Beschreiben Sie C(∆n) und C(∂∆n) mit Hilfe von (nat¨urlichen) Erzeugern und Relationen

J. Cuntz und T. Timmermann WS 13/14

Ubung zu Operatoralgebren¨ Blatt 1 f¨ur den 28.10.13

Das folgene Aufgabenblatt ist f¨ur eine ¨Ubung sicher zu umfangreich und wom¨oglich zu schwierig.

Aufgabe 1 behandelt ein Beispiel kommutativer universeller C^∗-Algebren und ist nicht so wichtig.

Aufgabe 2 ist wichtig und zeigt Techniken, die helfen, konkrete Realisierungen einfacher nicht-kommutativer universeller C^∗-Algebren zu finden.

Aufgabe 3 ist offener angelegt, deswegen schwieriger, und vertieft diese Techniken. In der ¨Ubung k¨onnen wir die in den Aufgaben 2 und 3 verwendeten/ben¨otigten S¨atze ¨uber C^∗-Algebren besprechen.

Aufgabe 1. (a) Bezeichne ∆_n = conv(e₁, . . . , e_n+1) ⊆ Rⁿ⁺¹ das Einheitssim- plex, also die konvexe H¨ulle der Standard-Basis. Beschreiben Sie C(∆_n) und C(∂∆n) mit Hilfe von (nat¨urlichen) Erzeugern und Relationen.

(b*) Einsimplizialer Komplex Σ sei ein Element der PotenzmengeP({1, . . . , n}) f¨ur ein n ∈ N mit folgender Eigenschaft: ∀A ∈ Σ, B ⊆ A : B ∈ Σ. Die geometrische Realisierung eines solchen Komplexes ist die Teilmenge

|Σ|= [

{i₁,...,ik}∈Σ

conv(e_i1, . . . , e_ik)⊆Rⁿ

Beschreiben SieC(|Σ|) mit Hilfe nat¨urlicher Erzeuger und Relationen.

Aufgabe 2. Wir betrachten die universelle von zwei Projektionen erzeugteC^∗- Algebra A:=C^∗(p, q :p=p^∗ =p², q=q^∗ =q²).

(a) Zeigen Sie: (p−q)² ∈A ist zentral (kommutiert mit p und q).

Sei ρ: A→ B(H) eineirreduzible Darstellung, alsoρ(A)ξ =H f¨ur jedes ξ ∈H.

Bez¨uglich der ZerlegungH =ρ(p)H⊕(1−ρ(p))H schreiben wirρ(q) als Matrix

ρ(q) =

a b c d

mit Operatoren a, b, c, d. Zeigen Sie schrittweise:

(b) aunddsind skalar (inC·id_H). (Hinweis: Aus (a) folgt ρ(p−q)² ∈C·id_H.) (c) b=c^∗ ist Vielfaches eines unit¨aren Elementes.

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(d) b=c^∗ ist skalar.

(e) Es gibt ein t∈[0, π/2] mit a= cos²(t), d= sin²(t), b= cos(t) sin(t).

(f) Finden Sie einen injektiven∗-Homomorphismus

A→ {f ∈C([0, π/2];M₂(C)) :f(0), f(π/2) sind diagonal}.

Dabei istC([0, π/2];M₂(C)) die C^∗-Algebra aller M₂(C)-wertigen stetigen Funktionen auf [0, π/2], versehen mit der Supremumsnorm.

(Hinweis: Verwenden Sie folgende Aussage: F¨ur jedes x ∈ A, x 6= 0 gibt es eine irreduzible Darstellung ρ: A→ B(H) mit ρ(x)6= 0.)

(g*) Zeigen Sie, dass die Abbildung in (f) ein Isomorphismus ist (bei richtiger Wahl) (Hinweis: Zeigen Sie Surjektivit¨at mit Hilfe von Stone-Weierstrass).

Aufgabe 3. Wir betrachten die C^∗-Algebren

B :=C^∗(z :z^∗z+zz^∗ = 1), C :=C^∗(x, y :x=x^∗, y =y^∗, x²+y² = 1).

Finden Sie

(a) einen IsomorphismusC →B, der sich einfach in den Erzeugern ausdr¨ucken l¨asst;

(b) eine Beschreibung des universellen abelschen Quotienten von B oder C (¨uber den jeder∗-Homomorphismus in eine abelscheC^∗-Algebra faktorisiert);

(c) einfache zentrale Elemente in B oder C (d) einen Isomorphismus

C → {f ∈C([0,1];A) :f(0)∈(Cp+C1_A), f(1)∈(Cq+C1_A)}.

Dabei ist C([0,1];A) die C^∗-Algebra aller A-wertigen stetigen Funktionen auf [0,1], versehen mit der Supremumsnorm kfk= maxt∈[0,1]kf(t)kA.

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