Korrekte Software: Grundlagen und Methoden Vorlesung 4 vom 12/14.05.20 Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik

Korrekte Software: Grundlagen und Methoden Vorlesung 4 vom 12/14.05.20

Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik

Serge Autexier, Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2020

Fahrplan

I Einführung

I Operationale Semantik I Denotationale Semantik

I Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik I Der Floyd-Hoare-Kalkül

I Invarianten und die Korrektheit des Floyd-Hoare-Kalküls I Strukturierte Datentypen

I Verifikationsbedingungen I Vorwärts mit Floyd und Hoare I Modellierung

I Spezifikation von Funktionen I Referenzen und Speichermodelle

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational ha, σi →_Aexp n Denotational [[a]]A

m∈Z hm, σi →_Aexp m {(σ,m)|σ ∈Σ}

x∈Loc x∈Dom(σ)

hx, σi →_Aexp σ(x) {(σ, σ(x))|σ∈Σ,x∈ Dom(σ)}

x6∈Dom(σ) hx, σi →_Aexp ⊥ a1◦a2

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m n,m6=⊥

ha₁◦a2, σi →_Aexp n◦^Im {(σ,n◦^Im)|σ∈Σ,(σ,n)∈ [[a1]]A,(σ,m)∈[[a2]]A} ha₁, σi →_Aexp n

ha₂, σi →_Aexp m n=⊥oderm=⊥ ha₁◦a₂, σi →_Aexp ⊥

◦ ∈ {+,∗,−}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational ha, σi →_Aexp n Denotational [[a]]A

a₁/a₂

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m m6= 0 m,n 6=⊥

ha₁◦a₂, σi →_Aexp n◦^Im {(σ,n/m)|σ ∈Σ,(σ,n)∈ [[a₁]]A,(σ,m)∈[[a₂]]A,m6=

0}

ha₁, σi →_Aexp n ha₂, σi →_Aexp m n =⊥,m=⊥oder m= 0

ha₁/a₂, σi →_Aexp ⊥

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allea∈Aexp, für alle n∈Z, für alle Zuständeσ:

ha, σi →_Aexp n ⇔(σ,n)∈[[a]]A

ha, σi →_Aexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]A)

I Beweis Prinzip?

Induktionsprinzip

Noether’sche Induktion

Sei eine wohlfundierte OrdnungüberS und P eine Aussage über Elemente von S. Dann gilt

∀v ∈S.(∀u∈S.v u∧P(u))⇒P(v)

∀x ∈S.P(x)

I Eine binäre Relation⊆S×S ist eine Ordnung wenn gilt

∀x ∈S.xx (irreflexiv)

∀x,y ∈S.x y ⇒y x (assymetrisch)

∀x,y,z ∈S.(x y∧yz)⇒x z (transitiv) I Eine Ordnung≺ ist wohlfundiert, wenn es keine unendlich

absteigendenKetten gibt

a a a . . .

Induktionsprinzip

Noether’sche Induktion

Sei eine wohlfundierte OrdnungüberS und P eine Aussage über Elemente von S. Dann gilt

∀v ∈S.(∀u∈S.v u∧P(u))⇒P(v)

∀x ∈S.P(x)

S

Mathematische Induktion N n→n+ 1

Strukturelle Induktion Aexp Aexp aa⁰ genau dann, wenn a⁰ ist Teilausdruck von a

Arbeitsblatt 4.1: Übung zu struktureller Ordnung

Die strukturelle Ordnung auf arithmetischen Ausdrücken ist definiert als:

∀a,a⁰ ∈AExp.aa⁰ ⇔a⁰ ist Teilausdruck von a Dabei ist “Teilausdruck” formalisiert als ◦ ∈ {+,∗,−, /}:

aTeilausdruck-von(a1◦a2)⇔ a=a1∨aTeilausdruck-vona1∨ a=a2∨aTeilausdruck-vona2

!

I Argumentiert/beweist, dass die Relation “Teilausdruck-von”

4.1.1irreflexiv

4.2.2assymmetrisch und

4.3.3transitiv ist.

Besprechung

Argumentiert/beweist, die Relation “Teilausdruck-von” ist

1 irreflexiv Für Variablen und Zahlen gilt es nicht.

(a1◦a2) Teilausdruck-von(a1◦a2)

⇔(a₁◦a2) =a1∨(a1◦a2) Teilausdruck-vona1 Widerspruch

2 assymmetrisch

(a1◦a2) Teilausdruck-von(a₁⁰ ◦a⁰₂)

∧(a⁰₁◦a₂⁰) Teilausdruck-von(a1◦a2)

⇔[(a₁◦a₂) Teilausdruck-vona⁰₁

∨(a₁◦a₂) Teilausdruck-vona⁰₂]

∧[(a⁰₁◦a₂⁰) Teilausdruck-vona1

∨(a⁰₁◦a₂⁰) Teilausdruck-vona2]

Besprechung

Argumentiert/beweist, die Relation “Teilausdruck-von” ist

3 transitiv

aTeilausdruck-von(a₁◦a₂)∧(a₁◦a₂) Teilausdruck-von(a⁰₁◦a₂⁰)

⇔

1. Fall:a=a1∨aTeilausdruck-vona1⇒aTeilausdruck-von(a⁰₁◦a⁰₂) 2. Fall:a=a2∨aTeilausdruck-vona2⇒aTeilausdruck-von(a⁰₁◦a⁰₂)

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allea∈Aexp, für alle n∈Z, für alle Zuständeσ:

ha, σi →_Aexp n ⇔(σ,n)∈[[a]]A

ha, σi →_Aexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]A)

I Beweis Prinzip?

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allea∈Aexp, für alle n∈Z, für alle Zuständeσ:

ha, σi →_Aexp n ⇔(σ,n)∈[[a]]A

ha, σi →_Aexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]A)

I Beweis per struktureller Induktion übera. (Warum?)

Beweis ∀a∈Aexp.∀n∈Z.∀σ. ha, σi →Aexpn⇔(σ,n)∈[[a]]_A

∧ ha, σi →Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]_A) Induktionsanfänge

I a≡m∈Z:

hm, σi →_Aexp m

[[m]]A={(σ⁰,m)|σ⁰ ∈Σ} ⇒(σ,m)∈[[m]]A

#

⇔

I a≡X ∈Loc:

1 X ∈Dom(σ):

hX, σi →_Aexpσ(X)

[[X]]_A={(σ⁰, σ⁰(X))|σ⁰∈Σ,X ∈Dom(σ)} ⇒(σ, σ(X))∈[[X]]_A

⇔

2 X 6∈Dom(σ):

hX, σi →Aexp⊥

[[X]]A={(σ⁰, σ⁰(X))|σ⁰∈Σ,X ∈Dom(σ)} ⇒σ6∈Dom([[X]]A)

⇔

Beweis ∀a∈Aexp.∀n∈Z.∀σ. ha, σi →Aexpn⇔(σ,n)∈[[a]]_A

∧ ha, σi →Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]_A) Induktionsschritte

I a≡a1+a2:

1 Fall:m6=⊥undn6=⊥ Es gilt

[[a₁+a₂]]_A={(σ⁰,u+v)|(σ⁰,u)∈[[a₁]]_Aund (σ⁰,v)∈[[a₂]]_A} Induktionsannahme gilt füra1unda2.

ha1+a2, σi →KS Aexp m+n

(Def.h.,.i→Aexp.)

ha1, σi →Aexpm

&

ks ^{IA fuera1} +3(σ,m)∈[[a1]]_A

&

ha₂, σi →_Aexpnks ^{IA fuera2} +3(σ,n)∈[[a₂]]_A

KS

(Def.[[.]]A)

Beweis ∀a∈Aexp.∀n∈Z.∀σ. ha, σi →Aexpn⇔(σ,n)∈[[a]]_A

∧ ha, σi →Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]_A)

Induktionsschritte

I a≡a1+a2: Induktionsannahme gilt für a1 und a2.

2 Fall:m=⊥odern=⊥

ha1, σi →Aexpn ha2, σi →Aexpm m=⊥odern=⊥ ha1+a2, σi →Aexp ⊥

I Falln=⊥.

Aus Induktionsannahme folgt, dassha1, σi →Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[a1]]A).

Weiterhin gilt

[[a1+a2]]A={(σ⁰,u+v)|(σ⁰,u)∈[[a1]]Aund (σ⁰,v)∈[[a2]]A} Somit giltσ6∈Dom([[a1+a2]]A).

I Falln6=⊥,m=⊥: analog.

Beweis ∀a∈Aexp.∀n∈Z.∀σ. ha, σi →Aexpn⇔(σ,n)∈[[a]]_A

∧ ha, σi →Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]_A) Induktionsschritte

I a≡a1/a2:

1 Fall:m6=⊥undn6=⊥,n6= 0 Es gilt

[[a₁/a₂]]_A={(σ⁰,u/v)|(σ⁰,u)∈[[a₁]]_A,(σ⁰,v)∈[[a₂]]_Aundv 6= 0}

Induktionsannahme gilt füra1unda2. ha1/a2, σi →KS Aexpm/n

(Def.h.,.i→Aexp.)

ha1, σi →Aexpm

&

ks ^{IA fuera1} +3(σ,m)∈[[a1]]_A

&

ha₂, σi →_Aexpnks ^{IA fuera2} +3(σ,n)∈[[a₂]]_A

KS

(Def.[[.]]A)

Beweis ∀a∈Aexp.∀n∈Z.∀σ. ha, σi →Aexpn⇔(σ,n)∈[[a]]_A

∧ ha, σi →Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[a]]_A)

Induktionsschritte

I a≡a₁/a₂: Induktionsannahme gilt füra₁ und a₂.

2 Fall:

ha1, σi →Aexpm ha2, σi →Aexpn m=⊥,n= 0 odern=⊥ ha1/a2, σi →Aexp⊥

I Falln= 0.

Aus Induktionsannahme folgt, dassha2, σi →Aexp0⇔(σ,0)∈[[a2]]A. Weiterhin gilt

[[a1/a2]]A={(σ⁰,u/v)|(σ⁰,u)∈[[a1]]A,(σ⁰,v)∈[[a2]]Aundv6= 0}

Somit giltσ6∈Dom([[a1/a2]]A).

I Falln=⊥,m=⊥: analog wie bei +

q.e.d.

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational

hb, σi →_Bexpfalse|true| ⊥

Denotational [[b]]B

1 h1, σi →_Bexptrue {(σ,true)|σ∈Σ}

0 h0, σi →_Bexp false {(σ,false)|σ ∈Σ}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operat. hb, σi →_Bexp t Denotational [[b]]B

a0 ==a1

ha₀, σi →_Aexp n ha₁, σi →_Aexp m n,m6=⊥ n=m ha₀ ==a₁, σi →_Bexp true

ha₀, σi →_Aexp n ha₁, σi →_Aexp m n,m6=⊥ n6=m ha₀==a₁, σi →_Bexpfalse

ha₀, σi →_Aexp n ha₁, σi →_Aexp m n=⊥oder m=⊥ ha₀==a₁, σi →_Bexp⊥

{(σ,true)|σ ∈Σ,

(σ,n₀)∈[[a₀]]A, (σ,n1)∈[[a1]]A, n0=n1 }

∪

{(σ,false)|σ ∈Σ,

(σ,n0)∈[[a0]]A, (σ,n₁)∈[[a₁]]A, n06=n1 }

a1<a2 analog

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational ha, σi →_Bexp b Denotational [[b]]B

b1&&b0

hb₁, σi →_Bexpfalse

hb₁&&b₂, σi →false {(σ,false)|(σ,false)∈ [[b₁]]B}

hb₁, σi →_Bexp true hb₂, σi →_Bexpb

hb₁&&b2, σi →b {(σ,b)|(σ,true)∈ [[b1]]B,(σ,b)∈[[b2]]B} hb₁, σi →_Bexp⊥

hb₁&&b₂, σi → ⊥

b₁||b₂ analog

!n . . .

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für alleb∈Bexp, für allet ∈B, for alle Zuständeσ:

hb, σi →_Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]B

hb, σi →_Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]B)

I Beweis Prinzip?

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für alleb∈Bexp, für allet ∈B, for alle Zuständeσ:

hb, σi →_Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]B

hb, σi →_Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]B)

I Beweis per struktureller Induktion überb (unter Verwendung der Äquivalenz für AExp). (Warum?)

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B)

Induktionsanfänge I b≡0:

h0, σi →_Bexp false

[[0]]A ={(σ⁰,false)|σ⁰ ∈Σ} ⇒(σ,false)∈[[b]]B

#

⇔

I b≡1:

h1, σi →_Bexp true

[[1]]A ={(σ⁰,true)|σ⁰ ∈Σ} ⇒(σ,true)∈[[b]]B

#

⇔

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B) Induktionsschritte

I b≡b1&&b2: Es gilt

[[b₁&&b₂]]B ={(σ⁰,false)|(σ⁰,false)∈[[b₁]]B}

∪ {(σ⁰,t2)|(σ⁰,true)∈[[b1]]B und (σ⁰,t2)∈[[b2]]B} Induktionsannahme gilt fürb1 und b2.

I Fallhb1, σi →Bexp⊥ hb1&&b2, σi →Bexp⊥

KS

(Def.h.,.i→_Bexp.)

hb₁, σi →_Bexp⊥ks^{IA fuerb1}+3σ6∈Dom([[b₁]]_B)

Def. [[.]]B

σ6∈[[b &&b ]]

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B) Induktionsschritte

I b≡b1&&b2: Es gilt

[[b1&&b2]]B ={(σ⁰,false)|(σ⁰,false)∈[[b1]]B}

∪ {(σ⁰,t₂)|(σ⁰,true)∈[[b₁]]B und (σ⁰,t₂)∈[[b₂]]B} Induktionsannahme gilt fürb1 und b2.

I Fallhb1, σi →Bexpfalse hb₁&&b₂, σi →_Bexpfalse

KS

(Def.h.,.i→Bexp.)

hb1, σi →Bexpfalseks ^{IA fuerb1} +3(σ,false)∈[[b1]]B Def. [[.]]B

(σ,false)∈[[b1&&b2]]B

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B) Induktionsschritte

I b≡b1&&b2:

[[b1&&b2]]B ={(σ⁰,false)|(σ⁰,false)∈[[b1]]B}

∪ {(σ⁰,t₂)|(σ⁰,true)∈[[b₁]]B und (σ⁰,t₂)∈[[b₂]]B} Induktionsannahme gilt fürb1 und b2.

I Fallhb1, σi →Bexptrue,hb2, σi →Bexp false hb1&&b2, σi →KS Bexpfalse

(Def.h.,.i→Bexp.)

hb1, σi →Bexp true

&

ks ^{IA fuerb1} +3(σ,true)∈[[b1]]_B

&

hb₂, σi →_Bexpfalseks ^{IA fuerb2} +3(σ,false)∈[[b₂]]_B

Def. [[.]]B

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B) Induktionsschritte

I b≡b1&&b2:

[[b1&&b2]]B ={(σ⁰,false)|(σ⁰,false)∈[[b1]]B}

∪ {(σ⁰,t₂)|(σ⁰,true)∈[[b₁]]B und (σ⁰,t₂)∈[[b₂]]B} Induktionsannahme gilt fürb1 und b2.

I Fallhb1, σi →Bexptrue,hb2, σi →Bexp true hb1&&b₂, σi →Bexptrue

KS

(Def.h.,.i→Bexp.)

hb1, σi →Bexptrue

&

ks ^{IA fuerb1} +3(σ,true)∈[[b1]]_B

&

hb2, σi →Bexptrueks ^{IA fuerb2} +3(σ,true)KS∈[[b2]]_B

Def. [[.]]B

(σ,true)∈[[b1&&b2]]_B

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexpt ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B) Induktionsschritte

I b≡b1&&b2:

[[b1&&b2]]B ={(σ⁰,false)|(σ⁰,false)∈[[b1]]B}

∪ {(σ⁰,t₂)|(σ⁰,true)∈[[b₁]]B und (σ⁰,t₂)∈[[b₂]]B} Induktionsannahme gilt fürb1 und b2.

I Fallhb1, σi →Bexptrue,hb2, σi →Bexp ⊥ hb1&&b₂, σi →KS Bexp⊥

(Def.h.,.i→Bexp.)

hb1, σi →Bexp true

&

ks ^{IA fuerb1} +3(σ,true)∈[[b1]]_B

&

hb2, σi →Bexp⊥ks ^{IA fuerb2} +3σ6∈Dom([[b2]]_B)

Def. [[.]]B

Beweis ∀a∈Bexp.∀n∈Z.∀σ. hb, σi →Bexp t ⇔(σ,t)∈[[b]]_B

∧ hb, σi →Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[b]]_B)

I (σ,true)∈[[b1&&b2]]B^{Def. [[.]]}ks +3^B(σ,true)∈[[b1]]B und (σ,true)∈[[b2]]B

I Siehe Folie 24

I

(σ,false)∈[[b1&&b2]]B^{Def. [[.]]}ks +3^B (σ,false)∈[[b1]]B oder

(σ,true)∈[[b₁]]B und (σ,false)∈[[b₂]]B

I Siehe Folie 22 und 23

I σ6∈Dom([[b1&&b2]]B)^{Def. [[.]]ks +3B} σ6∈Dom([[b1]]B) oderσ6∈Dom([[b2]]B) I Siehe Folie 21 und 25

Somit gilt dann auch⇔ q.e.d.

Arbeitsblatt 4.2:

Beweist obige drei Aussagen unter Verwendung des für arithmetische Ausdrücke geltenden Lemmas

∀a∈Aexp.∀n∈Z.∀σ. ha, σi →_Aexp n⇔(σ,n)∈[[a]]A

∧ hb, σi →_Bexp⊥ ⇔σ 6∈Dom([[a]]A)

Beweis 1. ha1==a2, σi →Bexp false⇔(σ,false)∈[[a1==a2]]_B 2. ha1==a2, σi →Bexp true⇔(σ,true)∈[[a1==a2]]_B 3. ha1==a2, σi →Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a1==a2]]_B)

[[a1 ==a2]]B ={(σ⁰,true)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a2]]A,m=n}

∪ {(σ⁰,false)|(σ⁰,m)∈[[a₁]]A,(σ⁰,n)∈[[a₂]]A,m6=n}

I Fallha₁, σi →_Bexp m,hb₂, σi →_Bexpn,m=n ha₁ ==a₂, σi →_Bexptrue

KS

(Def.h.,.i→_Bexp.)

ha₁, σi →_Bexp m

&

ks ^{IA fuera1} +3(σ,m)∈[[a₂]]A

&

ha₂, σi →_Bexp m^{ks IA fuera2 +3}(σ,m)∈KS [[a1]]A Def. [[.]]B

(σ,true)[[a ==a ]]

Beweis 1. ha1==a2, σi →Bexp false⇔(σ,false)∈[[a1==a2]]_B 2. ha1==a2, σi →Bexp true⇔(σ,true)∈[[a1==a2]]_B 3. ha1==a2, σi →Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a1==a2]]_B)

[[a1 ==a2]]B ={(σ⁰,true)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a2]]A,m=n}

∪ {(σ⁰,false)|(σ⁰,m)∈[[a₁]]A,(σ⁰,n)∈[[a₂]]A,m6=n}

I Fallha₁, σi →_Bexp m,hb₂, σi →_Bexpn,m6=n ha₁ ==a₂, σi →_Bexpfalse

KS

(Def.h.,.i→_Bexp.)

ha₁, σi →_Aexp m

&

ks^{Lemma fuera1} +3(σ,m)∈[[a₁]]A

&

ha₂, σi →_Aexp n^{ks Lemma fuera2 +3}(σ,n)∈KS [[a2]]A Def. [[.]]B

Beweis 1. ha1==a2, σi →Bexp false⇔(σ,false)∈[[a1==a2]]_B 2. ha1==a2, σi →Bexp true⇔(σ,true)∈[[a1==a2]]_B 3. ha1==a2, σi →Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a1==a2]]_B)

[[a1 ==a2]]B ={(σ⁰,true)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a1]]A,m=n}

∪ {(σ⁰,false)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a2]]A,m6=n}

I Fallha₁, σi →_Bexp ⊥:

ha₁ ==a₂, σi →_Bexp⊥

KS

(Def.h.,.i→_Bexp.)

ha₁, σi →_Aexp ⊥

&

ks ^{Lemma fuera}+3σ6∈Dom([[a₁]]A)

Def. [[.]]B

σ6∈Dom([[a1 ==a2]]B)

Beweis 1. ha1==a2, σi →Bexp false⇔(σ,false)∈[[a1==a2]]_B 2. ha1==a2, σi →Bexp true⇔(σ,true)∈[[a1==a2]]_B 3. ha1==a2, σi →Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a1==a2]]_B)

[[a1 ==a2]]B ={(σ⁰,true)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a1]]A,m=n}

∪ {(σ⁰,false)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a2]]A,m6=n}

I Fallha₂, σi →_Bexp ⊥:

ha₁ ==a₂, σi →_Bexp⊥

KS

(Def.h.,.i→_Bexp.)

ha₂, σi →_Aexp ⊥

&

ks ^{Lemma fuera}+3σ6∈Dom([[a₂]]A)

Def. [[.]]B

σ6∈Dom([[a1 ==a2]]B)

Beweis 1. ha1==a2, σi →Bexp false⇔(σ,false)∈[[a1==a2]]_B 2. ha1==a2, σi →Bexp true⇔(σ,true)∈[[a1==a2]]_B 3. ha1==a2, σi →Bexp ⊥ ⇔σ6∈Dom([[a1==a2]]_B)

[[a1 ==a2]]B ={(σ⁰,true)|(σ⁰,m)∈[[a1]]A,(σ⁰,n)∈[[a1]]A,m=n}

∪ {(σ⁰,false)|(σ⁰,m)∈[[a₁]]A,(σ⁰,n)∈[[a₂]]A,m6=n}

I σ6∈Dom([[a₁ ==a₂]]B)^{Def. [[.]]ks B+3} σ 6∈Dom([[a₁]]A) oderσ 6∈

Dom([[a₂]]A)

I Siehe die beiden Fälle auf den beiden vorangegangenen Folien.

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hc, σi →Stmt σ⁰|⊥ Denotational [[c]]C

{ } h{}, σi →_Stmt σ [[{ }]]_C =Id

c₁;c₂

hc₁, σi →_Stmt σ⁰ 6=⊥ hc₂, σ⁰i →_Stmt σ⁰⁰ hc₁;c₂, σi →_Stmt σ⁰⁰

hc₁, σi →_Stmt ⊥ hc₁;c2, σi →_Stmt ⊥

[[c₁]]C◦[[c₂]]C

x =a ha, σi →_Aexp n hx =a, σi →_Stmt σ[n/x]

ha, σi →_Aexp ⊥ hx =a, σi →_Stmt ⊥

{(σ, σ[n/x])|(σ,n)∈[[a]]A}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hc, σi →_Stmt σ⁰|⊥

Denotational [[c]]C

if(b) c0

hb, σi →_Bexp ⊥ hc, σi →_Stmt ⊥ hb, σi →_Bexptrue

hc₀, σi →_Stmt σ⁰ hc, σi →_Stmt σ⁰

{(σ, σ⁰)|(σ,true)∈ [[b]]B,(σ, σ⁰)∈[[c₀]]C}

else c1

hb, σi →_Bexp false hc₁, σi →_Stmt σ⁰

hc, σi →_Stmt σ⁰ {(σ, σ⁰)|(σ,false)∈ [[b]]B,(σ, σ⁰)∈[[c₁]]C}

Operationale vs. denotationale Semantik

Operational hc, σi →_Stmt σ⁰ | ⊥

Denotational [[c]]C

while(b) c

| {z }

w

hb, σi →_Bexpfalse hw, σi →_Stmt σ

hb, σi →_Bexp⊥ hw, σi →_Stmt ⊥

hb, σi →_Bexptrue hc, σi →_Stmt σ⁰ 6=⊥ hw, σ⁰i →_Stmt σ⁰⁰ hw, σi →_Stmt σ⁰⁰

fix(Γ)

hb, σi →_Bexptrue hc, σi →_Stmt ⊥ hw, σi →_Stmt ⊥

mit

Γ(ϕ) = {(σ, σ⁰)|(σ,true)∈[[b]]B,(σ, σ⁰)∈[[c]]C◦ϕ}

∪{(σ, σ)|(σ,false)∈[[b]]B}

Äquivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allec ∈Stmt, für alle Zuständeσ, σ⁰:

hc, σi →_Stmt σ⁰⇔(σ, σ⁰)∈[[c]]C

hc, σi →_Stmt ⊥ ⇒σ 6∈Dom([[c]]C)

I ⇒Beweis Prinzip?

I ⇐Beweis Prinzip?

Operationale Semantik: C0 Programme

I Stmtc ::=Idt=Exp|if (b) c1 else c2|while(b)c |c1;c2| { } Regeln:

h{ }, σi →_Stmt σ ha, σi →_Aexp n∈Z

hx =a, σi →_Stmt σ[n/x]

ha, σi →_Aexp ⊥ hx =a, σi →_Stmt ⊥ hc₁, σi →_Stmt σ⁰ 6=⊥ hc₂, σ⁰i →_Stmt σ⁰⁰6=⊥

hc₁;c₂, σi →_Stmt σ⁰⁰ hc₁, σi →_Stmt ⊥ hc₁;c2, σi →_Stmt ⊥

hc₁, σi →_Stmt σ⁰ 6=⊥ hc₂, σ⁰i →_Stmt ⊥ hc₁;c₂, σi →_Stmt ⊥

Operationale Semantik: C0 Programme

I Stmtc ::=Idt=Exp|if (b) c1 else c2|while(b)c |c1;c2| { } Regeln:

hb, σi →_Bexptrue hc₁, σi →_Stmt σ⁰ hif(b) c₁ else c₂, σi →_Stmt σ⁰ hb, σi →_Bexpfalse hc₂, σi →_Stmt σ⁰

hif(b) c1 else c2, σi →_Stmt σ⁰ hb, σi →_Bexp⊥

hif(b) c₁ else c₂, σi →_Stmt ⊥

Operationale Semantik: C0 Programme

I Stmtc ::=Idt=Exp|if (b) c1 else c2|while(b)c |c1;c2| { } Regeln:

hb, σi →_Bexpfalse hwhile (b) c, σi →_Stmt σ

hb, σi →_Bexp true hc, σi →_Stmt σ⁰ hwhile(b) c, σ⁰i →_Stmt σ⁰⁰ hwhile (b) c, σi →_Stmt σ⁰⁰

hb, σi →_Bexptrue hc, σi →_Stmt ⊥ hwhile (b) c, σi →_Stmt ⊥

hb, σi →_Bexp⊥ hwhile(b) c, σi →_Stmt ⊥

Ableitungstiefe für Programme

I Die Ableitungstiefe einer Programmauswertung mittels Regeln der operationaler Semantik ist die Anzahl der Regelanwendungenmit Conclusion der Form h., .i →_Stmt ..

...

Prämisse₁ . . . ... Prämisse_n Conclusion

Operationale Semantik: C0 Programme

I Stmtc ::=Idt=Exp|if (b) c1 else c2|while(b)c |c1;c2| { } Regeln:

hc1, σi →_Stmtσ⁰6=⊥ hc₂, σ⁰i →_Stmtσ⁰⁰6=⊥

hc₁;c2, σi →_Stmtσ⁰⁰

hb, σi →_Bexptrue hc₁, σi →_Stmtσ⁰ hif(b)c1 else c2, σi →_Stmtσ⁰

hb, σi →Bexpfalse hc2, σi →Stmtσ⁰ hif(b)c1 else c2, σi →_Stmtσ⁰

hb, σi →_Bexptrue hc, σi →_Stmtσ⁰ hwhile(b)c, σ⁰i →_Stmtσ⁰⁰

hwhile(b)c, σi →_Stmtσ⁰⁰

hb, σi →_Bexptrue hc, σi →_Stmt⊥

Programmstruktur

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