Korrekte Software: Grundlagen und Methoden Vorlesung 4 vom 24.04.18: Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik

Korrekte Software: Grundlagen und Methoden

Vorlesung 4 vom 24.04.18: Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik

Serge Autexier, Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2018

Fahrplan

I Einführung

I Operationale Semantik

I Denotationale Semantik

I Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik

I Die Floyd-Hoare-Logik

I Invarianten und die Korrektheit des Floyd-Hoare-Kalküls

I Strukturierte Datentypen

I Modellierung und Spezifikation

I Verifikationsbedingungen

I Vorwärts mit Floyd und Hoare

I Funktionen und Prozeduren

I Referenzen

I Ausblick und Rückblick

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational ha, σi →_Aexp n Denotational A[[a]]

m∈Z hm, σi →_Aexp m {(σ,m)|σ ∈Σ}

x∈Loc x∈Dom(σ)

hx, σi →_Aexp σ(x) {(σ, σ(x))|σ∈Σ,x∈ Dom(σ)}

a₁◦a₂

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m

n,m6=⊥

ha₁◦a₂, σi →_Aexp n◦^Im {(σ,n◦^Im)|σ∈Σ,(σ,n)∈ A[[a₁]],(σ,m)∈ A[[a₂]]}

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m n=⊥oderm=⊥ ha₁◦a₂, σi →_Aexp ⊥

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational ha, σi →_Aexp n Denotational A[[a]]

a₁/a₂

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m m6= 0 m,n 6=⊥

ha₁◦a₂, σi →_Aexp n◦^Im {(σ,n/m)|σ ∈Σ,(σ,n)∈ A[[a₁]],(σ,m)∈ A[[a₂]],m6=

0}

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m n =⊥,m=⊥oder m= 0

ha₁/a₂, σi →_Aexp ⊥

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allea∈Aexp, für alle n∈Z, für alle Zuständeσ:

ha, σi →_Aexp n ⇔(σ,n)∈ A[[a]]

ha, σi →_Aexp ⊥ ⇔σ6∈Dom(A[[a]])

I Beweis Prinzip?

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allea∈Aexp, für alle n∈Z, für alle Zuständeσ:

ha, σi →_Aexp n ⇔(σ,n)∈ A[[a]]

ha, σi →_Aexp ⊥ ⇔σ6∈Dom(A[[a]])

I Beweis per struktureller Induktion übera. (Warum?)

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hb, σi →_Bexp0|1 Denotational B[[b]]

1 h1, σi →_Bexp1 {(σ,1)|σ ∈Σ}

0 h0, σi →_Bexp0 {(σ,0)|σ ∈Σ}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operat.hb, σi →_Bexp 0|1 Denotational B[[b]]

a0 ==a1

ha₀, σi →_Aexp n ha₁, σi →_Aexp m n,m6=⊥ n=m ha₀ ==a₁, σi →_Bexp1

ha₀, σi →_Aexp n ha₁, σi →_Aexp m n,m6=⊥ n6=m ha₀ ==a₁, σi →_Bexp0

ha₀, σi →_Aexp n ha₁, σi →_Aexp m n=⊥oder m=⊥ ha₀==a₁, σi →_Bexp⊥

{(σ,1)|σ ∈Σ,

(σ,n₀)∈ A[[a₀]], (σ,n1)∈ A[[a₁]], n0 =n1 }

∪

{(σ,0)|σ ∈Σ,

(σ,n0)∈ A[[a₀]], (σ,n₁)∈ A[[a₁]], n0 6=n1 }

a1<=a2 analog

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational ha, σi →_Bexp b Denotational B[[b]]

b1&&b0

hb₁, σi →_Bexp0

hb₁&&b2, σi →0 {(σ,0)|(σ,0)∈ B[[b₁]]}

hb₁, σi →_Bexp1 hb₂, σi →_Bexpb

hb₁&&b₂, σi →b {(σ,b)|(σ,1)∈ B[[b₁]],(σ,b)∈ B[[b₂]]}

hb₁, σi →_Bexp⊥ hb₁&&b2, σi → ⊥

b1||b₂ analog

!n . . .

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für alleb∈Bexp, für allet ∈B, for alle Zuständeσ:

hb, σi →_Bexpt ⇔(σ,t)∈ B[[b]]

hb, σi →_Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom(B[[b]])

I Beweis Prinzip?

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für alleb∈Bexp, für allet ∈B, for alle Zuständeσ:

hb, σi →_Bexpt ⇔(σ,t)∈ B[[b]]

hb, σi →_Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom(B[[b]])

I Beweis per struktureller Induktion überb (unter Verwendung der Äquivalenz für AExp). (Warum?)

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hc, σi →_Stmt σ⁰|⊥

Denotational C[[c]]

{ } h{}, σi →_Stmt σ C[[{ }]] =Id

c₁;c₂

hc₁, σi →_Stmt σ⁰ 6=⊥ hc₂, σ⁰i →_Stmt σ⁰⁰ hc₁;c₂, σi →_Stmt σ⁰⁰

hc₁, σi →_Stmt ⊥ hc₁;c2, σi →_Stmt ⊥

C[[c₂]]◦ C[[c₁]]

x =a ha, σi →_Aexp n hx =a, σi →_Stmt σ[n/x]

ha, σi →_Aexp ⊥ hx =a, σi →_Stmt ⊥

{(σ, σ[n/x])|(σ,n)∈ A[[a]]}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hc, σi →_Stmt σ⁰|⊥

Denotational C[[c]]

if(b) c₀

hb, σi →_Bexp1 hc₀, σi →_Stmt σ⁰

hc, σi →_Stmt σ⁰ hb, σi →_Bexp ⊥ hc, σi →_Stmt ⊥

{(σ, σ⁰)|(σ,1)∈ B[[b]],(σ, σ⁰)∈ C[[c₀]]}

else c1

hb, σi →_Bexp0 hc₁, σi →_Stmt σ⁰

hc, σi →_Stmt σ⁰ {(σ, σ⁰)|(σ,0)∈ B[[b]],(σ, σ⁰)∈ C[[c₁]]}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hc, σi →_Stmt σ⁰|⊥

Denotational C[[c]]

while(b) c

| {z }

w

hb, σi →_Bexp0 hw, σi →_Stmt σ

hb, σi →_Bexp⊥ hw, σi →_Stmt ⊥

hb, σi →_Bexp1 hc, σi →_Stmt σ⁰6=⊥ hw, σ⁰i →_Stmt σ⁰⁰ hw, σi →_Stmt σ⁰⁰

fix(Γ)

hb, σi →_Bexp1 hc, σi →_Stmt ⊥ hw, σi →_Stmt ⊥

mit

Γ(ϕ) = {(σ, σ⁰)|(σ,1)∈ B[[b]],(σ, σ⁰)∈ϕ◦ C[[c]]}

∪{(σ, σ)|(σ,0)∈ B[[b]]}

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allec ∈Stmt, für alle Zuständeσ, σ⁰:

hc, σi →_Stmt σ⁰ ⇔(σ, σ⁰)∈ C[[c]]

hc, σi →_Stmt ⊥ ⇒σ6∈Dom(C[[c]])

I ⇒Beweis Prinzip?

I ⇐Beweis Prinzip?

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allec ∈Stmt, für alle Zuständeσ, σ⁰:

hc, σi →_Stmt σ⁰ ⇔(σ, σ⁰)∈ C[[c]]

hc, σi →_Stmt ⊥ ⇒σ6∈Dom(C[[c]])

I ⇒Beweis per Induktion über die Ableitung in der operationalen Semantik (Warum?)

I ⇐Beweis Prinzip?

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allec ∈Stmt, für alle Zuständeσ, σ⁰:

hc, σi →_Stmt σ⁰ ⇔(σ, σ⁰)∈ C[[c]]

hc, σi →_Stmt ⊥ ⇒σ6∈Dom(C[[c]])

I ⇒Beweis per Induktion über die Ableitung in der operationalen Semantik (Warum?)

I ⇐Beweis per struktureller Induktion überc (Verwendung der Äquivalenz für arithmetische und boolsche Ausdrücke). Für die While-Schleife Rückgriff auf Definition des Fixpunkts und Induktion über die Teilmengen Γⁱ(∅) des Fixpunkts. (Warum?)

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allec ∈Stmt, für alle Zuständeσ, σ⁰:

hc, σi →_Stmt σ⁰ ⇔(σ, σ⁰)∈ C[[c]]

hc, σi →_Stmt ⊥ ⇒σ6∈Dom(C[[c]])

I ⇒Beweis per Induktion über die Ableitung in der operationalen Semantik (Warum?)

I ⇐Beweis per struktureller Induktion überc (Verwendung der Äquivalenz für arithmetische und boolsche Ausdrücke). Für die While-Schleife Rückgriff auf Definition des Fixpunkts und Induktion über die Teilmengen Γⁱ(∅) des Fixpunkts. (Warum?)

I Gegenbeispiel für⇐in der zweiten Aussage: wählec≡while(1){}:

C[[c]] =∅aberhc, σi →Stmt⊥gilt nicht (sondern?).

Fahrplan

I Einführung

I Operationale Semantik

I Denotationale Semantik

I Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik

I Die Floyd-Hoare-Logik

I Invarianten und die Korrektheit des Floyd-Hoare-Kalküls

I Strukturierte Datentypen

I Modellierung und Spezifikation

I Verifikationsbedingungen

I Vorwärts mit Floyd und Hoare

I Funktionen und Prozeduren

I Referenzen