat eine Kugel umM(9|7|6), die die EbeneEgenau ber¨uhrt?
Falls die KugelkumM den Radius 13 hat, welchen Radius hat dann der Schnitt- kreis mit der EbeneE?
