FormelnundpraktischeAnwendungen ELEKTRO-TECHNIK

FE Fachkunde Elektrotechnik

NIN Niederspannungs-Installations-Norm

ELEKTRO- TECHNIK

Formeln praktische und Anwendungen

Version 5.15

5. Auflage

19. Juni 2009

Bearbeitet durch:

Niederberger Hans-Rudolf dipl. Elektroingenieur FH/HTL/STV dipl. Betriebsingenieur HTL/NDS Vordergut 1

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Telefon 055 654 12 87 P

Telefax 055 654 12 88 P

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Änderungen

Pos. Titel Bemerkung Datum der

Änderung Version

1 Aufteilung verbessert 05.11.07 1

2 Neue Organisation der Kapitel Kapitel dem internen Lehrplan angepasst 05.04.08 4

3 Inhaltsverzeichnis Eingefügt 20.02.09 13

4 Mechanik und Kräfterechnen angepasst 22.02.09 13

5 Inhaltsverzeichnis Angepasst 17.04.09 14

6 Seitenzahlen verändert 18.04.09 15

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Die Kapitel des Beufsfachschulunterrichts sind wie folgt gewählt:

Nr Inhalt ab

Seite Bildungs-

plan

Allgemeines 1

1 Arbeitssicherheit und Gesundheitsschutz 1000 BET 2.1, 2.2

2 Chemie und Wekstoffkunde 2000 BET 2.1

3 Mathematik 3000 TG 3.1

4 Mechanik 4000 TG 3.5.1 – 3.5.3

5 Wärmelehre 5000 TG 3.5.4

6 Chemische Spannungsquellen 6000 BET

TG ES

2.1.2 3.5.5 5.2.6 – 5.2.7

7 Elektrotechnik Grundlagen 7000 TG 3.2

8 Magnetismus 8000 TG 3.2.5

9 Induktion, Einphasenwechselstrom 9000 TG 3.2.6

10 Werkstattzeichnen 10000 TD 4.1.2, 4.2.2

4.2.5

11 Schemazeichnen 11000 TD 4.2.3, 4.2.6

12 Installationszeichnen 12000 TD 4.2.4, 4.2.7

13 Regeln der Technik, Niederspannungs-Installations-Norm (NIN) 13000 TD 4.3.1 – 4.3.6

14 Elektrisches Feld 14000 TG 3.2.5, 3.2.6

15 Drehstrom 15000 ES 5.1.2

16 RCL-Schaltungen, Kompensation 16000 TG 3.2.7

17 Elektronik 17000 TG 3.3

18 Wärme- und Kälteapparate 18000 ES 5.2.4

19 Transformatoren 19000 ES 5.1.1

20 Elektrische Maschinen 20000

21 Beleuchtungstechnik 21000 TG

ES 3.5.6 – 3.5.7 5.2.2

22 Messinstrumente, Messtechnik 22000

23 Steuerungstechnik, Gebäudeautomation 23000

24 Kommunikationstechnik 24000 TG 3.4

25 Richtlinien für die Installation von Telekommunikationsanlagen (RIT) 25000 TD 4.3.7

26 Tabellen 26000

1 ARBEITSSICHERHEIT UND GESUNDHEITSSCHUTZ 2 CHEMIE UND WERKSTOFFKUNDE

3 MATHEMATIK 4 PHYSIK/MECHANIK 5 WÄRMELEHRE

6 ELEKTROCHEMISCHE SPANNUNGSQUELLEN 7 ELEKTROTECHNIK GRUNDLAGEN

8 MAGNETISMUS

9 INDUKTION, EINPHASENWECHSELSTROM 10 WERKSTATTZEICHNEN

11 SCHEMAZEICHNEN

12 INSTALLATIONSZEICHNEN 13 REGELN DER TECHNIK 14 ELEKTRISCHES FELD 15 DREHSTROM

16 RLC-SCHALTUNGEN, KOMPENSATION 17 ELEKTRONIK

18 WÄRME-, KÄLTEAPPARATE 19 TRANSFORMATOREN

20 ELEKTRISCHE MASCHINEN 21 BELEUCHTUNGSTECHNIK

22 MESSINSTRUMENTE, MESSTECHNIK

23 STEUERUNGSTECHNIK, GEBÄUDEAUTOMATION 24 KOMMUNIKATIONSTECHNIK

25 RICHTLINIEN INSTALLATION TELEFONIE (RIT)

26 Tabellen

Stichwortverzeichnis

Absoluter Nullpunkt...501

Addition und Subtraktion...306

Aggregatszustände...502

Algebra Gleichungen...1401

Arbeit...402

Arbeitssicherheit Gefahrenstoffe...105

Grundsätze Branchenlösung...101

Notfalldispositiv...106

Sicherheitsregeln...103, 104 Sicherheitsvorkehrungen von Gebäuden...107

Unfallverhütung...102

Arithmetische Zeichen...305

Aussenleiterstrom...1503

Aussenleiterströme bei unsymetrischer ohmscher last...1516, 1517 Aussenwinkel...319

Autotransformator...1904

Basisgrössen der Physik...401

Baterieschaltung...601

Batterien Elektrochemische Spannungsreihen...2606

Elektrochemisches Äquivalent...2610

Begriffe zur Temperatur...501

Belasteter Spannungsteiler...719

Beleuchtung Dimensionierung...2102

Grundlagen...2101

Beschleunigung...415

Beschleunigungskraft...416

Binome...311

Bremsung...415

Brückenschaltung...722

Chemie- und Werkstoffkunde Bedeutung und Wert der Stoffe...202

Chemische Prozesse...206

Eigenschaften...203

Einteilung der Stoffe...201

Grundbegriffe...205

Kennzeichnung Gefahrenstoffe...207

Umweltschutz...208

Verwendung der Stoffe...204

Dauermagnet Drehstromtrafo...1907

Drehstromverbraucher...1510

Drehzahl...405

Drehzahlübersetzung...424

Dreieck...319

Dreieck-Stern-Umwandlung...723

Dreiphasengenerator...1501

Druck...426

Durchflutung...1903

Effektivwert...906

Einheit der Kalorie...2616

Einphasengenerator...903

Einphasen-Transformatoren...1903, 1904 Einphasenwechselstrom...905

Frequenz...905

Generator...903

Kreisfrequenz...907

Leistung...921

Netzfrequenz...904

Periodendauer...905

Winkelgeschwindigkeit...907

Elektrische Arbeit Blindarbeit...728, 928 Dreiphasen-Wechselstrom...1513

Energiekosten AC...928

Energiekosten DC...728

Gleichstrom...727

Wirkarbeit...728, 928 Elektrische Energie...727

Elektrische Leistung Dreiphasen Wechselstrom...1508

Einphasen Wechselstrom...921

Energiezähler...922, 1512 Gleichstrom...726

Elektrischer Kreis...806

Elektrischer Stromkreis...702

Elektromagnet Eigenschaften...803

Wirkungen aufeinander...803

Elektromotor...808

Elektronischer Trafo...1909

Elemntarladung Elektron...705

Energie...402

kinetisch...431

ohne lose Rollen...421

Francis-Turbine...435

Frequenz...905

Funktionen, Darstellung...340

Funktionen, Grafische Lösungen...341

Gefahrensymbole...2631

Generator...904

Generatorenregel...902

Geradlinige Bewegung...404

Gesamtwirkungsgrad...439

Geschwindigkeit...406

Geschwindigkeitsübersetzung...424

Gewichtskraft...413

Gleichschenkliges Dreieck...321

Gleichseitiges Dreieck...320

Gleichstrommotoren Anlassverfahren...2003

Schaltungen...2002

Gleichungen...315

Gleichungen mit mehreren Variablen...316

Grichisches Alphabet...2601

Hebel Drehmoment...419

-gesetz...419

mehr als zwei Kräften...420

mit zwei Kräften...419

Heizungsberechnung k-Wert...512, 513 u-Wert...512, 513 Heizwertberechnungen...514

Höhensatz...323

Höhensatz von Euklid...323

Hohlzylinder...335

Hydrostatischer Auftrieb...428

Hydrostatischer und hydraulischer Druck...427

Hypotenuse, Katheten...322

Induktion...901, 1903 Selbstinduktion...909

Induktionsgesetz...901

Induktivität...910

Innenwinkel...319

Isobaren...426

Kälteapparate...1801

Kaplan-Turbine...435

Katheten, Hypotenuse...322

Kathetensatz von Euklid...323

Kennwerte Wasserturbinen...435

Kinetische Energie...431

Kirchhoffsche Gesetze...725

Knoten...406

Kohlenstoffisotop...2626

Kompensation Drehstrom...1606, 1607 Einphasig...1606, 1607 mit Blindleistung...1606

mit Wirkleistung...1607

Kondensator Bauformen...1406

Energie...1402

Feldstärke...1401

Gleichstromkreis...1403

Ladung...1401, 1402 Parallelschaltung...1405

Permeabilität...1402

Serieschaltung...1404

Körper mit Horizontalschnittstelle...338

Kraftberechnung Beschleunigungskraft...416

Federkraft...414

Gewichtskraft...413

Pfeilsystem...408

Seilaufhängung...410

Teilkräfte entgegengesetzt...409

Teilkräfte gleichgerichtet...409

Teilkräfte senkrecht...410

Kraftübersetzung...423, 424 Kreis, Kreisring...330

Kreisausschnitt...328

Kreisförmige Bewegung...405

Kreisfrequenz...907

Kreissegment...329

Kugel...337

Längenausdehnung...507

Längenausdehnungskoeffizienten...2614

Leistung Mechanisch aus Kraft und Geschwindigkeit. .432, 433 Mechanisch aus Kraft und Weg...432, 433 Leistungsänderung an konstantem Widerstand...726

Leistungsverlust Dreiphasenwechselstrom-Leitungen...1521

Einphasenwechselstrom-Leitungen...930

Gleichstrom-Leitungen...731

Leitfähigkeit...710

Leitungswiderstand...709

Leitwert...710

Logarithmieren...314

Magnetischer Kreis...805, 806 Magnetismus...801

Elektromotor...808

Generatorenregel...902

Induktion...901

Induktionsgesetz...901

Motorenregel...807

Selbstinduktion...909

Masse...403

Masse des Elektrons...705

Massumrechnungen...304

Massvorsätze...301

Mechanische Arbei von Wasserturbinen...430

Mechanische Arbeit Kraft und Weg...429

Mechanische Energie...429

Mechanische Leistung Drehzahl und Drehmoment...437

Wasserturbinen...434

Meilen...406

Messbereicherweiterung Voltmeter...720

Momentanwert...906 Motoren

Anlassverfahren...2003, 2005

Motorenregel...807

Multiplikation...307

Multiplikation mit Brüchen...308

Nebeneinanderchaltung von Widerständen...712

Nebenwinkel...319

Nennspannung...1503

Netzfrequenz...904

Netzspannung...1503

Neutralleiterstrom Grafisch...1505

Rechnerisch...1506

NIN...1301

Ohmscher Widerstand einer Spule...714

Ohmsches Gesetz...705

Parallelogramm...324

Parallelschaltung von idealen Spulen...918

Parallelschaltung von realen Spulen...919

Parallelschaltung von Widerständen...712

Pascal’sches Dreieck...311

Pelton-Turbine...435

Periodendauer...905

Pfeisystem...408

Phasenverschiebung...1509

Potentielle Energie...430

Primärspannung...1904

Prisma...333

Prozentrechnen...302

Pyramide...336

Pythagoras...323

Quadrat...325

Raumaufteilung...303

Rechteck...326

Rechtwinkliges Dreieck...322

Regeln der Technik...1301

Reibung Gleitreibung...425

Haftreibung...425

Rollreibung...425

Reihenschaltung von Widerständen...711

Relative Atommasse...2626

Relative Atommassen...2626

Rhombus...324

RLC-Schaltungen...1601, 1602 RLC-Schaltungen in Resonanz...1603, 1604, 1605 Scheitelwert...906

Scheitelwinkel...319

Schemazeichnen...1101, 1201 Schmelz- und Verdampfungswärme...505

Schmelzwärme...2612

Sechseck...331

Wärmeänderung...509

Zeitänderung...509

Spannungsdifferenz...730

Spannungserzeuger...704

Spannungsquellen Chemischer Vorgang...604

Ersatzschaltbilld...601

Galvanisieren...607

Netzersatzanlagen...608

Parallelschaltung...603

Primärelemente...605

Sekundärelemente...606

Serieschaltung...602

Spannungsverlust...730

Spannungswandler...1906

Spartransformator...1904

Spezielle Widerstandsschaltungen Drehstromverbraucher...1510

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme ...2612

Spezifische Werte reiner Metalle...2602, 2603 Spezifische Werte sonstiger Stoffe...2604

Spezifischer elektrischer Widerstand...709

Spule Induktivität...912

Spulenwiderstand Ohmisch...714

Stern- und Dreieckschaltung...1502

Stern-Dreieck-Umwandlung...723

Strangspannung...1503

Strangstrom...1503

Stromdichte...707

Stromwandler...1905

Stromwirkungen...703

Stufenwinkel...319

Supplementwinkel...319

Tabellen Dichte Gase und Dämpfe...2611

Dielektrizitätszahlen...2608

Elektrochemische Spannungsreihen...2606

Frequenzen...2618

Gefahrensymbole...2631

Grichisches Alphabet...2601

Krafteinheiten...2609

Längenausdehnungskoeffizienten...2614

Relative Atommasse...2626

Spezielle Einheiten...2616

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme ...2612

Kraftzerlegung...412

nicht senkrecht aufeinander...411

senkrecht aufeinander...410

Temperaturdifferenz...501

Temperatureinfluss auf elektrischen Widerstand. 716 Temperaturkoeffizient...716

Temperaturskalen...501

Thaleskreis...323

Transformatoren Autotransformator...1904

Dreiphasenwechselstrom...1907

Einphasenwechselstrom...1903, 1904 Elektronisch...1909

Spartransformator...1904

Wirbelströme...1908

Trapez...327

Trigonometrie...339

Übersetzungsverhältnis...1903, 1904 Übersicht über die Temperaturskalen...2617

Umdrehung...405

Umfangsgeschwindigkeit...405

Umrechnung Einheit der Kalorie...2616

Leistung...2616

Unbelasteter Spannungsteiler...718

Unterer Heizwert von Brennstoffen...2613

Unterer Heizwert von Gasen...2613

Vektoren...408

Verdampfungswärme...505, 2612 Vergleich elektrischer mit magnetischem Kreis. . .806

Verkettungsfaktor...1503

Verluste...438

Verlustleistung...438

Volumenausdehnung...508

Volumenausdehnungskoeffizienten...2615

Volumenstrom der Turbine...434

Wärmeapparate...1801

Wärmearbeit...503, 504 Wärmeausdehnungskoeffizienten...2614, 2615 Wärmeenergie...402

Wärmeinhalt Boiler...503, 504, 506, 509 Wärmelehre...501, 508 Wärmenergie...503, 504, 506 Wärmewirkungsgrad...438, 506 Wechselstrom Elektrische Arbeit...923

Elektrische Energie...923

Ideale Spule...913

Kondensator...920

Ohmscher Widerstand...908

Phasenverschiebung...915

Reale Spule...914

Wechselstrommotoren Anlassverfahren...2005

Drehzahlsteuerung...2006

Schaltungen...2004

Werkstattzeichnen...1001

Wertigkeitsbegriff...2628

Widerstands-Schaltung Belasteter Spannungsteiler...719

Brückenschaltung...722

Dreieck...723

Mesbereich V-Meter...720

Stern...723

Unbelasteter Spannungsteiler...718

Würfelwiderstände...724

Windungszahl...1903

Wirkungsgrad...438

Arbeit, Leistung...438

Einzelteil...438

Energie,Wärme...438

Gesamtanlage...439

Würfel...332

Würfel-Widerstände...724

Wurzelrechnen...313

Zählerformel...922, 1512 Zahnradübersetzung...424

Zylinder...334

1 Arbeitssicherheit und Gesundheitsschutz

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Inhalt ab

Seite Kapitel Lehrplan

Grundsätze Branchenlösung

1100 1.1 2.2.1

Massnahmen zur Verhütung von Unfällen

1200 1.2 2.2.4

Sicherheitsregeln

1300 1.3 2.2.4

Gefahrenstoffe

1400 1.4 2.1.4

Konkretes Notfalldispositiv

1500 1.5 2.2.5

Technische Sicherheitsvorkehrungen von

Gebäuden

^{1600 1.6 2.2.5}

Repetitionsfragen

1700 1.7

Gefahrensymbole

1800 1.8

2.7 2.1.4

Grundsätze Branchenlösung

6

Spezialisten - Beratung - Analysen - Ausbildung

(BATISEC / SUVA) Arbeitgeber

- Gesamtverantwortung - Gefahren ermitteln - Massnahmen - Laufend prüfen

Arbeitnehmer - Unterstützung - Informationen - Mitsprache Verantwortlichkeiten

Verantwortlichkeiten

Arbeitssicherheit Gesundheitsschutz

Grundsätzliches

NextNextNext BackBackBackEndEndEnd KapitelKapitelKapitel

FE14 Version 5

Massnahmen zur Verhütung von Unfällen

Sicherheitsregeln

Im Normalfall sind Arbeiten an elektrischen Installationen im spannungslosen Zustand auszuführen.

5 Sicherheitsregeln

1

Freischalten und allseitig trennen

2

Gegen Wiedereinschalten sichern

3

Auf Spannungslosigkeit prüfen

4

Erden und kurzschliessen

5

Gegen benachbarte, unter Spannung stehende Teile schützen

NIV

Art. 22

Arbeitssicherheit

An Niederspannunganlagen kann auf das Erden und Kurzschliessen verzichtet werden, wenn keine Gefahr von Spannungsübertragung oder Rückspeisung besteht.

NIV

Art. 22 ^1d

Hinweis anbringen

„Nicht schalten“

Digitaler Spannungsprüfer

FE17 Version 5

Erste Hilfe

Gefahrenstoffe

Ätzend

Augenschutz benutzen

Giftig

Explosions- gefährlich

Am Schluss unter Kapitel 26 Tabellen finden Sie die Gefahrensymbole!

FE14 FE15 FE16 Version 5

Konkretes Notfalldispositiv

Technische Sicherheitsvorkehrungen von Gebäuden

o

Alarmanlagen

o

Videoüberwachung

o

Brandmeldeanlagen

o

Notbeleuchtungen

o

Notstromanlagen

o

Schlüsselverwaltung

o

Zutritt- und Austrittkontrolle

o

Personensuchanlagen

o

Sicherheitsmanagement

o

Notschaltungen

G l e i c h r ic h t e r W e c h s e lr i c h t e r

L a d e - r e g l e r

B a t t e r ie

FE517 FE394 FE397 Version 5

2 Chemie und Werkstoffkunde

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Inhalt ab

Seite Kapitel Lehrplan

Einteilung der Stoffe

2100 2.1 2.1.1

Bedeutung und Wert der Stoffe

2200 2.2 2.1.1

Eigenschaften der Stoffe

2300 2.3 2.1.2

Verwendung der berufsrelevanten Stoffe

2400 2.4 2.1.2

Chemische Grundbegriffe

2500 2.5 2.1.3

Chemische Prozesse

2600 2.6 2.1.3

Kennzeichnung von Gefahrenstoffen

2700 2.7 2.1.4

Umweltschutzphilosophie

2800 2.8 2.1.5

Einteilung der Stoffe

Version 5

Bedeutung und Wert der Stoffe

%

Material Herkunftsländer

36,9

Eisen

3,01

Aluminium Stahl Germanium

15

Silizium

0,06

Kohlenstoff

2,9

Nickel

29

Sauerstoff

0,18

Kobalt Zink Zinn

%

Material Herkunftsländer Wolfram

Silber Gold

0,14

Mangan

0,08

Wasserstoff

0,11

Chrom

0,58

Titan

Keramik

Baumwolle

Glimmer

Gummi

Eigenschaften der Stoffen

Version 5

Verwendung der berufsrelevanten Stoffe

Chemische Grundbegriffe

Version 5

Chemische Prozesse

Kennzeichnung von Gefahrenstoffen

Version 5

Umweltschutzphilosophie

3 Mathematik

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Inhalt ab

Seite Kapitel Lehrplan

Arithmetik und Algebra - Grundlagen

3100 3.1 3.1.1

Algebra - Grundrechenarten

3200 3.2 3.1.1

Algebra - Gleichungen

3300 3.3 3.1.1

Geometrie – Planimetrie

3400 3.4 3.1.2

3.1.2 3.1.2

Geometrie – Steriometrie

3700 3.7 3.1.2

Geometrie – Trigonometrie und Einheitskreis

3800 3.8 3.1.2

Algebra - Grafische Darstellungen und Lösungen

3900 3.9 3.1.3

Massvorsätze

Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet.

Vorsatz Vorsatz-

zeichen Zehner-

potenz Vorsatz Vorsatz-

zeichen Zehner- potenz

Yotta Y 10

²⁴

Zetta Z 10

²¹

Exa E 10

¹⁸

Peta P 10

¹⁵

Tera T 10

¹²

Dezi d 10

^-1

Giga G 10

⁹

Zenti c 10

^-2

Mega M 10

⁶

Milli m 10

^-3

Kilo k 10

³

Mikro  10

^-6

Hekto h 10

²

Nano n 10

^-9

Deka da 10

¹

Piko p 10

^-12

Femto f 10

^-15

Atto a 10

^-18

Zepto z 10

^-21

Yokto y 10

^-24

Griechisches Aphabet siehe Seite 2601.

Prozentrechnen

Beispiel 1

„Wirkungsgrad - Motorleistung“

2

1 P

P P_V   P1

P

2

P1

P

2

M 

%

%

  100

Auf Ab

P

 P

„Differenzwert -Leistung“

% 100

1 1 2

%

  

 P

P P P

Beispiel 2

„Differenzwert - Spannungsabfall“

R^L

U¹

B il d 1 . 7 . 1

RV

RL

U2

VL

UL

VL

UL

V1 V2

I

% 100

1 2 1

%

 



 U

U u U

Beispiel 3

„Differenzwert -Temperatur“

% 100

20 20

%

  

 



 

C







 

20

B il d 1 . 2 . 1

  

 

R

R

R2 0

R

 

R

R

 

Prozentwert

% 100

w%

G W  

%

%  100 G w W

Differenzwert

G

G wW 



%

%   100

 G

G w W

Achtung

Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegenüber dem Grundwert.

Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme (Leistungszunahme bei Spannungszunahme).

G ^Grundwert

G ist der angenommene 100%-Wert

W Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Wieviel in absolutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert

w%Prozentsatz [%]

w

Differenzwert Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 100%-Wert

w%



Prozentsatz der

Differenz [%]

P1 Anfangsleistung

] [W P2 Endleistung

] [W

PV Leistungsverluste

] [W

U1 Anfangsspannung

] [V U2 Endspannung

] [V

u Spannungsabfall

] [V



1 Anfangstemperatur

] [C



2 Endtemperatur

] [C



 Temperaturdifferenz

] [C

Version 5

Einteilungen

Lampeneinteilung in einem Raum

) 1 (

)

( _{1 2}









 

n

a b n a x l

) 1 (

) (

_{1 2}





  n

a a x l

l

a1 b

x

^b

x

^b

x

^b a₂

B il d 2 2 . 0 5 . 0 6

l

a1 b b b b a₂

2

1

n b ( n 1 ) x a

a

l       

l

a1 a₂

b

x x x

B il d 2 2 . 0 5 . 0 7

l

a1 a₂

b

2 1

( n 1 ) x a a

l     

l

a1

x x x

a₂

B il d 2 2 . 0 5 . 0 8

l

a1 a₂

Bei allen eingesetzten Einheiten ist auf die Gleichheit zu achten.

] [m

] [dm

] [cm

] [mm

Einheitenumrechnung siehe Seite 304.

x

Lampenabstand [m]

b Lampenlänge [m]

a1 Wandabstand

links [m]

a1 Wandabstand

rechts [m]

n

Anzahl Lampen []

Umrechnung der Längen- , Flächen und Volumenmasse

Länge

 ^Fläche  ^Volumen 

Exponent

1 2 3

* mm

101 10² 10³

* cm

101 10² 10³

* dm

101 10² 10³

* m

103 10⁶ 10⁹

* km

:

Rechnet man von einem kleineren Mass zu einem grösseren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle dividiert werden.

.

Rechnet man von einem grösseren Mass zu einem kleineren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle multipliziert werden.

mm

100

= ? m

Teiler mm

100

=

1000 100mm

=

^0,1m

Dies entspricht einem Teiler von

1000

10³

.

1dm3

= ?

cm³

Faktor dm³

1

=

1dm³1000

=

1000cm³

Dies entspricht dem Faktor 1000 .

Version 5

Arithmetik

Kopfrechnen

Kopfrechnen mit allen möglichen Zahlen ist die Basis der Gedankenknotenbildung im Gehirn. Die Schule hat auch die Aufgabe diese Gedankenknoten zu festigen und zu erweitern. Der gleiche Effekt wie mit den Zahlen kann durch sprachliche Weiterentwicklung erreicht werden.

Bildung ist also nicht nur eine Frage der Mathematik sondern auch des Allgemeinwissens.

Wichtig ist bei aller Anwendung Einmal geschrieben ist wie zehnmal gelesen!

Arithmetische Zeichen

(nach DIN 1302)

Beschreibung Beispiel

+ plus, und 347

- minus, weniger 532

x 

mal, multipliziert 2612

: geteilt durch, dividiert 4

3 12 

= gleich 1138



identisch gleich 55



ungleich, nicht gleich 57



nahezu gleich, rund, etwa 0,333

3 1 



^unendlich ₀^{1 }

< kleiner als 58



kleiner als oder gleich ab

> grösser als 71

absoluter Betrag ⁷

 ˆ

^entspricht

^{1 cm  ˆ 500 N}

(z.B. in einer

Zeichnung)

Addition und Subtraktion

In einer Summe darf man die Summanden vertauschen.

(Kommutativgesetz) abba

Beim addieren darf man die Summanden zu Teilsummen zusammenfassen.

(Assoziativgesetz) (ab)ca(bc)

Gleichnamige Ausdrücke können zusammengefasst werden, indem die Beizahlen addiert oder subtrahiert werden.

a a a

a 3 2 5

6   

a a a

a 2 (4 2) 6

4     

Die Reihenfolge der einzelnen Glieder darf

verändert werden. a2cbab2c

Es lassen sich nur gleichnamige Ausdrücke

zusammenfassen. 3a5ba2b4a3b

Steht ein -Zeichen vor dem

Klammerausdruck, so können die Klammer und das -Zeichen weggelassen werden, ohne dass sich der Wert in der Klammer ändert.

b a b a( ) 

c b a c b

a(  )  

Steht ein



-Zeichen vor der Klammer, so müssen bei ihrem Weglassen alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. (Das



-Zeichen vor der Klammer fällt mit der Klammer weg)

b a ) b (

a    c b a ) c b (

a    

Summand Summand

Summe

a b c  

c b a  b  c a

M in u e n d

S u b t r a h e n d D i f f e r e n z

Version 5

Multiplikation, Multiplizieren

Zwischen Faktoren, nicht aber zwischen Ziffern, kann man das Malzeichen weglassen

4   a 4 a

5 2      a b 5 2 ab  10 ab

Man kann die Faktoren vertauschen

(Kommutativgesetz).

b a c a b c abc       b a c      3 4 12 abc

Ist ein Faktor Null, so ist das ganze Produkt Null.

3 0 0   a   0 0 10     a 0 b 0

Man darf Teilprodukte zusammenfassen

(Assoziativgesetz).

4 5 a b     4 5 ab  20 ab

Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben

ein positives ( + ) Resultat.

a b ab  

(a) ( b) ab

Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein negatives ( - ) Resultat

ab b

a   

 ) (

ab b

a( )

Man multipliziert ein Klammerausdruck mit einem Faktor, indem man jedes Glied einer

Summe mit dem Faktor multipliziert. n a b(  )na nb

Man multipliziert zwei Klammerausdrücke, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert (siehe auch Binome).





 )( ) (a b c d

bd bc bc ac  

Einen gemeinsamen Faktor kann man

ausklammern. an bn n n a b   (  1)

Definition der Elemente beim Multiplizieren

a b   c

F a k to r F a k to r

P r o d u k t R e s u lta t

Multiplikation mit Brüchen

Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem die Zahl mit dem Faktoren des Zählers

multipliziert wird. b

c ac b a 

Brüche werden multipliziert, indem die Faktoren des Zählers und die Faktoren des

Nenners multipliziert werden. bd

ac d c b a 

a

b c a c

  b

F a k to r F a k to r

P r o d u k t

a b

c d

a c

  b d

F a k t o r F a k t o r

P r o d u k t

b a

Z ä h l e r

N e n n e r

a

Version 5

Division von Einfachbrüchen

Doppelpunkt und Bruchstrich sind

gleichbedeutende Rechenzeichen. a b

b a  :

Zähler und Nenner darf man nicht

vertauschen, es entsteht sonst der Kehrwert

des Bruches. 2

3 3

;2 

 a b b a

Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben

ein positives ( + ) Resultat. b

a b a

Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein negatives ( - ) Resultat

b a b a b

a  





b a b a 



b a b

a 



Beim Kürzen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen.

3 6

3

2 3 2

ab bc

a b b c

a

    c

   

Man darf niemals bei einem Bruch einzelne

Summanden einer Summe kürzen. a a a a a

2 2

2    

Sind bei einem Bruch Zähler oder Nenner Summen, so muss man alle Summanden

durch die gleiche Zahl kürzen. b c

a ac ab  

Sind Zähler und Nenner Summen, so muss man, wenn möglich, gemeinsame Faktoren ausklammern und kann dann gleiche Faktoren kürzen. Der zun kürzende Faktor kann in sich auch eine Summe sein.

b a c b b

c b a bc b

ac

ab 



 





) (

) (

2

Normalerweise wird eine Division als Bruch geschrieben

a

b  a b :  c

Q u o tio e n t (B r u c h )

D iv is o r D iv id e n t

b a

Z ä h l e r

N e n n e r

a

Dividieren von Doppelbrüchen

Doppelbrüche werden dividiert, indem man den zweiten Bruch umstürzt und dann die

Brüche multipliziert. bc

ad c d b a d c b a d cb a







 :

Wird ein Bruch durch eine Zahl dividiert, so wird der Nenner des Bruches mit dieser Zahl

multipliziert. bc

a c b a c b a c b a







 1

:1

Wird ein Zahl durch einen Bruch dividiert, so wird die Zahl mit dem Nenner des Bruches multipliziert.

Doppelbrüche werden dividiert, indem man den zweiten Bruch umstürzt und dann die Brüche multipliziert.

b ac b c a c b a c b a

c b

a     

: 1 1 1

Ein Doppelbruch kann vereinfacht werden, indem man mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner die zwei Brüche erweitert

(Erweiterungsmethode)

b a

ab a b ab

a b b ab a

b a b b

a



 

 



 

  

 



 

  







2 2

1 1 1

1

a b c d

Quotioent (Doppelbruch)

Dividend (Bruch)

Divisor (Bruch)

b a

Z ä h l e r

N e n n e r

a

Version 5

Binome

Exponentialrechnen, Potenzieren

Addition undSubtraktion ²²²² 423 aaaa 

Gleiche Potenzen, also Ausdrücke mit gleichen Exponenten und gleicher Basis werden addiert oder subtrahiert, indem man

nur ihre Beizahlen addiert oder subtrahiert und die Potenz beibehält.

Multiplikation

a a

ⁿ



^m

 a

^{m n}

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis mit der Summe der

Exponenten potenziert.

Division

a

a a

m n



m n^

Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man die Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert.

Potenzieren vonPotenzen

 

^{am n }

 

^{an mam n}

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten

potenziert.

Man kann die Exponenten vertauschen.

Version 5

Wurzelrechnen, Radizieren

Addition undSubtraktion ³³³³ 432 aaaa 

Gleichnamige Wurzelausdrücke lassen sich zusammenziehen (Beizahlen addieren und

subtrahieren).

Multiplikation

n n

n a b ab

Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der

Radikanden gezogen wird.

Ei Produkt wird radiziert, indem jeder Faktor radiziert wird.

Division

n n n

b a b a 

Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Quotienten der

Radikanden gezogen wird.

Ein Quotient wird radiziert, indem aus dem Zähler und aus dem Nenner die Wurzel

gezogen wird.

Potenzieren

 

^{n mmn aa }

n

a a

n 1



 

^{n m mn}

n

a

m

 a  a

Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert und daraus die Wurzel

gezogen wird.

Jede Wurzel kann in eine Potenz mit geprochenem Exponenten umgewandelt

werden.

Logarithmieren

Potenzieren

Umkehrung 1 des Potenzieren führt zum Radizieren

Umkehrung 2 des Potenzieren führt zum Logarithmieren

Logab ist dijenige reelle Zahl x, für die a^X =b gilt.

x  l o g

_a

b

B a s i s N u m e r u s

L o g a r i t h m u s

Ein Produkt wird logarithmiert, indem man

die Logarithmen der Faktoren addiert.

log (

_a

u v   ) log

_a

u  log

_a

v

Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den

Logarithmus des Nenners subtrahiert log_a u log_a log_a

v  u v Ein Potenz wird logarithmiert, indem man

den Logarithmus der Basis mit dem

Exponenten multipliziert

log

a

log

n

b   n

a

b

Sonderfall log_a^v bⁿ n log_a

v b

 

Die Kennzahl des des Logarithmus für eine Zahl, die grösser ist als eins, ist immer um 1 kleiner als die Stellenzahl der ganzen Zahl vor dem Komma.

3  log 1000

Stellenzahl

=4

Kennzahl

Die Kennzahl des Logarithmus für eine Zahl, die kleiner ist als 1, ist immer negativ (-1, -2, -3) und ohne Berücksichtigung des Kommas gleich der Anzahl Nullen vor der ersten Ziffer. Man schreibt sie hinter die Mantisse.

 3 l o g ,0 0 0 1

S t e l l e n z a h l

= 4

K e n n z a h l

Version 5

Gleichungen mit einer Variablen

Werden Grössen miteinander durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so entsteht eine Gleichung.

Ist in einer Gleichung ein Glied unbekannt, so wird die Gleichnung Bestimmungsgleichung genannt; die unbekannte (x) kann bestimmt werden.

Eine Gleichung kann anschaulich mit einer Waage verglichen werden, welche im Gleichgewicht ist.

Die Waage bleibt auch im Gleichgewicht, wenn auf beiden Seiten (Waagschalen) die gleiche

veränderung stattfindet, z.B. 8kg weggenommen wird analog gilt dies auch bei den Gleichungen.

12 8

 x

8 12 8 8  

 x

8 12

 x

4 x

Merke:

Eine Gleichung bleibt eine wahre Ausssage, wenn man beide Seiten in gleicher

Weise verändert, d.h., man kann auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren,

oder sbtrahieren - mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren, sowie radizieren oder potenzieren.

Achtung

Durch Null darf man nicht dividieren.

Beim radizieren bzw wurzelziehen entstehen immer zwei Lösungen.

Gleichungen mit mehreren Variablen

Bilden Gleichungen mit mehreren Variablen ein Gleichungssystem, so kann man die Lösungsvariablen leicht rechnerisch bestimmen. In der Regel wird die Zahl der Gleichungen mit denen der Variablen übereinstimmen. Bei der rechnerischen Bestimmung der Lösungsvariablen unterscheidet man 3 Verfahren. Mit Hilfe dieser Verfahren versucht man, aus dem Gleichungssystem durch Umformung eine Gleichung mit einer Variablen zu gewinnen. Nachdem man diese Variable bestimmt hat, kann die zweite Variable leicht berechnet werden.

Additions- bzw. Subtraktionsmethode

Man multipliziert bei dieser Methode eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen, daß beim anschließenden Addieren bzw. Subtrahieren entsprechender Glieder eine Variable wegfällt (bei uns die Variable y). Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, setzt man die

ausgerechnete Lösung in eine der beiden Gleichungen ein und rechnet die zweite Unbekannte aus.

Gleichsetzungsmethode

Bei dieser Methode werden beide Gleichungen nach einer Variablen umgeformt und dann gleichgesetzt. Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, muß man wiederum die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dabei immer die einfachste Gleichung wählen.

Einsetzungsmethode

Hierbei rechnet man aus einer Gleichung eine Variable aus und setzt sie dann in die andere Gleichung ein. Man erhält wiederum eine Gleichung mit einer Variablen, die ausgerechnet werden kann. Die zweite Variable wird durch rückläufiges Einsetzen ausgerechnet.

Merke:

Je nach Aussehen der Gleichungen wird eine der Methoden gewählt, und zwar die, die am schnellsten zum Ziel führt.

Version 5

Quadratische Gleichungen mit einer Lösung

Quadratische Gleichungen mit zwei Lösungen

Version 5

Allgemeines Dreieck

Flächenberechnungen und Bezeichnungen

2 h

c

A c 



c b a U   

Stufenwinkel Scheitelwinkel Innenwinkel Neben- bzw.

Supplementwinkel Ergänzugs- bzw.

Aussenwinkel

Beispiel „Stufenwinkel



^“:

r

1

h c b

c

a

A B

C

M

B il d 2 2 . 0 3 . 0 1

r

1

h c b

C

U m k r e i s

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten gebildet.





 























B i ld 2 2 . 8 . 1 A

B

C

a

c

b

A

^{Fläche [m2]}

a

^{Seite des}

Dreieckes [m] b ^{Seite des}

Dreieckes [m]

c

^{Seite des}

Dreieckes [m]

U ^{Umfang [m]}

hc Höhe auf Seite c des Dreieckes [m]

r1 Umkreisradius[m]

M

Mittelpunkt des Umkreises

Achtung

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

Flächenberechnungen Gleichseitiges Dreieck

 



 







2 2

2 a a h_a





 ^{2 2}

4 1 4

4a a

h_a 2 3

 a h_a

 

 2 h

a

A a   

2 2 3 a a

4

2 3

 a A

a U 3

3 3 3

1

a r  a 

6 3

2

 a r

r1

h a

a

a

a

A B

C

M

r1

r2

r2

B il d 2 2 . 0 3 . 0 2

r1

h a

C

U m k r e i s r1

r2

r2 I n k r e i s

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten gebildet. Der Inkreis wird durch die

Winkelhalbierenden gebildet.

Beim gleichseitigen Dreieck sind die Winkelhalbierende und die Mitelsenkrechte deckungsgleich.

A

^{Fläche [m2]}

a

^{Seiten des}

Dreieckes [m]

U ^{Umfang [m]}

ha Höhe auf Seite a des Dreieckes [m] r1 Umkreisradius [m] r2 Inkreisradius [m]

M

Mittelpunkt des Umkreises

Achtung

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

Version 5

Flächenberechnungen Gleichschenkliges Dreieck

c a U 2 

r1

h

c a b

c

a

A B

C

M r²

Z

B il d 2 2 . 0 6 . 0 1

r1

h

c a b

C

U m k r e i s

r2 I n k r e i s

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten gebildet.

Der Inkreis wird durch die Winkelhalbierenden gebildet.

A

^{Fläche [m2]}

a

^,b^,

c

Seiten des Dreieckes [m]

U ^{Umfang [m]}

hc Höhe auf Seite c des Dreieckes [m]

r1 Umkreisradius [m] r2 Inkreisradius [m]

M

Mittelpunkt des Inkreises

Z

Mittelpunkt des Umkreises

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

Bezeichnungen am Dreieck Rechtwinkliges Dreieck

c b

a

A

B

C





B il d 2 2 . 0 3 .0 3

b

C

Die Eckbezeichnungen werden am Dreieck im Gegenuhrzeigersinn beschriftet.

b ^Kathete

Ankathete „AK“ zum Winkel



Gegenkathete „GK“ zum Winkel 

a

^Kathete

Ankathete „AK“ zum Winkel  Gegenkathete „GK“ zum Winkel

 c

Hypotenuse „H“

Version 5

Lehrsatz von Pythagoras

Satz vom Pythagoras

2 2

2 a b

c  

Die Benennung des Satzes nach Pythagoras stammt von Euklid.

c b a U   

Kathetensatz von Euklid

p

c a²  

q c b²  

Höhensatz von Eu

klid q p h

_C²

 

Thales von Milet

„Das Wasser ist das Beste“

Er galt als der älteste der sieben Weisen in der Antike.

c b

a

A

B

C





B il d 2 2 . 0 3 . 0 3

b

C

Merke:

Alle Dreiecke unter dem Thaleskreis sind

„Rechtwinklig“.

h c b

c

a

A B

C

M

p ^q

B il d 2 2 . 0 3 . 0 4

h c b

C

T h a l e s k r e i s

p

Hypotenusenabschnitt

q

Hypotenusenabschnitt

Seitendefinitionen siehe Seite 352.

Alle Längenmasse möglich. Es ist auf die Massgleichheit zu achten.

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

"Alles ist Zahl"

Pythagoras von Samos (Geboren um 570 v. Christus, † nach

510 v. Chr.), war ein griechischer

Philosoph

Euklid von Alexandria (ca. 365 v. Christus vermutlich in

Alexandria oder Athen;

† ca. 300 v. Chr.), war ein griechischer

Mathematiker.

Flächenberechnungen Parallelogramme

Rhombus

A a h  

Aa²sin

U   4 a

h a sin

cos2 2  

 a d_AC

Rhomboid (Parallelogramm)

Beispiel

Serieschaltung von

ohmschem Widerstand und realer Spule

I I

B i l d 6 . 2 6 . 4

Rb Xb

Zb Ra

Ra Vorwiderstand []

Rb Widerstand der Spule []

h a

a

A

a

B

C

M r1

r2

r2

A D

h a

d A C

d

B D

 

E



^{B il d}2 2 . 0 3 . 0 7

h a U m k r e i s

C

r1

r2

r2

I n k r e i s h ^a

d A C

d

B D

Beispiel

Dabei ist der Winkel



60 und 0,866 cos2 

.

Daraus folgt, der Spezialfall Verkettungsfaktor bei Drehstrom:

 3

a d_AC

A a h  

A  a b sin U  2 (a b )

h b sin



 cos

2 2

2 b ab

a

d_AC    ¹⁾

1) Kosinussatz





U

_{R a}

U

U

_{R b}

B i ld 6 . 2 6 . 3

U

_{x b}

U

_{Z b}

I

 3

a d_AC

Version 5

Quadrat

a2

A

a U 4

Diagonallänge





 a² a² d





 2 a² d

 2

a d

Umkreisradius



 2

1

r d

2

 2 a

1 2 r  a

Inkreisradius



 2

1 2

r r 

2 2 a

 2  2

a

2 2 r  a

r

1

d

r

2 a

a a

a

A B

D C

I n k r e i s

B il d 2 2 . 0 1 . 0 1

r

1

d

r

2

C U m k r e i s

hc

r₁  c

d 

r2

a

a a

a

A B

D C

r2

I n k r e i s

B il d 2 2 . 0 1 . 0 2

hc

r₁ c

d

r2

C U m k r e i s

r2

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten gebildet.

Der Inkreis wird durch die Winkelhalbierenden gebildet.

A

^{Fläche [m2]}

a

^{Seiten des}

Quadrates [m]

U ^{Umfang [m]}

d ^{Diagonale [m]} r1 Umkreisradius[m] r2 Inkreisradius [m]

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10