Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/21 (Variante A)
Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 8
Aufgabe 1. Bringen Sie die folgenden Matrizen in Zeilenstufenform
(a)
2 3 4 1 2 1 3 5 5
(b)
1 2 3 0 4 5 6 1 2 3 3 1
(c)
−3 2 −7 0 1 −6 −5 8 2 −9 −7 6 4 −6 7 0
und geben Sie den Rang an.
Lösung. Es gibt hier verschiedene Lösungswege; es gibt dementsprechend auch mehrere Lö- sungen; der Rang ist aber bei jeder Lösung derselbe.
(a)
2 3 4 1 2 1 3 5 5
→
1 2 1 2 3 4 3 5 5
→
1 2 1
0 −1 2 0 −1 2
→
1 2 1
0 −1 2
0 0 0
(b)
1 2 3 0 4 5 6 1 2 3 3 1
→
1 2 3 0
0 −3 −6 1 0 −1 −3 1
→
1 2 3 0
0 −1 −3 1 0 −3 −6 1
→
1 2 3 0
0 −1 −3 1
0 0 3 −2
(c)
−3 2 −7 0 1 −6 −5 8 2 −9 −7 6 4 −6 7 0
→
1 −6 −5 8
−3 2 −7 0 2 −9 −7 6 4 −6 7 0
→
1 −6 −5 8 0 −16 −22 24
0 3 3 −10
0 18 27 −32
→
1 −6 −5 8
0 3 3 −10
0 −8 −11 12 0 18 27 −32
→
1 −6 −5 8 0 3 3 −10 0 0 −9 −44
0 0 9 28
→
1 −6 −5 8 0 3 3 −10 0 0 −9 −44 0 0 0 −16
Der Rang der ersten Matrix ist 2, derjenige der zweiten Matrix ist 3 und derjenige der dritten Matrix ist 4.
Aufgabe 2. Berechnen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme:
(a) x1+ 2x2+ 3x3= 3 (b) x1 +x2+ 2x3+ 3x4= 1 2x1+ 3x2+ 8x3= 4 3x1 −x2 −x3−2x4=−4 3x1+ 2x2+ 17x3= 1 2x1+ 3x2 −x3 −x4=−6 x1+ 2x2+ 3x3 −x4=−4 Lösung. Wir lösen die beiden Gleichungssysteme:
2
(a)
1 2 3 3
2 3 8 4
3 2 17 1
→
1 2 3 3
0 −1 2 −2 0 −4 8 −8
→
1 2 3 3
0 −1 2 −2
0 0 0 0
Damit gibt es eine unabhängige Variable, z.B.x3. Man erhält dannx2undx1in Abhängig- keit vonx3: Es gilt−x2+ 2x3=−2⇒x2= 2 + 2x3und x1+ 2x2+ 3x3= 3⇒x1=−1−7x3. Damit ist die Lösungsmenge
L={(x1, x2, x3)∈R3|x2= 2 + 2x3, x1=−1−7x3}. (b) Wir vertauschen direkt die Zeilen:
1 1 2 3 1
3 −1 −1 −2 −4 2 3 −1 −1 −6 1 2 3 −1 −4
→
1 1 2 3 1
0 −4 −7 −11 −7 0 1 −5 −7 −8 0 1 1 −4 −5
→
1 1 2 3 1
0 1 1 −4 −5 0 −4 −7 −11 −7 0 1 −5 −7 −8
→
1 1 2 3 1
0 1 1 −4 −5 0 0 −3 −27 −27 0 0 −6 −3 −3
→
1 1 2 3 1
0 1 1 −4 −5
0 0 1 9 9
0 0 2 1 1
→
1 1 2 3 1
0 1 1 −4 −5
0 0 1 9 9
0 0 0 −17 −17
.
Daraus ergibt sichx4= 1,x3= 9−9x4= 0, x2=−5−x3+ 4x4=−1, x1= 1−x2−2x3−3x4=−1 also ist die LösungsmengeL={(−1,−1,0,1)}.
Aufgabe 3. Gegeben ist eine beliebige 2×2-Matrix A=
a11 a12 a21 a22
.
mita11,0. Bringen SieAin Zeilenstufenform. Unter welcher Bedingung an die Koeffizienten a11, a12, a21unda22ist das GleichungssystemAx=bfür jedesb∈R2eindeutig lösbar?
Lösung. Die Zeilenstufenform ist A0=
a11 a12 0 a22−a21
a11·a12
.
Das GleichungssystemAx=bist genau dann für jedesb∈R2eindeutig lösbar, wenn der Rang 2 ist. Es gilt
rg(A0) = 2⇐⇒a22−a21
a11·a12,0⇐⇒a11a22−a12a21,0.
Anmerkung:Die Zahla11a22−a12a21wird alsDeterminantevonAbezeichnet. Es gilt also: Das GleichungssystemAx=bist genau dann eindeutig lösbar für jedesb∈R2, wenn det(A),0.
Aufgabe 4. Sei A∈Rm×n eine Matrix in Zeilenstufenform und seib∈Rm. Unter welchen Be- dingungen anAundbist das lineare Gleichungssystemeindeutiglösbar,
(a) fallsm= 4 undn= 3?
(b) fallsm=n= 4?
(c) fallsm= 3 undn= 4?
3
Lösung.
(a) Es muss gelten rg(A) = rg(A, b) = 3 (d.h.Ahat Rang 3 und der letzte Eintrag vonbist 0).
(b) Es muss gelten rg(A) = 4 (dann ist das Gleichungssystem für jedesb∈R4eindeutig lösbar).
(c) Das Gleichungssystem ist unterbestimmt (3 Gleichungen mit 4 Unbekannten) und ist für keinb∈R4eindeutig lösbar (d.h. es gibt immer unendlich viele Lösungen).
Aufgabe 5. Bringen Sie die folgende Matrix in Zeilenstufenform und berechnen Sie den Rang in Abhängigkeit vonsundt:
s 2t −(2s+t) s s+t −(4s−t) 2s 2s+ 2t −(7s−5t)
Lösung.
s 2t −(2s+t) s s+t −(4s−t) 2s 2s+ 2t −(7s−5t)
→
s 2t −(2s+t) 0 s−t −2s+ 2t 0 2s−2t −3s+ 7t
→
s 2t −(2s+t) 0 s−t −2s+ 2t 0 0 s+ 3t
Wir machen eine Fallunterscheidung:
1. Fall: s=t= 0. Dann sind alle Einträge 0 und die Matrix hat Rang 0.
2. Fall: s= 0, t,0. Dann ist der Rang 2, denn man erhält durch weitere Zeilenumformun- gen:
0 2t −t 0 −t 2t 0 0 3t
→
0 −t 2t 0 0 3t 0 0 3t
→
0 −t 2t 0 0 3t
0 0 0
.
3. Fall: s,0, t= 0. Dann ist die Matrix bereits in Zeilenstufenform und hat den Rang 3.
4. Fall: s, t,0, s−t= 0. Dann gilts+ 3t,0 (sonst wäres=t= 0). Die zweite Zeile ist dann eine Nullzeile, die dritte aber nicht. Also ist der Rang 2.
5. Fall: s, t,0, s+3t= 0. Dann gilt wie obens−t,0. Nun ist die dritte Zeile eine Nullzeile, die zweite aber nicht. Also ist der Rang 2.
6. Fall: s, t,0, s−t,0, s+ 3t,0. Dann ist der Rang 3.
