12 Die Messung von Frequenz und Zeit

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Die Messung von Frequenz und Zeit

In der modernen Meßtechnik werden in zunehmendem Maße die Zeit und Fre- quenz als informationstragende Parameter genutzt. Einer der Hauptvorz¨uge dieser Codierungsart liegt in der sehr hohen Genauigkeit, mit der Zeitinter- valle und Frequenzen gemessen werden k¨onnen. Ein weiterer Vorteil besteht darin, daß sich die im allgemeinen in analoger Form vorliegenden Meßsigna- le auf einfache Weise mit Hilfe von Z¨ahlerschaltungen digitalisieren lassen.

Zeit- und Frequenzmessungen sind eng miteinander verkn¨upft, da beide mit Hilfe von Z¨ahlern durchgef¨uhrt werden. Man kann erreichen, daß der Meßfeh- ler bei der Zeit- bzw. Frequenzmessung im wesentlichen auf die Ungenauig- keit der eingesetzten Zeitbasis beschr¨ankt bleibt, deren Genauigkeit wieder- um von dem dort verwendeten frequenzbestimmenden Element definiert wird.

Dieses Frequenznormal basiert standardm¨aßig auf einem Schwingquarz, der zur Erh¨ohung der Genauigkeit temperaturstabilisiert betrieben werden kann.

Selbst mit einfachen nicht temperaturstabilisierten Uhrenquarzen sind relative Frequenzfehler von weniger als 10⁻⁵m¨oglich. Durch geeignete Temperaturre- gelungen lassen sich die relativen Fehler bez¨uglich der Temperaturdrift sogar noch um drei bis vier Gr¨oßenordnungen reduzieren. Pr¨azisionsfrequenzz¨ahler hingegen enthalten Rubidium-Elemente, die Genauigkeiten im Bereich 10⁻¹⁰ bis 10⁻¹¹ erm¨oglichen. In speziell eingerichteten Laboratorien, wie z. B. der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig, werden bei der Zeitmessung sogar Genauigkeiten von 5·10⁻¹⁵ erzielt [16].

Wenn zeitlich ¨aquidistante Impulse (Pulsfolgefrequenzf) eines Signals in einem Z¨ahler w¨ahrend eines Zeitintervalls T summiert werden (Abb. 12.1), ergibt sich der Z¨ahlerstandN_Xaus dem Produkt dieser beiden Gr¨oßen

NX=f T . (12.1)

Bei der Zeitmessung wird die Anzahl N_X der Impulse eines frequenzstabilen Referenzsignals mit der Taktfrequenzf_refmit Hilfe eines Z¨ahlers w¨ahrend der zu messenden ZeitT_X gez¨ahlt. Damit berechnet sich die ZeitT_X zu

TX= NX

f_ref . (12.2)

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch

DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_12, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 201 2

Abb. 12.1. a)Prinzipschaltbild der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung,b)Zeit- diagramm

Bei der Frequenzmessung hingegen werden die w¨ahrend der ReferenzzeitT_ref (Torzeit) einlaufenden Impulse des Meßsignals gez¨ahlt. Aus dem Z¨ahlerstand N_X und der mit hoher Genauigkeit vorgegebenen Torzeit T_ref kann die Fre- quenzf_Xbestimmt werden

f_X= N_X

T_ref . (12.3)

12.1 Mechanische Frequenzmessung

Zur Messung der Netzfrequenz mit Hilfe mechanischer Meßwerke befinden sich teilweise noch die zur Kategorie derVibrationsmeßwerkez¨ahlendenZun- genfrequenzmesserim Einsatz. Diese Meßwerke besitzen bewegliche Kompo- nenten, die infolge elektromagnetischer Anregung in resonante Schwingungen versetzt werden. Nennenswerte Auslenkungen treten nur bei der jeweiligen (mechanischen) Resonanzfrequenz der Zungen auf. Beim Zungenfrequenzmes- ser ist vor den Polschuhen eines Elektromagneten ein Kamm aus weichmagne- tischen Stahlzungen angeordnet, welche sich in bezug auf ihre Resonanzfre- quenz unterscheiden (Abb. 12.2). Diese Meßwerke dienen der ¨Uberwachung eines schmalen Frequenzbandes, typischerweise 47 - 53 Hz bzw. 46 - 54 Hz, in dem die Netzversorgungsspannung liegt. Die Frequenzunterschiede der einzel- nen Zungen liegen bei 0,5 Hz. Daneben gibt es auch Ausf¨uhrungsformen f¨ur andere Frequenzbereiche, z. B. 10 Hz - 2 kHz.

12.2 Digitale Frequenzmessung 397

Abb. 12.2.Aufbau eines Zungenfrequenzmessers [158]

12.2 Digitale Frequenzmessung

Bei der digitalen Frequenzmessung wird das Meßsignal zun¨achst in einem als Impulsformer dienenden Schmitt-Trigger in eine Folge von Rechteckpulsen gewandelt. Diese Pulse werden w¨ahrend einer definierten Meßzeit T_ref, die durch einen Referenztakt, einen Frequenzteiler mit Teilerverh¨altnisN_ref so- wie ein Toggle-Flip-Flop vorgegeben wird, von einem Vorw¨artsz¨ahler zu einem Z¨ahlerstandN_Xsummiert. Die prinzipielle Schaltung zur digitalen Frequenz- messung wird in Abb. 12.3 gezeigt. Die zu messende Frequenzf_X ergibt sich zu

f_X= NX

T_ref = fref

N_refN_X. (12.4)

Der Z¨ahler muß zu Beginn jeder neuen Meßperiode zur¨uckgesetzt werden. Es sei darauf hingewiesen, daß dieser R¨ucksetzvorgang von der in Abb. 12.3 ge- zeigten Prinzipschaltung noch nicht automatisch vorgenommen wird. Soll das Verh¨altnis zweier Frequenzen gebildet werden, so ist dies mit Hilfe einer leicht modifizierten Schaltung (Abb. 12.4) ebenfalls m¨oglich. Analog zur einfachen digitalen Frequenzmessung kann das Frequenzverh¨altnis abgeleitet werden.

Dazu ist in Gl. (12.4)fXdurchf1/N1undTref durchN2/f2zu ersetzen

Abb. 12.3.Digitale Frequenzmessung

f₁ f₂ =N₁

N₂N_X. (12.5)

Abb. 12.4. Messung eines Frequenzverh¨altnisses

12.3 Digitale Zeitmessung

12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdifferenzmessung)

Bei der digitalen Zeitintervallmessung werden die von einem Taktsignal mit bekannter Referenzfrequenz w¨ahrend der zu messenden ZeitT_Xin einen Z¨ahler einlaufenden Impulse gez¨ahlt (Abb. 12.5). Der konstante Referenztakt wird von einem Rechteckoszillator geliefert, der sich durch hohe Frequenzstabi- lit¨at auszeichnet. Seine Pulse werden gez¨ahlt, solange der zweite Eingang des UND-Gatters auf1 liegt. Dieses zweite Eingangssignal entspricht dem Aus- gangssignal eines RS-Flip-Flops, dessen Setzen und R¨ucksetzen mit der jeweils ansteigenden Flanke des Start- bzw. Stopsignals erfolgt. Wird das RS-Flip- Flop zur¨uckgesetzt, sperrt das Gatter und der Z¨ahler wird gestoppt. Aus dem Z¨ahlerstandN_Xund der bekannten Referenzfrequenzf_ref kann das Zeitinter- vallT_X gem¨aß

T_X= 1

f_refN_X (12.6)

ermittelt werden.

F¨ur den Fall, daß Start- und Stop-Signal auf ein und derselben Leitung einander folgen, wird anstatt des RS-Flip-Flops ein T-Flip-Flop eingesetzt (Abb. 12.6). Infolge eines anf¨anglichen Resetsignals erscheint am Eingang des ersten T-Flip-Flops ein1-Signal. Daraufhin wird mit der n¨achsten ansteigen- den Flanke des Meßsignals (Start-Marke) der Ausgang des ersten T-Flip-Flops auf 1 gesetzt und bewirkt damit ¨uber das UND-Gatter das Durchschalten des Referenztaktsignals auf den Z¨ahler. Die n¨achste ansteigende Flanke des Meßsignals (Stop-Marke) stoppt den Z¨ahlvorgang durch R¨ucksetzen des er- sten T-Flip-Flops und das damit einhergehende Sperren des UND-Gatters.

12.3 Digitale Zeitmessung 399

Abb. 12.5. Digitale Zeitintervallmessung mit getrennten Start-/Stop- Signalleitungen:a)Prinzipschaltbild,b)Zeitdiagramm

Das gleichzeitige R¨ucksetzen vonT₁=Q₂= 1 aufT₁=Q₂= 0 bewirkt, daß das erste T-Flip-Flop bis zum n¨achsten Resetimpuls verriegelt wird und nur noch Speicherwirkung hat, woraufhin die Schaltung auf keine weiteren Start- bzw. Stopimpulse mehr reagiert.

Aus Genauigkeitsgr¨unden sollte die Taktfrequenz m¨oglichst hoch liegen, da die unweigerlich vorhandene Unsicherheit des Z¨ahlerstandes bei±1 liegt.

Dieser sog.Quantisierungsfehlerist stets vorhanden, weil die Phasenlage zwi- schen Takt und den Intervallgrenzen des ZeitintervallsTXi.allg. nicht koh¨arent ist, was zu einer absoluten MeßzeitunsicherheitΔT_Xf¨uhrt. Der daraus resul-

Abb. 12.6. Digitale Zeitintervallmessung mit gemeinsamer Start-/Stop- Signalleitung

tierende relative Meßfehler betr¨agt ΔT_X

T_X =

±1 N_X

= 1

N_X = 1

f_refT_X . (12.7)

Gleichung (12.7) sagt aus, daß der Fehler umso kleiner wird, je h¨oher die Taktfrequenzf_ref und je l¨anger das ZeitintervallT_X ist.

Bei der Messung kleinerer Zeitintervalle werden daher oft sog.Zeitexpan- der eingesetzt. Ein Zeitexpander f¨uhrt analog zu einem Frequenzteiler eine Zeittransformation durch, d. h. ein kurzes Zeitintervall wird in ein l¨ange- res ¨uberf¨uhrt. Beim Schwebungsfrequenz-Zeitexpander werden zwei phasen- starr verbundene RechteckoszillatorenG₁undG₂mit den Pulsfolgefrequenzen f₁ = 1/T₁ und f₂ = 1/T₂ vom Start- bzw. vom Stop-Signal des zu messen- den ZeitintervallsT_Xgestartet (Abb. 12.7). Dabei wird vorausgesetzt, daß das ZeitintervallT_Xk¨urzer ist als die PeriodendauerT₁. Da die Pulsfolgefrequenz f₂ geringf¨ugig gr¨oßer ist alsf₁, wird nach einer Zeit T_Koinzidenz erstmalig die Phasenkoinzidenz der beiden Oszillatoren erreicht sein. Wenn man von Run- dungsfehlern absieht, kann die KoinzidenzzeitT_Koinzidenz wie folgt berechnet werden

TKoinzidenz=TX+NXT2=NXT1. (12.8)

Abb. 12.7.Zeitdiagramm eines Schwebungsfrequenz-Zeitexpanders (Rundungsfeh- ler außer acht gelassen)

Das zu messende ZeitintervallT_X und das Zeitexpansions-Verh¨altnisd_terge- ben sich zu

T_X=N_X(T₁−T₂) (12.9)

d_t= T_Koinzidenz TX

= T₁ T1−T2

. (12.10)

Abbildung 12.8 zeigt eine entsprechende Schaltung mit den dazugeh¨origen

12.3 Digitale Zeitmessung 401 Signalverl¨aufen. Nach einem anf¨anglichen Resetsignal ist die Schaltung vor- bereitet, die Start- und Stop-Marke des zu messenden ZeitsignalsT_Xin Form einer ansteigenden bzw. abfallenden Flanke eines Rechteckpulses ¨uber die Lei- tungu_Ezu empfangen. DasT₁-Flip-Flop startet daraufhin den GeneratorG₁, w¨ahrend dasT₂-Flip-Flop nach Ablauf des ZeitintervallsT_Xden GeneratorG₂ in Gang setzt. Der Schaltung kommt nun noch die wesentliche Aufgabe zu, zu erkennen, wann die erste ansteigende Taktflanke desG₂-Signals (geringf¨ugig) fr¨uher eintrifft als die korrespondierende Flanke desG₁-Signals. Dann n¨amlich

Abb. 12.8. Schwebungsfrequenz-Zeitexpander: a) Prinzipschaltung, b) Signal- verl¨aufe

ist der Z¨ahler, der die G₁-Pulse z¨ahlt, zu stoppen und der Z¨ahlerstand zur Auswertung nach Gl. (12.9) heranzuziehen. Schaltungstechnisch wird dies durch die R¨uckkopplung der Q₃- und Q₄-Ausg¨ange erreicht. Dadurch kann das T₄-Flip-Flop erstmals kippen (dazu muß T₄ = 1 sein und gleichzeitig eine positive Taktflanke am Takteingang anliegen), wenn die ansteigendeG₂- Taktflanke fr¨uher eintrifft als die korrespondierende desG₁-Signals. Dies wird m¨oglich, da diese (korrespondierende) G₁-Taktflanke jedesmal das T₃-Flip- Flop aufQ₃= 1 bzw.Q₃= 0 schaltet, sodaß dasT₄-Flip-Flop wegenT₄= 0 gegen ein Umschalten verriegelt wird. Erst bei einem fr¨uheren Eintreffen fin- det die ansteigendeG2-Flanke ein mitT4= 1 umschaltbaresT4-Flip-Flop vor.

Durch diesen Schaltvorgang wird der Z¨ahler ¨uber das UND-Gatter an seinem Eingang gestoppt. Gleichzeitig kann anhand desQ4-Signals erkannt werden, wann die Messung zu Ende ist.

12.3.2 Periodendauermessung

Bei der Periodendauermessung wird das MeßsignaluE(t) von einem Schmitt- Trigger zun¨achst in ein Rechtecksignal mit derselben Periodendauer umge- formt. Die beiden T-Flip-Flops der in Abb. 12.9 gezeigten Schaltung bewir- ken, daß bei einer ansteigenden Flanke der Signalspannungu_StdasQ₁-Signal auf1 geht, wenn vorher beide Flip-Flops zur¨uckgesetzt waren. ¨Uber das am UND-Gatter anliegende Q₁-Signal (Q₁= 1) wird der Z¨ahler dadurch f¨ur ge- nau eine Periode der DauerT_Xge¨offnet (Abb. 12.9b). Aus dem w¨ahrend dieser

Abb. 12.9. Periodendauermessung:a)Prinzipschaltbild,b)Zeitdiagramm

12.4 Digitale Phasenwinkelmessung 403 Periode erhaltenen Z¨ahlerstandN_X kann die zu messende Periodendauer T_X ermittelt werden

T_X= N_X

f_ref . (12.11)

Nach Ablauf dieser Periode wird dasT₁-Flip-Flop ¨uber dasQ₂-Signal (Q₂= 0) f¨ur weitere Messungen gesperrt, bis die beiden T-Flip-Flops ¨uber ein gemein- sames Resetsignal wieder zur¨uckgesetzt werden.

12.4 Digitale Phasenwinkelmessung

Bei der digitalen Phasenwinkelmessung soll die Phasenwinkeldifferenzϕ_Xzwi- schen zwei Sinusspannungen u₁(t) undu₂(t) derselben Frequenz

Abb. 12.10.Digitale Phasenwinkelmessung:a)Prinzipschaltbild,b)Zeitdiagramm

u₁(t) = ˆu₁sinωt (12.12) u2(t) = ˆu2sin(ωt+ϕX) (12.13) bestimmt werden. Eine solche Phasendifferenzmessung kann auf die Messung der Zeitdifferenz

T_X= ϕ_X

ω , (12.14)

die zwischen zwei gleichsinnigen Nulldurchg¨angen der beiden Sinusspannun- gen vergeht, zur¨uckgef¨uhrt werden. Die ZeitdifferenzTXkann mit Hilfe der in Abb. 12.10a gezeigten Schaltung gemessen werden. Abbildung 12.10b soll die prinzipielle Funktionsweise anhand der Signalverl¨aufe erl¨autern. Der Phasen- winkel ϕ_X ergibt sich aus dem Z¨ahlerstand N_X und der Kreisfrequenz ω des Eingangssignals

ϕ_X=ωT_X=ω 1

f_refN_X. (12.15)

12.5 Rechnender Z¨ ahler

Rechnende Z¨ahler enthalten zwei Z¨ahlwerke, welche die Pulse vom Referenz- taktsignal und Meßsignal getrennt z¨ahlen (Abb. 12.11). Die Steuerfunktion sowie die numerische Auswertung ¨ubernimmt ein Mikrocomputer. Der rech- nende Z¨ahler mißt Frequenz und Periodendauer auf die gleiche Weise, wobei bei beiden Messungen die Eingangsimpulse und die Pulse des Referenztaktsi- gnals gez¨ahlt werden. Anschließend wird die Frequenzf_Xdes Meßsignals aus dem Quotienten der beiden Z¨ahlerst¨andeN_X undN_Yberechnet

f_X= N_X

N_Yf_ref. (12.16)

Der Kehrwert 1/f_X entspricht der Periodendauer des Eingangssignals. Wenn die Messung mit dem Meßsignal u_E synchronisiert wird, bezeichnet man die Messung alseingangssynchronisierteoderreziprokeMessung; erfolgt die Syn- chronisierung hingegen mit dem Referenztakt der Zeitbasis, spricht man von taktpulssynchronisierteroderkonventionellerMessung.

Abb. 12.11. Rechnender Z¨ahler

12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) 405

12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer)

Wenn die Impulsdauer der Informationstr¨ager eines Meßsignals ist (Pulsdau- ermodulation, Kap. 1.6), kann der Meßwert mit Hilfe eines Zeit-Spannungs- Umsetzers (t/U-Umsetzer), der im einfachsten Fall aus einem RC-Tiefpaß besteht, in eine analoge Spannung zur¨uckgewandelt werden. Wenn n¨amlich das pulsdauermodulierte Signal uE (Rechteckpulsfolge mit konstanter Takt- frequenz 1/T₀ und konstanter Amplitude U₀) einem RC-Tiefpaß zugef¨uhrt wird, kann an dessen Ausgang eine Spannung abgegriffen werden, deren zeit- licher Mittelwert ¯u_Aproportional der Pulsl¨angeT_X ist (Abb. 12.12)

¯

u_A= ¯u_E= 1 T₀

_T0

0

u_E(t) dt= 1 T₀

_TX

0

U₀dt=U₀T_X

T₀ . (12.17) Bez¨uglich der Zeitkonstanten des RC-Gliedes ist ein Kompromiß zu schließen zwischen dem Aufl¨osungsverm¨ogen, das von der Restwelligkeit begrenzt wird, und der Anzeigegeschwindigkeit, d. h. der Tr¨agheit beim Einstellen auf neue Meßwerte.

Abb. 12.12. RC-Tiefpaß als einfacher Zeit-Spannungs-Umsetzer

12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer)

Wenn die Frequenz der Informationstr¨ager des Meßsignals ist (Frequenzmo- dulation, Kap. 1.6), wird zur analogen Weiterverarbeitung der Meßwerte eine Frequenz-Spannungs-Umsetzung notwendig. Zur Analoganzeige drehzahlpro- portionaler Frequenzsignale wird beispielsweise oft ein mittelwertbildender Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) eingesetzt (Abb. 12.13). Nach eventueller Pulsformung durch einen Schmitt-Trigger wird auf die Eingangs- flanke eines jeden Pulses hin ein Rechteckpuls definierter zeitlicher L¨angeT₀ und AmplitudeU₀erzeugt. Dies geschieht mit Hilfe einer monostabilen Kipp- stufe (Kap. 11.4). Der zeitliche Mittelwert der Ausgangsspannungu_Aist pro- portional der momentanen Puls-Frequenzf_X der Eingangsspannungu_E

¯ u_A= 1

T_{X TX}

0

u_AM(t) dt= 1 T_X

_T0

0

U₀dt=U₀T₀f_X. (12.18)

Die zeitliche Mittelwertbildung erfolgt wiederum mit Hilfe eines RC-Tiefpas- ses. Abbildung 12.13 zeigt das entsprechende Blockschaltbild der Gesamt- schaltung, bestehend aus Impulsformer (Schmitt-Trigger), monostabiler Kipp- stufe (Monoflop) und RC-Tiefpaß, sowie den Spannungsverlauf u_AM(t) f¨ur verschiedene Zeitverl¨aufe der Eingangsspannung u_E. Ein solcher Frequenz- Spannungs-Umsetzer wird in der Meßtechnik auch oft als Z¨ahlratenmesser verwendet. Die Welligkeit der Ausgangsspannung kann bei geringen Z¨ahlraten bzw. kleiner Zeitkonstante sehr ausgepr¨agt sein. Die Zeitkonstante l¨aßt sich allerdings nicht beliebig erh¨ohen, da sich die Schaltung sonst unter Umst¨anden nicht mehr schnell genug auf die aktuelle Z¨ahlrate einstellen kann.

Abb. 12.13.Frequenz-Spannungs-Umsetzer:a)Prinzipschaltbild,b)Signalverl¨aufe f¨ur zwei verschiedene Eingangsspannungen

12.8 Oszillatoren

12.8.1 Grundlagen

Unter dem BegriffOszillator versteht man in der Elektrotechnik eine Schal- tung, die der Erzeugung unged¨ampfter Schwingungen mit definierter Frequenz und konstanter Amplitude dient. Der Schwingungserzeuger (Oszillator) er- scheint dabei in einem elektrischen Netzwerk als ein aus aktiven und passi- ven Bauelementen bestehender Zwei- oder Vierpol. Der Begriff Oszillator ist aber nicht auf das Gebiet der Elektrotechnik beschr¨ankt. So bezeichnet ein Oszillator allgemein ein schwingendes Gebilde, wie z. B. das einfache Masse- Feder-System, welches einen typischen mechanischen Oszillator repr¨asentiert.

Man unterscheidet zwischenharmonischen OszillatorenundRelaxationsoszil- latoren. Harmonische Oszillatoren erzeugen Schwingungen mit harmonischem

12.8 Oszillatoren 407 (sinusf¨ormigem) Zeitverlauf, w¨ahrend die Relaxationsoszillatoren zur Gene- rierung von Schwingungen mit nicht-sinusf¨ormigem Zeitverlauf, z. B. Recht- eckspannungen, herangezogen werden.

Zur Erzeugung harmonischer Schwingungen ist eine R¨uckstellkraft erfor- derlich, die proportional mit der Auslenkung (Schwingungsgr¨oße) zunimmt.

Beim mechanischen Masse-Feder-Oszillator ergibt sich diese R¨uckstellkraft aus dem Hookeschen Gesetz

F=cx . (12.19)

Dabei bezeichnenF die mechanische Kraft, die stets zur Gleichgewichtslage hin gerichtet ist,c die Federkonstante undxdie Auslenkung. In Verbindung mit dem Newtonschen Gesetz ergibt sich die Schwingungsdifferentialgleichung f¨ur das Masse-Feder-System wie folgt

md²x

dt² +cx= 0. (12.20)

Dabei bezeichnen m die Masse des Schwingers und t die Zeitvariable. Die L¨osung von Gl. (12.20) liefert die harmonische Schwingung in Form einer zeitlich sinusf¨ormigen Auslenkung

x(t) = ˆXsin(ω₀t+ϕ) (12.21) mit den Konstanten ˆX undϕsowie der Schwingkreisfrequenzω₀ (Resonanz- kreisfrequenz)

ω₀= c

m . (12.22)

Analog dazu ergibt sich folgende Differentialgleichung f¨ur den elektrischen LC-Schwingkreis (Parallelkreis)

Cd²u dt² + 1

Lu= 0. (12.23)

In Gl. (12.23) bezeichnenCdie Kapazit¨at,Ldie Induktivit¨at undudie Span- nung an den beiden (parallelgeschalteten) Elementen. Die L¨osung ergibt sich analog zu Gl. (12.21)

u(t) = ˆUsin(ω₀t+ϕ_u) (12.24) mit

ω₀= 1

√LC . (12.25)

Harmonische Oszillatoren werden oft auch direkt als Sinusgeneratoren be- zeichnet.

Im Gegensatz zu den harmonischen Oszillatoren dienen die Relaxations- oszillatoren der Erzeugung periodischer Signale mit nicht-sinusf¨ormigem Ver- lauf, insbesondere werden sie zum Generieren von periodischen Rechteck- und Dreiecksignalen herangezogen. Die Schaltungen von Relaxationsoszillatoren

besitzen als zentrale Komponente einen Komparator mit Hysterese, der im gleichm¨aßigen zeitlichen Wechsel seine beiden Ausgangsspannungszust¨ande +U_Amax bzw. −U_Amax annimmt und damit eine periodische Rechteckspan- nung erzeugt (Kap. 12.8.4).

12.8.2 Harmonische Oszillatoren

Harmonische Oszillatoren bestehen aus einem Verst¨arker mit der komple- xen ¨Ubertragungsfunktion V(ω) und einer R¨uckkopplungsschleife (Mitkopp- lung) mit der komplexen ¨UbertragungsfunktionK(ω) (Abb. 12.14). Die Ge- samt¨ubertragungsfunktion des r¨uckgekoppelten Systems lautet

U_A

U_E = V

1−V ·K . (12.26)

Abb. 12.14.Prinzip einer harmonischen Oszillatoranordnung

Die Schwingbedingung ist erf¨ullt, wenn sich f¨ur ein verschwindendes Eingangs- signal (U_E → 0) eine harmonische Ausgangsspannung U_A mit konstanter Amplitude einstellt. Die Schwingbedingung ergibt sich aus der Polstelle der Gesamt¨ubertragungsfunktion nach Gl. (12.26)

V ·K= 1. (12.27)

Wenn man Gl. (12.27) nach Betrag und Phase aufspaltet, ergeben sich zwei Bedingungen, n¨amlich dieAmplitudenbedingung

|V |=|K|⁻¹ (12.28)

und diePhasenbedingung

ϕ_V+ϕ_K= 2πk , (12.29)

wobei k eine ganze Zahl ist. Als Beispiel f¨ur einen typischen Vertreter ei- nes harmonischen Oszillators wird im folgenden Abschnitt der LC-Oszillator besprochen.

12.8 Oszillatoren 409 12.8.3 LC-Oszillator

Abbildung 12.15 zeigt einen mit einem Operationsverst¨arker aufgebauten LC-Oszillator, der im eingeschwungenen Zustand eine sinusf¨ormige Ausgangs- spannung mit konstanter Frequenz und Amplitude liefert. Im weiteren wird ein idealer Operationsverst¨arker mit verschwindender Eingangsdifferenzspannung (u_D = 0) angenommen. Der Oszillator besteht also aus einem Elektrometer- verst¨arker mit der reellen Verst¨arkungV =V

V =U_A

U_C , (12.30)

die sich aus dem Verh¨altnis der beiden Widerst¨andeR₂undR₃des Ausgangs- spannungsteilers ergibt

V = R₂+R₃ R3

. (12.31)

Abb. 12.15. Operationsverst¨arker-Schaltung eines LC-Oszillators

Andererseits bilden der LC-Parallelschwingkreis, dessen Zweipol-Impedanz mitZ_LCbezeichnet werden soll, und der ohmsche WiderstandR1einen Span- nungsteiler, welcher die ¨UbertragungsfunktionKdes R¨uckkoppel-Netzwerkes definiert

K= U_C

U_A = Z_LC

Z_LC+R₁ = 1 1 + ^R1

ZLC

= 1

1 +^R1(1−ω_j ^2LC)

ωL

. (12.32)

Entsprechend der Schwingbedingung V ·K = 1 nach Gl. (12.27) folgt aus Gl. (12.32)

R₂+R₃ R₃

1 1 + ^R1(1_j^−ω_ω ^20LC)

0L

= 1. (12.33)

Gleichung (12.33) ist erf¨ullt, wenn der Realteil des Ausdruckes auf der linken Seite gleich Eins wird und der Imagin¨arteil verschwindet.

Daraus folgt

R₂+R₃

R₃ =V = 1 (12.34)

und die Resonanzkreisfrequenzω₀ des Oszillators ω₀= 1

√LC . (12.35)

Wenn also der WiderstandR₂ zur Erf¨ullung von Gl. (12.34)R₂= 0 gew¨ahlt wird, stellt sich eine stabile harmonische Schwingung mit konstanter Ampli- tude ein. Die Frequenzf₀(Resonanzfrequenz) dieser Spannung betr¨agt gem¨aß Gl. (12.35)

f₀= 1

2πω₀= 1 2π

√1

LC . (12.36)

Die diese Schwingung beschreibende allgemeine (d.h. die Schwingbedingung muß nicht erf¨ullt sein) Differentialgleichung erh¨alt man, wenn man die Kno- tengleichung am nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨arkers auf- stellt, d. h. es m¨ussen die drei in den Knoten einfließenden Teilstr¨ome von KondensatorC, SpuleLund WiderstandR₁ in Summe Null ergeben. Damit erh¨alt man die folgende Differentialgleichung

u_A(t)−u_C(t)

R1 −Cdu_C(t) dt −

1 L

_t

t0

u_C(t) dt

−i_L(t₀) = 0. (12.37) Mit dem (reellen) Verst¨arkungsgrad

V =u_A(t)

u_C(t) (12.38)

folgt aus Gl. (12.37) nach Differentiation d²u_C

dt² +1−V R₁C ·du_C

dt + 1

LC ·u_C= 0. (12.39) Der f¨ur den Oszillatorbetrieb relevante Fallα²< ω²₀f¨uhrt zu folgender L¨osung der Differentialgleichung

u_C(t) = ˆU e^−αtsin

ω²₀−α²·t+ϕ_uC

, (12.40)

wobei gilt

α=1−V

2R₁C . (12.41)

Demnach hat man die folgenden drei F¨alle zu unterscheiden:

1. V <1, d. h.α >0

Die Amplitude der Ausgangsspannung nimmt exponentiell mit der Zeit ab, d. h. die Schwingung ist ged¨ampft.

12.8 Oszillatoren 411 2. V = 1, d. h.α= 0

Dies ist der bereits oben behandelte Fall einer Sinusschwingung mit kon- stanter Amplitude und der Frequenz f₀. Mit diesem Wert f¨ur αbzw. V ist die Schwingbedingung exakt erf¨ullt.

3. V >1, d. h.α <0

Bei Verst¨arkungsgraden V > 1 steigt die Amplitude der Ausgangsspan- nung exponentiell an. Dieser Zustand ist lediglich in der Einschaltpha- se (Anschwingphase) erw¨unscht. Der exponentielle Anstieg wird automa- tisch durch die daraus resultierende ¨Ubersteuerung des Verst¨arkers be- endet, woraufhin sich stets automatisch der gew¨unschte stabile Zustand (Verst¨arkungsgrad V = 1) einstellt.

12.8.4 Relaxationsoszillatoren

Relaxationsoszillatoren sind auch unter den NamenMultivibratorenbzw.asta- bile Kippstufen bekannt. Sie sind in der Lage, eine Folge von Dreieck- oder Rechteckpulsen zu liefern. Die frequenzbestimmenden Komponenten sind Wi- derst¨ande, Kapazit¨aten oder auch Spannungen. Daher werden Relaxationsos- zillatoren oft auch zur Messung dieser Gr¨oßen eingesetzt, insbesondere in der Sensortechnik bei der Messung nicht-elektrischer Gr¨oßen.

Abbildung 12.16 zeigt zwei prinzipielle Schaltungsvarianten von Funktions- generatoren zur gleichzeitigen Erzeugung von Dreieck- und Rechtecksignalen.

Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a wird je nach Schalterstellung ein Kondensator mit dem Konstantstrom +I_refbzw.−I_refaufgeladen. Die am Kondensator anliegende Spannungu_C(t) kann am Ausgang des nachgeschalte- ten Impedanzwandlers abgegriffen werden. F¨ur das Zeitintervall 0≤t≤T /4 folgt

uC(t) = 1 C

_t

0

Irefdt = 1

CIreft . (12.42) Nach Erreichen der Schaltschwelle + ˆU_A1 des Komparators zur Zeitt =T /4 (Abb. 12.16c) wird die Polarit¨at des Ladestromes gewechselt und der Kon- densator wird bis auf den negativen Schwellwert −UˆA1 entladen. Der Kom- paratorausgang liefert infolge dieser st¨andigen Polarit¨atswechsel eine Recht- eckspannung u_A2 mit der Frequenz f, welche mit der der Dreieckspannung identisch ist

f = I_ref 4CUˆA1

. (12.43)

Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16b sind die zwei Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzt worden, die alternierend an den Eingang eines inte- grierenden Verst¨arkers angeschlossen werden. Dadurch ergibt sich das gleiche Verhalten wie das der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a.

Ein einfacher Multivibrator l¨aßt sich bereits mit Hilfe eines mit einem RC- Glied r¨uckgekoppelten Operationsverst¨arkers realisieren (Abb. 12.17). Wenn wir annehmen, daß zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung am Kondensator

Abb. 12.16.Prinzipieller Aufbau von Multivibratoren (Generatoren zur Erzeugung von Dreieck- und Rechteckspannungen): a) Schaltung mit Konstantstromladung eines Kondensators,b)Schaltung mit Integrator,c)Ausgangssignalverl¨aufe

uC = UK2 und die Ausgangsspannung uA = +UB sind, l¨adt sich der Kon- densator C uber den Widerstand¨ R auf. Zum Zeitpunkt t = T /2 wird die UmschaltschwelleUK1 erreicht

UK1=UB

R₂

R₁+R₂ . (12.44)

Dabei kippt der Operationsverst¨arkerausgang infolge der Mitkopplung auf u_A=−U_B, woraufhin der Kondensator entladen wird. Zum Zeitpunktt=T

Abb. 12.17.Multivibrator mit Operationsverst¨arker:a)Schaltbild,b)Spannungs- verl¨aufe

12.8 Oszillatoren 413 wird die negative SchwellenspannungU_K2=−U_K1erreicht und die Kompara- torausgangsspannung springt wieder aufu_A= +U_B. Auf diese Weise entsteht ein Rechtecksignal mit den Amplituden ±U_B. Die Periodendauer T dieser Rechteckspannung l¨aßt sich anhand des Zeitverlaufes der Kondensatorspan- nung u_C(t) errechnen, welche sich f¨ur den Aufladevorgang wie folgt ergibt (Abb. 12.17)

u_C(t) =U_B

1−R₁+ 2R₂ R₁+R₂ e^−RCt

. (12.45)

Weiterhin gilt u_C

T 2

=U_K1 (12.46)

u_C T

2

=U_B

1−R1+ 2R2

R₁+R₂ e^{−T /2RC}

=U_B R2

R₁+R₂ . (12.47) Da die beiden Schwellenspannungen U_K1 und U_K2 betragsm¨aßig gleich sind, kann aus Gl. (12.47) die PeriodendauerT abgeleitet werden

T = 2RCln

1 +2R₂ R₁

. (12.48)

F¨urR₂=R₁ vereinfacht sich Gl. (12.48) zu

T = 2RCln 3≈2,2RC . (12.49)

Eine alternative Realisierung eines Multivibrators basiert auf zwei Digitalin- vertern und einem RC-Glied. Die entsprechende Schaltung mit Signalverl¨aufen ist in Abb. 12.18 dargestellt. In dieser Schaltung repr¨asentieren die Spannun- gen u₂ und u_A Digitalsignale, wobei die Ausgangsspannung u_A stets dem

u_A

u1

R

1 1

C u2

a)

U0

3 2 u1

t t u2

u_A

Τ/2 Τ/2

t USW 2

U0

= U0

- 2

b)

Abb. 12.18. Multivibrator mit Invertern: a) Schaltbild, b) Signalverl¨aufe (USW

bezeichnet die Schaltschwelle des Komparators (ohne Hysterese) am Eingang.)

logisch negierten Wert vonu₂ entspricht (Abb. 12.18b). Demzufolge wird der Kondensator ¨uber den Widerstand abwechselnd geladen und entladen. Wenn die Schaltschwelle U_SW des Komparators genau in der Mitte zwischen den beiden Ausgangspegeln liegt, ergibt sich die Schwingungsdauer wiederum zu

T = 2RCln 3≈2,2RC . (12.50)

12.8.5 Quarzoszillator

Die Genauigkeit bei der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung h¨angt neben dem Quantisierungsfehler im wesentlichen von der Genauigkeit der verwen- deten Referenzfrequenz bzw. Referenzzeit ab. Der bei einer Messung erhal- tene Z¨ahlerstand N = f T ist sowohl proportional der Meßzeit T als auch proportional der Meßfrequenzf. Bei der digitalen Zeitmessung muß also die Referenzfrequenz f_ref und bei der digitalen Frequenzmessung die Referenz- zeitT_ref konstant gehalten werden. Im Rahmen praktischer Schaltungen wird dies in beiden F¨allen im allgemeinen durch einen Quarzoszillator gew¨ahr- leistet, an dessen Frequenzkonstanz demzufolge hohe Anforderungen gestellt werden. Daf¨ur geeignete piezoelektrische Resonatoren bestehen ¨ublicherweise aus nat¨urlichen Quarzkristallen (SiO2) mit bestimmter Kristallorientierungs- richtung und definierten geometrischen Abmessungen.

(mechanischey Achse) z(optische Achse)

x(elektrische Achse) j

Q Q

AT z

y x

BT

= >

Abb. 12.19.Quarzkristallschnitte:a)Quarzkristall (SiO2) mit seinen Achsen und Darstellung der Orientierung des AT- sowie des BT-Schnittes,b) Schnittwinkel θ undϕzwischen Schwingquarz und optischer (z) Achse bzw. elektrischer (x) Achse

12.8 Oszillatoren 415 Schwingquarze sind d¨unne Pl¨attchen, die mit bestimmter Orientierungs- richtung aus einem einkristallinen piezoelektrischen Quarzmaterial heraus- geschnitten und mit Elektroden versehen werden (Abb. 12.19). Die Winkel, unter denen die Quarzpl¨attchen in bezug auf die optische, mechanische und elektrische Achse aus dem nat¨urlichen Quarzkristall herausgeschnitten wer- den, legt die f¨ur eine Anwendung als frequenzbestimmendes Element rele- vanten Eigenschaften des Quarzschwingers fest. Solche Quarzschwinger sind spezielle piezoelektrische Wandler, die im interessierenden Frequenzbereich ei- ne scharfe Resonanzstelle aufweisen, bei welcher der Schwinger in mechanische Resonanz ger¨at. Genauer gesagt, handelt es sich dabei infolge des piezoelektri- schen Effektes (und der daraus resultierenden Verkopplung von mechanischer und elektrischer Energie) um ein Resonanzstellenpaar, welches aus einer sog.

Parallelresonanz(mitf_pbezeichnet) und einer sog.Serienresonanz(mitf_sbe- zeichnet) besteht. In der Serienresonanz schwingt das Quarzpl¨attchen, wenn seine Elektroden elektrisch kurzgeschlossen werden, w¨ahrend es in Parallel- resonanz angeregt wird, wenn die beiden elektrischen Kontakte unbeschaltet bleiben bzw. sehr hochohmig abgeschlossen werden, d. h. wenn der Schwinger im elektrischen Leerlauf betrieben wird.

Man kennt verschiedene Standard-Quarzschwingertypen, die sich in Kri- stallrichtung sowie geometrischer Gestalt und damit auch in bezug auf ih- re charakteristische Schwingungsform und Schwingfrequenz unterscheiden. So setzt man beispielsweise Biegeschwinger (NT-Schnitt) im Frequenzbereich zwischen 1 und 80 kHz ein, w¨ahrend die Fl¨achenscherschwinger (CT- oder DT-Schnitt) den daran anschließenden Frequenzbereich von 100 kHz bis knapp unterhalb 1 MHz abdecken (Abb. 12.20b). Die L¨angsschwinger(GT-Schnitt) arbeiten, in dem diese Frequenzbereiche ¨uberlappenden Intervall von etwa 50 - 200 kHz.

Der am h¨aufigsten verwendete Quarzschwinger ist derDickenscherschwin- ger(AT-Schnitt), dessen Grundmode-Schwingungsform in Abb. 12.20a gezeigt wird. Er f¨uhrt Dickenscherschwingungen aus, deren Resonanzfrequenzen f_p⁽ⁿ⁾ (Parallelresonanz) n¨aherungsweise durch

Abb. 12.20. Schwingungsformen von Standard-Quarzschnitten: a) AT-Schnitt (Dickenscherschwinger,b)CT-Schnitt und DT-Schnitt (Fl¨achenscherschwinger)

f_p⁽ⁿ⁾=n 2 c d = n

2d

c^D₆₆

n= 1,2,3, . . . (12.51) gegeben ist. Dabei bezeichnenddie Dicke des Quarzpl¨attchens,seine Dich- te, c^D₆₆ den maßgebenden elastischen Schermodul und c die Ausbreitungs- geschwindigkeit der Scherwelle und n die Ordnung der Harmonischen. Das Produkt aus Grundwellenresonanzfrequenzfp⁽¹⁾und Schwingerdickedist eine Konstante, die sog.FrequenzkonstanteN, deren Wert sich aus den Material- daten des verwendeten Schwingquarzes ergibt

f_p⁽¹⁾d=N =

⎧⎨

⎩

1,67 MHz mm f¨ur AT-Schnitt 2,50 MHz mm f¨ur BT-Schnitt

. (12.52)

Der typischerweise genutzte Frequenzbereich von Dickenscherschwingern rei- cht von einigen hundert Kilohertz bis zu etwa 25 MHz in der Grund- und etwa 200 MHz in der 9. Oberwelle. Detaillierte Beschreibungen des mechanischen und elektrischen Verhaltens von Schwingquarzen findet man in der einschl¨agi- gen Literatur [29], [174], [97], [98], [99], [162].

Das vereinfachte elektrische Ersatzschaltbild eines Quarzschwingers sowie der Verlauf der elektrischen Impedanz Z_Q(ω) = R(ω) + jX(ω) werden in Abb. 12.21 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild, welches das Verhalten des Schwingquarzes in der Umgebung der Grundschwingung (Grundwellenreso- nanz) fp⁽¹⁾ = fp approximativ beschreibt, bedeuten C0 die statische Paral- lelkapazit¨at (Kapazit¨at, wenn der Quarz nicht schwingt),C1 die dynamische Kapazit¨at,L₁ die dynamische Induktivit¨at undR₁den dynamischen Verlust- widerstand.

Die komplexe EingangsadmittanzY_Q(ω) zwischen den Eingangsklemmen ergibt sich aus dem Schaltbild

Abb. 12.21.Schwingquarz:a)Schaltzeichen,b)Elektrisches Ersatzschaltbild (Ty- pische Werte f¨ur einen 1-MHz-Schwingquarz sind: C0 = 60 pF, C1 = 0,016 pF, L1 = 1,5 H, R1 = 60 Ω), c) Wirk- und Blindanteil der Eingangsimpedanz eines Schwingquarzes mit den unter b) angegebenen Werten der Ersatzschaltbildelemente C0,C1 undL1. Der WiderstandswertR1 wurde, um die Details des Impedanzdia- grammes besser aufl¨osen zu k¨onnen, mitR1= 600 Ω angenommen, was zu einer um den Faktor 10 reduzierten G¨ute f¨uhrt.

12.8 Oszillatoren 417

Y_Q(ω) =G(ω) + jB(ω) (12.53)

Y_Q(ω) = R₁ R²₁+

ωL₁−_ωC¹₁2+ j

⎛

⎜⎝ωC₀− ωL1−_ωC¹₁ R²₁+

ωL₁−_ωC¹₁2

⎞

⎟⎠ .

(12.54) Der Verlustwiderstand R1 kann bei Schwingquarzen aufgrund ihrer hohen G¨ute i. allg. vernachl¨assigt werden, so daß sich die Eingangsimpedanz des QuarzesZ_Q wie folgt vereinfacht

Z_Q≈jX = j ω

ω²L₁C₁−1

C₀+C₁−ω²L₁C₁C₀ . (12.55) Bei der Parallelresonanzfrequenz f_p des Quarzes strebt der Reaktanzanteil der Eingangsimpedanz gegen unendlich (X→ ∞). Damit l¨aßt sichf_paus der Polstelle der FunktionZ_Q (Gl. (12.55)) ermitteln

f_p= 1 2π√

L₁C₁

1 +C₁

C₀ . (12.56)

Bei der Serienresonanzfrequenzf_sdes Quarzes verschwindet hingegen der Re- aktanzanteil (X = 0) (Abb. 12.21c). Dementsprechend ergibt sichf_saus der Nullstelle des Z¨ahlers von Gl. (12.55)

fs= 1 2π

√ 1 L1C1

. (12.57)

Der relative Frequenzabstand zwischen Parallel- und Serienresonanz ergibt sich unter Ber¨ucksichtigung der in der Praxis gegebenen Kapazit¨atsverh¨alt- nisse (C₁C₀) zu

f_p−f_s f_s ≈1

2 C₁

C₀ . (12.58)

Die G¨ute Q, die dem Reziprokwert des tanδs = R/X entspricht, l¨aßt sich ebenfalls aus den Elementen des elektrischen Ersatzschaltbildes bestimmen.

Q= 1

tanδ_s = 1 R₁

L₁

C₁ . (12.59)

Sie liegt bei Schwingquarzen typischerweise zwischen 5·10³ und 5·10⁵. 12.8.6 Operationsverst¨arker-Schaltung eines Quarzoszillators Abbildung 12.22 zeigt die Schaltung eines Quarzoszillators, bei welcher der Quarz im Mitkopplungszweig eines Operationsverst¨arkers liegt. Nur bei der Serienresonanzfrequenz des Schwingquarzes ist die Schwingbedingung erf¨ullt

und die ImpedanzZ_Qdes Quarzzweipols betragsm¨aßig so gering, daß bei die- ser Frequenz eine unged¨ampfte harmonische Schwingung zustandekommt. F¨ur alle anderen Frequenzen stellt der Quarz aufgrund seiner hohen Impedanzwer- te ein Sperrfilter dar. Der LC-Schwingkreis am Eingang dient dabei lediglich dem sicheren Anschwingen der Oszillatorschaltung auf der Grundwelle bzw.

auf der gew¨unschten Oberwelle.

Abb. 12.22.Operationsverst¨arker-Schaltung eines Quarzoszillators

12.8.7 Fehler von Schwingquarzen

Als wesentlicher Fehler von Schwingquarzen macht sich deren Temperatur- abh¨angigkeit bemerkbar, insbesondere bei Oszillatoranwendungen mit hohen Forderungen an die Frequenzstabilit¨at. Die Temperaturabh¨angigkeit der Re- sonanzfrequenz l¨aßt sich bei Quarzen wie folgt approximieren

f(ϑ) =f(0^◦C)(1 +αϑ+βϑ²+γϑ³). (12.60) F¨ur bestimmte Schnittwinkel, so z.B. auch den meist verwendeten AT-Schnitt, verschwindet der lineare Temperaturkoeffizient α. Da außerdem der kubi- sche Temperaturkoeffizient γ i. allg. bereits um einige Zehnerpotenzen un- ter dem linearen und quadratischen liegt, f¨allt dann nur der quadratische Temperaturkoeffizientβ ins Gewicht. Abbildung 12.23 zeigt die Abh¨angigkeit des linearen Temperaturkoeffizientenαvom Schnittwinkel sowie die relative Frequenz¨anderung eines AT-Schnitt-Dickenscherschwingers als Funktion der Temperaturϑ. Der Temperatureinfluß ist insbesondere bei den AT-Schnitten sehr gering. Er l¨aßt sich um weitere ca. drei Zehnerpotenzen reduzieren, wenn die Quarze in einem temperaturstabilisierten Geh¨ause betrieben werden.

Neben dem parasit¨aren Temperatureinfluß sind Schwingquarze einem Alte- rungsprozeß unterworfen, welcher sich in Form eines relativen Frequenzfehlers bemerkbar macht, der mit der Zeit einem asymptotischen Endwert zustrebt.

Dieser Endwert liegt bei etwaΔf /f = 10⁻⁹/Tag und wird bereits nach einigen Wochen erreicht (Tab. 12.1). Schwingquarze lassen sich auch als sehr pr¨azise

12.8 Oszillatoren 419

-20 0 20 40 60 80 100 J(°C) 2·10^-5

-2·10^-5 0 Dff

J₀ a(K )^-1

-90° -60° -30° 0° 30° 60° 90° SchnittwinkelQ -10^-4

10^-4

0 DT BT

HT AT CT 1

2 a)

b)

Abb. 12.23. Temperaturabh¨angigkeit von Schwingquarzen [12, 52]: a) Linearer Temperaturkoeffizient α als Funktion des Schnittwinkels; 1: Dickenscherschwin- ger; 2: Fl¨achenscherschwinger, b) Relative Frequenzabweichung eines AT-Schnitt- Dickenscherschwingers als Funktion der Schwingquarztemperatur

arbeitende frequenzanaloge Temperatursensoren einsetzen. F¨ur diese Anwen- dung wird der sogenannte HT-Kristallschnitt verwendet, der recht große Tem- peraturkoeffizienten aufweist α= 90·10⁻⁶(K⁻¹), β = 60·10⁻⁹(K⁻²) und γ= 30·10⁻¹²(K⁻³) (Gl. (12.60)). Die relativen Frequenz¨anderungen sind zwar sehr gering, aber aufgrund der pr¨azisen Fertigungstechnik und der Stabilit¨at des Quarzmaterials der Meßgr¨oße sehr exakt zuzuordnen bzw. andererseits auch wiederum mittels elektronischer Z¨ahlerschaltungen sehr genau meßbar.

Wesentlich bessere Genauigkeiten erh¨alt man mit atomaren Frequenz-Stan-

Tabelle 12.1. Typische Werte f¨ur Kurzzeitkonstanz, Temperaturdrift und Alte- rungsrate von Schwingquarzen

ohne Temperaturregelung mit Temperaturregelung Kurzzeitkonstanz<3·10⁻⁹ <10⁻¹¹

(1 Sekunde)

Temperaturdrift <10⁻⁵ <10⁻⁸ (0^◦C - 50^◦C)

Alterungsrate <10⁻⁸/Tag <10⁻⁹/Tag

dardelementen, bei denen die Atomresonanz zur Frequenzstabilisierung ge- nutzt wird. So weisen beispielsweise Rubidium-Normalelementerelative Ab- weichungen von nur 10⁻¹¹ im Kurzzeitbereich (Sekundenbereich) auf. Die Alterungsraten liegen bei 10⁻¹¹/Monat.

Bei C¨asium-Elementen sind keine Alterungseinfl¨usse meßbar. Aufgrund ihres hohen Anschaffungspreises und ihres hohen Gewichtes werden sie je- doch nur in Labors f¨ur Pr¨azisionsmeßtechnik sowie als Frequenznormal f¨ur Zeitzeichensender eingesetzt. Die Gesamtunsicherheit der beiden C¨asium- Normaluhren CS1 und CS2 der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig wird mit 3·10⁻¹⁴ bzw. 1,5·10⁻¹⁴ angegeben [17]. So wur- de ein mittlerer Gangunterschied der beiden Uhren von 0,76μs pro Jahr, entsprechend einem relativen Fehler von 2,5·10⁻¹⁴, ermittelt. Wenn auch die Kurzzeitkonstanz der Normalfrequenzaussendung des bekannten Zeitzei- chensenders DCF-77 (s. Kap. 12.10.2) die eines sorgf¨altig aufgebauten tem- peraturgeregelten Quarzoszillators (OCXO) nicht wesentlich ¨ubersteigt, so ist doch die Langzeitstabilit¨at des DCF-77 um Gr¨oßenordnungen besser. Es bie- tet sich also an, temperaturgeregelte Quarzoszillatoren einzusetzen und deren Langzeitstabilit¨at mit Hilfe einer DCF-77-Synchronisation zu erh¨ohen. Ein entsprechendes hard- und softwarem¨aßiges Realisierungskonzept wird in [91]

vorgestellt. Detaillierte Angaben ¨uber die Genauigkeit von Zeit- und Frequenz- normalen finden sich in [17].

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw.

Frequenzmessung

Fehler bei der Messung eines Zeitintervalls

Der absolute FehlerΔT_X bei der Messung eines Zeitintervalls T_X ergibt sich aus der Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (12.2) zu

ΔT_X= ∂T_X

∂f_refΔf_ref+ ∂T_X

∂N_XΔN_X. (12.61)

Daraus l¨aßt sich leicht der entsprechende maximale relative Fehler ableiten ΔTX

T_X =

Δfref

f_ref +

ΔNX

N_X

. (12.62)

In Gl. (12.62) beziffert der Term ΔNX/NX den bereits in Kap. 12.3.1 ange- sprochenen Quantisierungsfehler (Z¨ahlfehler), der sich wie folgt angeben l¨aßt

ΔN_X N_X

= ±1

N_X = 1

N_X = 1

f_refT_X . (12.63) Der TermΔf_ref/f_ref in Gl. (12.62) hingegen beschreibt den Fehler der Zeitba- sis, d. h. die relative Frequenzabweichung des Quarzoszillators. Dieser Fehler

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung 421 liegt bei praktischen Z¨ahlern in der Gr¨oßenordnung 10⁻⁷≤Δf_ref/f_ref≤10⁻⁵. Abbildung 12.24 (T_X-Achse) zeigt den gesamten relativen Fehler bei der Zeit- messung f¨ur den beispielhaften Fall, daß die Frequenz des Referenzsignalsf_ref

= 1 MHz und der relative Fehler der Zeitbasis 10⁻⁶ betragen.

Fehler bei der Frequenzmessung

Der maximale relative Fehler bei der Frequenzmessung ergibt sich analog zu Gl. (12.61)

Δf_X f_X

= ΔT_ref

T_ref +

ΔN_X N_X

= ΔT_ref

T_ref + 1

N_X = ΔT_ref

T_ref

+ 1

T_reff_X . (12.64) Der AusdruckΔT_ref/T_refentspricht dabei wiederum dem relativen Fehler der Zeitbasis. Damit ergibt sich im Prinzip wieder derselbe relative Meßfehler wie bei der Zeitintervallmessung Gl. (12.62). Er kann aus Abb. 12.24 abgelesen werden, wenn dief_X-Achse verwendet wird. F¨ur die Berechnung des relativen Fehlers bei der Frequenzmessung wurden eine Torzeit vonTref = 1 s sowie ein Zeitbasisfehler vonΔTref/Tref = 10⁻⁶ angenommen.

Fehler bei der Periodendauermessung

Die großen Meßfehler bei der Messung tiefer Frequenzen (Abb. 12.24) lassen sich umgehen, wenn man eine Reziprokmessung durchf¨uhrt, d. h. anstatt der Frequenz die Periodendauer mißt und den Kehrwert bildet.

Abb. 12.24. Relativer Fehler bei der Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung. TX- Achse: Fehlerdiagramm f¨ur die Messung eines ZeitintervallesTX. Es wurdefref = 1 MHz und ein ZeitbasisfehlerΔfref/fref von 10⁻⁶ angenommen.fX-Achse: Fehler- diagramm f¨ur die Frequenzmessung. Es wurde eine Torzeit von Tref = 1 s und ein ZeitbasisfehlerΔTref/Tref von 10⁻⁶ angenommen.

Wenn man den Fehler der Zeitbasis zun¨achst vernachl¨assigt, ergibt sich durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (12.11) der relative Meß- fehler bei der Periodendauermessung zu

ΔT_X T_X = 1

N_X = 1

f_refT_X = f_X

f_ref . (12.65)

Der relative Fehler h¨angt also lediglich vom Verh¨altnis Meßfrequenz f_X zu Referenzfrequenzf_ref ab.

Wenn man beispielsweisef_ref= 1 MHz annimmt, so wird der Fehler einer Standardquarzzeitbasis von 10⁻⁶ erst bei einer Frequenz von 1 Hz erreicht.

F¨ur h¨ohere Frequenzen dominiert der Quantisierungsfehler. Von praktischer Bedeutung ist noch die MeßfrequenzfXeq, bei der die Periodendauermessung (Reziprokmessung) und die direkte Frequenzmessung auf den gleichen rela- tiven Fehler f¨uhren. Das Gleichsetzen der relativen Fehler f¨uhrt unter Ver- nachl¨assigung der Zeitbasisfehler zu

f_Xeq² = f_ref Tref

, (12.66)

wobeifrefdie Taktfrequenz bei der Periodendauermessung undTrefdie Torzeit bei der Frequenzmessung bedeuten. Wenn beispielsweise diese Taktfrequenz zu f_ref = 1 MHz und die Torzeit zu T_ref = 1 s gew¨ahlt werden, ergibt sich f¨ur beide Meßprinzipien der gleiche Fehler beif_Xeq= 1 kHz. Unterhalb dieser Frequenz f¨uhrt die Periodendauermessung (reziproke Frequenzmessung) zu geringeren Meßfehlern, w¨ahrend sich im Frequenzbereich oberhalb f_Xeq die direkte Frequenzmessung als g¨unstiger erweist (Abb. 12.25).

Abb. 12.25.Relativer Meßfehler bei der digitalen Frequenzmessung (direkte Mes- sung und Reziprokmessung). Es wurde eine Taktfrequenzfref= 1 MHz f¨ur die Peri- odendauermessung sowie eine TorzeitTref= 1 s f¨ur die Frequenzmessung angenom- men. Der relative Fehler der Zeitbasis liegt bei 10⁻⁶.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation 423 Meßfehler durch ¨uberlagertes Rauschen

Dem Meßsignal ¨uberlagerte St¨orspannungen f¨uhren zu Fehlern bei der Zeit- und Frequenzmessung, die zum Teil erheblich sein k¨onnen. Diese Fehler wer- den durch zu fr¨uhe bzw. zu sp¨ate Triggerausl¨osung verursacht. Der so ent- standene Triggerfehleraddiert sich zu den oben bereits diskutierten Fehlern (Quantisierungsfehler und Zeitbasisfehler). Zur Absch¨atzung des Triggerfeh- lers wollen wir annehmen, daß das Meßsignalu_m(t) sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweist

u_m(t) = ˆU_msin(ωt). (12.67) Die maximale zeitliche Steigung du_m/dtder Spannung wird im Nulldurchgang erreicht und betr¨agt

du_m dt

max

= ˆU_mω . (12.68)

Eine St¨orspannung mit der Amplitude ˆU_rkann den Zeitpunkt des Nulldurch- ganges, der gleichzeitig Triggerzeitpunkt ist, um die ZeitΔT_trigg verschieben

ΔTtrigg=ΔT = Uˆ_{r dum}

dt max

= Uˆ_r Uˆ_mω =

Uˆ_r

Uˆ_m2πf_X . (12.69) Diese zeitliche Verschiebung des Triggerzeitpunktes wird als der absolute Trig- gerfehler bezeichnet. Der entsprechende relative Triggerfehler ergibt sich bei der einfachen Periodendauermessung (Messung einer einzelnen Periode T_X) zu

ΔT_trigg TX

= 1

2πfXTX

Uˆ_r Uˆ_m = 1

2π Uˆ_r

Uˆ_m . (12.70)

Um diesen Fehler zu reduzieren, geht man zur sog. Mehrfachperiodendauer- messung¨uber, bei der anstatt der Dauer einer einzigen Periode nunmehr die Dauer vonmPerioden bestimmt wird. Bei diesem integrierenden Meßverfah- ren reduziert sich sowohl der Triggerfehler als auch der Quantisierungsfehler um den Faktor m. Wie bei der Frequenzmessung ist auch hier eine gr¨oßere Genauigkeit nur auf Kosten der Meßzeit zu erzielen.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

12.10.1 Atomuhren

Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) [123] in Braunschweig hat die Aufgabe ¨ubernommen, f¨ur die Bundesrepublik Deutschland die absolute (amtliche) Zeit festzulegen. Dies geschieht mit Hilfe einer sog.Atomuhr, wel- che im konkreten Fall eine C¨asium-Normaluhr ist. DasBureau International des Poids et Mesures (BIPM)in Paris wiederum legt aus den Werten von sol- chen ¨uber 260 weltweit verteilten Atomuhren die sog.Internationale Atomzeit (TAI)als Referenzzeit fest.

Eine Atomuhr ist eine Uhr, deren Zeittakt aus atomaren Schwingungszust¨anden abgeleitet wird. F¨ur die genauesten Uhren verwendet man das nicht-radioaktive Isotop 133 des Elements C¨asium. Die Resonanzfrequenz beim ¨Ubergang (sog.

Hyperfeinstruktur- ¨Ubergang) zwischen zwei ausgew¨ahlten Energiezust¨anden dieses C¨asium-Atoms ist temperaturunabh¨angig, sehr langzeitstabil und be- tr¨agt 9 192 631 770 Hz. Im Jahre 1967 wurde dieSI-Einheit ’Sekunde’uber¨ diesen Wert festgelegt (sog. SI-Sekunde).

Um die Resonanzfrequenz des Hyperfeinstruktur- ¨Ubergangs messen zu k¨onnen, muß zun¨achst einer der beiden besagten Energiezust¨ande selektiert werden, was entweder durch optisches Pumpen mit Laserlicht bewerkstelligt werden kann oder indem man den Atomstrahl durch ein starkes inhomoge- nes Magnetfeld schickt. Die Hyperfeinstruktur- ¨Uberg¨ange und die Messung der o. g. Resonanzfrequenz finden schließlich in einem speziellen Mikrowel- lenresonator statt. N¨aheres zu dieser Technik findet der interessierte Leser beispielsweise in folgenden Referenzen: [123], [113]. Auf dieser Basis arbeiten derzeit die vier C¨asium-Atomuhren CS1 bis CS4 bei der PTB. Es handelt sich hierbei um Zeitnormale, die weltweit zu den genauesten Uhren z¨ahlen.

So weicht die von der in Braunschweig installierten Atomuhr CS2 bestimmte Sekunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 67% um nicht mehr als±1,2·10⁻¹⁴ von der idealen SI-Sekunde ab. Dies entspricht einer Abweichung von einer Sekunde in 2,5 Millionen Jahren.

Als 5. Zeitnormal betreibt die PTB eine noch genauere Uhr, eine sog.

C¨asium-Font¨ane. Bei ihr werden die C¨asium-Atome auf eine Temperatur sehr nahe dem absoluten Nullpunkt abgek¨uhlt. Dadurch werden die Atome in ih- rer Fortbewegungsgeschwindigkeit sehr stark verlangsamt, was im weiteren zu einer l¨angeren Beobachtungszeit (ca. 1 Sekunde) bei der Frequenzmessung genutzt werden kann. Somit sind exaktere Messungen der o. g. Resonanzfre- quenz m¨oglich. Die Gangunsicherheit der C¨asium-Font¨ane ist um den Faktor 10 geringer als der einer (Standard-)C¨asium-Uhr.

Auch das amerikanische Pendant zur Physikalisch-Technischen Bundesan- stalt, das National Institute of Standards (NIST) in Boulder, Colorado, ent- wickelt und betreibt Atomuhren mit hoher Ganggenauigkeit. So wurde auch dort eine C¨asium-Font¨ane mit dem NamenNIST-F1entwickelt. Sie arbeitet mit 6 Infrarot-Lasern, welche die C¨asium-Atome in Form eines kleinen lo- kalen Clusters (Ball) zusammendr¨angen, was zu der bereits oben erw¨ahnten Abk¨uhlung in den Bereich des absoluten Nullpunktes und infolgedessen zu ei- ner Verlangsamung der Atombewegungen f¨uhrt. Infolge kontinuierlicher tech- nischer Verbesserungen konnte die Ungenauigkeit der NIST-F1 im Sommer 2005 auf±5·10⁻¹⁶abgesenkt werden, was einer Abweichung von 1 Sekunde in 60 Millionen Jahren gleichkommt.

Weitere Einzelheiten und neuere Entwicklungen findet der interessierte Leser auf der Homepage der PTB [123] unter der Rubrik Zeitnormale - Ar- beitsgruppe 4.41sowie auf der Homepage des National Institute of Standards [113]. Von der letztgenannten Homepage aus l¨aßt sich auch eine Videoanima- tion zur Arbeitsweise einer C¨asium-Font¨ane starten.