Sommersemester 2019

(1)

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Tim Schmitz, Christopher Max

Zusatzübung zur Theoretischen Physik II (Lehramt, Geophysik, Wahlfach)

Sommersemester 2019

Diese freiwillige Zusatzübung soll zur Wiederholung einiger Grundlagen die- nen, die für das weitere Verständnis von Vorlesung und Übungen nötig sind.

Bei Interesse können Sie Ihre Lösung dieser Übung bei Ihrem Tutor zur Kor- rektur abgeben.

Hermitesches Skalarprodukt

Es seien |ψ ₁ i, |ψ ₂ i und |ψ ₃ i orthonormale Zustandsvektoren eines quantenmechanischen Systems. Weitere Zustände seien gegeben durch |φ ₁ i = 2 |ψ ₁ i+ |ψ ₂ i, |φ ₂ i = 2 |ψ ₁ i +i |ψ ₂ i und |φ 3 i = 3 |ψ 1 i − 2i |ψ 2 i + |ψ 3 i.

a) Was ist hψ _i |ψ _j i für beliebige i, j?

Bestimmen Sie

b) hψ _i , φ ₃ i und hφ ₃ , ψ _i i für alle i.

c) hφ i |φ j i für alle i, j mit i 6= j . Zeigen Sie explizit, dass hφ i |φ j i = hφ j |φ i i ^∗ . d) ||φ _j || für alle j , ||φ ₁ + φ ₂ || und ||2φ ₂ + φ ₃ ||.

Betrachten Sie nun den Vektor |χi = hφ 1 |φ 2 i |φ 1 i.

e) Bestimmen Sie hφ ₂ |χi und ||χ|| ² . Warum ist hφ ₂ |χi reell?

Rechnen mit Summen

Bestimmen Sie a) P 3

k=1 k ² und P 3 k=1

1 k . b) P 3

k=1 1 k

· P 3 k=1 k ²

, P 3 j,k=1

j

²

k und P 3 k=1 k.

c) P 2 j=1

P 2 k=0 k ^j .

1

(2)

Orthonormalbasen in Hilberträumen

Es sei |ψ 1 i , . . . , |ψ n i eine Orthonormalbasis eines n-dimensionalen Hilbertraumes, n ≥ 3.

Weitere Zustandsvektoren seien gegeben durch

|φ ₁ i =

n

X

j=1

a j |ψ _j i , |φ ₂ i = 1

√ 2 (|ψ ₁ i − |ψ ₂ i) ,

|φ ₃ i = 1

√ n

n

X

j=1

|ψ _j i , |φ ₄ i = 1

√ n ² − n

n−1

X

j=1

|ψ _j i + (1 − n) |ψ _n i

! ,

wobei a _j ∈ C .

a) Bestimmen Sie hψ _j |φ ₁ i, hψ _j |φ ₂ i, hψ _j |φ ₃ i und hψ _j |φ ₄ i für alle j = 1, . . . , n.

b) Bestimmen Sie hφ ₁ |φ ₃ i, hφ ₃ |φ ₁ i, hφ ₂ |φ ₁ i, hφ ₃ |φ ₂ i und hφ ₂ |φ ₄ i.

c) Zeigen Sie, dass |φ ₂ i , |φ ₃ i , |φ ₄ i ebenfalls orthonormal sind.

d) Welches α ∈ R muss gewählt werden, s.d. α |φ ₁ i auch normiert ist?

e) Wir nehmen nun n = 4 an. Finden Sie ein φ ₅ , s.d |φ ₂ i , |φ ₃ i , |φ ₄ i , |φ ₅ i eine Ortho- normalbasis des Hilbertraumes bilden.

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Sommersemester 2019

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Tim Schmitz, Christopher Max

Zusatzübung zur Theoretischen Physik II (Lehramt, Geophysik, Wahlfach)

Sommersemester 2019

Diese freiwillige Zusatzübung soll zur Wiederholung einiger Grundlagen die- nen, die für das weitere Verständnis von Vorlesung und Übungen nötig sind.

Bei Interesse können Sie Ihre Lösung dieser Übung bei Ihrem Tutor zur Kor- rektur abgeben.

Hermitesches Skalarprodukt

Es seien |ψ 1 i, |ψ 2 i und |ψ 3 i orthonormale Zustandsvektoren eines quantenmechanischen Systems. Weitere Zustände seien gegeben durch |φ 1 i = 2 |ψ 1 i+ |ψ 2 i, |φ 2 i = 2 |ψ 1 i +i |ψ 2 i und |φ 3 i = 3 |ψ 1 i − 2i |ψ 2 i + |ψ 3 i.

a) Was ist hψ i |ψ j i für beliebige i, j?

Bestimmen Sie

b) hψ i , φ 3 i und hφ 3 , ψ i i für alle i.

c) hφ i |φ j i für alle i, j mit i 6= j . Zeigen Sie explizit, dass hφ i |φ j i = hφ j |φ i i ∗ . d) ||φ j || für alle j , ||φ 1 + φ 2 || und ||2φ 2 + φ 3 ||.

Betrachten Sie nun den Vektor |χi = hφ 1 |φ 2 i |φ 1 i.

e) Bestimmen Sie hφ 2 |χi und ||χ|| 2 . Warum ist hφ 2 |χi reell?

Rechnen mit Summen

Bestimmen Sie a) P 3

k=1 k 2 und P 3 k=1

1 k . b) P 3

k=1 1 k

· P 3 k=1 k 2

, P 3 j,k=1

j

k und P 3 k=1 k.

c) P 2 j=1

P 2 k=0 k j .

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Orthonormalbasen in Hilberträumen

Es sei |ψ 1 i , . . . , |ψ n i eine Orthonormalbasis eines n-dimensionalen Hilbertraumes, n ≥ 3.

Weitere Zustandsvektoren seien gegeben durch

|φ 1 i =

n

X

j=1

a j |ψ j i , |φ 2 i = 1

√ 2 (|ψ 1 i − |ψ 2 i) ,

|φ 3 i = 1

√ n

n

X

j=1

|ψ j i , |φ 4 i = 1

√ n 2 − n

n−1

X

j=1

|ψ j i + (1 − n) |ψ n i

! ,

wobei a j ∈ C .

a) Bestimmen Sie hψ j |φ 1 i, hψ j |φ 2 i, hψ j |φ 3 i und hψ j |φ 4 i für alle j = 1, . . . , n.

b) Bestimmen Sie hφ 1 |φ 3 i, hφ 3 |φ 1 i, hφ 2 |φ 1 i, hφ 3 |φ 2 i und hφ 2 |φ 4 i.

c) Zeigen Sie, dass |φ 2 i , |φ 3 i , |φ 4 i ebenfalls orthonormal sind.

d) Welches α ∈ R muss gewählt werden, s.d. α |φ 1 i auch normiert ist?

e) Wir nehmen nun n = 4 an. Finden Sie ein φ 5 , s.d |φ 2 i , |φ 3 i , |φ 4 i , |φ 5 i eine Ortho- normalbasis des Hilbertraumes bilden.

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Es seien |ψ ₁ i, |ψ ₂ i und |ψ ₃ i orthonormale Zustandsvektoren eines quantenmechanischen Systems. Weitere Zustände seien gegeben durch |φ ₁ i = 2 |ψ ₁ i+ |ψ ₂ i, |φ ₂ i = 2 |ψ ₁ i +i |ψ ₂ i und |φ 3 i = 3 |ψ 1 i − 2i |ψ 2 i + |ψ 3 i.

a) Was ist hψ _i |ψ _j i für beliebige i, j?

b) hψ _i , φ ₃ i und hφ ₃ , ψ _i i für alle i.

c) hφ i |φ j i für alle i, j mit i 6= j . Zeigen Sie explizit, dass hφ i |φ j i = hφ j |φ i i ^∗ . d) ||φ _j || für alle j , ||φ ₁ + φ ₂ || und ||2φ ₂ + φ ₃ ||.

e) Bestimmen Sie hφ ₂ |χi und ||χ|| ² . Warum ist hφ ₂ |χi reell?

k=1 k ² und P 3 k=1

· P 3 k=1 k ²

P 2 k=0 k ^j .

|φ ₁ i =

a j |ψ _j i , |φ ₂ i = 1

√ 2 (|ψ ₁ i − |ψ ₂ i) ,

|φ ₃ i = 1

|ψ _j i , |φ ₄ i = 1

√ n ² − n

|ψ _j i + (1 − n) |ψ _n i

wobei a _j ∈ C .

a) Bestimmen Sie hψ _j |φ ₁ i, hψ _j |φ ₂ i, hψ _j |φ ₃ i und hψ _j |φ ₄ i für alle j = 1, . . . , n.

b) Bestimmen Sie hφ ₁ |φ ₃ i, hφ ₃ |φ ₁ i, hφ ₂ |φ ₁ i, hφ ₃ |φ ₂ i und hφ ₂ |φ ₄ i.

c) Zeigen Sie, dass |φ ₂ i , |φ ₃ i , |φ ₄ i ebenfalls orthonormal sind.

d) Welches α ∈ R muss gewählt werden, s.d. α |φ ₁ i auch normiert ist?

e) Wir nehmen nun n = 4 an. Finden Sie ein φ ₅ , s.d |φ ₂ i , |φ ₃ i , |φ ₄ i , |φ ₅ i eine Ortho- normalbasis des Hilbertraumes bilden.