Korrekte Software: Grundlagen und Methoden Vorlesung 3 vom 20.04.17: Operationale Semantik

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Korrekte Software: Grundlagen und Methoden Vorlesung 3 vom 20.04.17: Operationale Semantik

Serge Autexier, Christoph Lüth

Universität Bremen Sommersemester 2017

09:06:58 2017-06-28 1 [24]

Fahrplan

I Einführung

I Die Floyd-Hoare-Logik I Operationale Semantik I Denotationale Semantik

I Äquivalenz der Operationalen und Denotationalen Semantik I Korrektheit des Hoare-Kalküls

I Vorwärts und Rückwärts mit Floyd und Hoare I Funktionen und Prozeduren

I Referenzen und Speichermodelle I Verifikationsbedingungen Revisited I Vorwärtsrechnung Revisited

I Programmsicherheit und Frame Conditions I Ausblick und Rückblick

Korrekte Software 2 [24]

Zutaten

// GGT(A,B) i f ( a == 0 ) r = b ; e l s e {

w h i l e ( b != 0 ) { i f ( a <= b )

b = b− a ; e l s e a = a− b ; }

r = a ; }

I Programme berechnenWerte I Basierend auf

I Werte sindVariablenzugewiesen

I Evaluation vonAusdrücken I Folgt dem Programmablauf

Unsere Programmiersprache

Wir betrachten einen Ausschnitt der ProgrammierspracheC(C0).

Ausbaustufe 1 kennt folgende Konstrukte:

I Typen:int;

I Ausdrücke: Variablen, Literale (für ganze Zahlen), arithmetische Operatoren (für ganze Zahlen), Relationen (==, !=, <=, . . . ), boolsche Operatoren (&&, || );

I Anweisungen:

IFallunterscheidung (if. . .else. . . ), Iteration (while), Zuweisung, Blöcke;

ISequenzierung und leere Anweisung sind implizit

Semantik von C0

I Die (operationale) Semantik einer imperativen Sprache wie C0 ist ein Zustandsübergang: das System hat einen impliziten Zustand, der durch Zuweisung vonWertenanAdressengeändert werden kann.

I Konkretes Beispiel:n= 3 p ?

c ? n 3

p 1 c ? n 3

p 1 c 1 n 3

. . . p 6 c 4 n 3

p = 1 ; c = 1 ; w h i l e( c <= n ) {

p = p ∗ c ; c = c + 1 ; }

Systemzustände

I Ausdrücke werten zuWertenV(hier ganze Zahlen) aus.

I AdressenLocsind hier Programmvariablen (Namen)

I EinSystemzustandbildet Adressen auf Werte ab: Σ =Loc*V I Ein Programm bildet einen Anfangszustandmöglicherweiseauf einen

Endzustand ab (wenn esterminiert).

I Zusicherungen sind Prädikate über dem Systemzustand.

C0: Ausdrücke und Anweisungen

Aexpa::=N|Loc|a1+a2|a1−a2|a1∗a2|a1/a2 Bexpb::=0|1|a1==a2|a1! =a2

|a1<=a2|!b|b1&&b2|b1||b2 Exp e:=Aexp|Bexp

Stmtc ::= Loc=Exp;

| if(b)c1 else c2

| while(b)c

| {c^∗}

Eine Handvoll Beispiele

//{y=Y∧y≥0}

x = 1 ;

w h i l e ( y != 0 ) { y = y−1;

x = 2∗x ; }

//{x= 2^Y}

//{a≥0∧b≥0}

r = b ; q = 0 ;

w h i l e ( b <= r ) { r = r−y ; q = q +1;

}

//{a=b∗q+r∧r<b}

p = 1 ; c = 1 ; w h i l e ( c<=n ) {

c = c +1;

p = p∗c ; }

//{p=n!}

//{0≤a}

t = 1 ; s = 1 ; i = 0 ;

w h i l e ( s <= a ) { t = t + 2 ; s = s + t ; i = i + 1 ; }

//{i²≤a∧a<(i+ 1)²}

Operationale Semantik: Arithmetische Ausdrücke

Ein arithmetischer Ausdruckawertet unter gegebenen Zustandσzu einer ganzen Zahln(Wert) aus oder zu einem Fehler⊥.

I Aexpa::=N|Loc|a1+a2|a1−a2|a1∗a2|a1/a2 I Zustände bilden Adressen/Programmvariablen aufWerteab (σ)

ha, σi →Aexpn|⊥

Regeln:

hn, σi →Aexpn X∈Loc,X∈Dom(σ), σ(X) =v

hX, σi →_Aexpv

X∈Loc,X6∈Dom(σ) hX, σi →_Aexp⊥

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Operationale Semantik: Arithmetische Ausdrücke

I Aexpa::=N|Loc|a1+a2|a1−a2|a1∗a2|a1/a2 ha, σi →Aexpn|⊥

ha₁, σi →_Aexpn1 ha₂, σi →_Aexpn2 ni∈N,nSummen1undn2 ha1+a2, σi →Aexpn

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 fallsn1=⊥odern2=⊥ ha1+a2, σi →_Aexp⊥

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 ni∈N,nDiff.n1undn2 ha₁−a2, σi →_Aexpn

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 fallsn1=⊥odern2=⊥ ha₁−a2, σi →_Aexp⊥

Operationale Semantik: Arithmetische Ausdrücke

I Aexpa::=N|Loc|a1+a2|a1−a2|a1∗a2|a1/a2 ha, σi →_Aexpn|⊥

ha₁, σi →_Aexpn1 ha₂, σi →_Aexpn2 ni∈N,nProduktn1undn2

ha1∗a2, σi →Aexpn

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 fallsn1=⊥odern2=⊥ ha1∗a2, σi →Aexp⊥

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 ni∈N,n26= 0,nQuotientn1,n2

ha1/a2, σi →Aexpn

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 fallsn1=⊥,n2=⊥odern2= 0 ha1/a2, σi →Aexp⊥

Beispiel-Ableitungen

Seiσ(X) = 6, σ(Y) = 5.

hX, σi →Aexp6 hY, σi →Aexp5 hX+Y, σi →Aexp11

hX, σi →Aexp6 hY, σi →Aexp5 hX−Y, σi →Aexp1 h(X+Y)∗(X−Y), σi →Aexp11

hX, σi →Aexp6 hX, σi →Aexp6 hX∗X, σi →Aexp36

hY, σi →Aexp5 hY, σi →Aexp5 hY∗Y, σi →Aexp25 h(X∗X)−(Y∗Y), σi →Aexp11

Operationale Semantik: Boolesche Ausdrücke

I Bexpb::= 0|1|a1==a2|a1 <= a2|!b|b1&&b2|b1 || b2 Regeln:

hb, σi →Bexp1|0|⊥

h1, σi →Bexp1 h0, σi →Bexp0

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 ni6=⊥,n1undn2gleich ha1==a2, σi →_Bexp1

ha1, σi →Aexpn1 ha2, σi →Aexpn2 ni6=⊥,n1undn2ungleich ha₁==a2, σi →_Bexp0

ha1, σi →_Aexpn1 ha2, σi →_Aexpn2 n1=⊥orn2=⊥ ha₁==a2, σi →_Bexp⊥

Operationale Semantik: Boolesche Ausdrücke

hb, σi →Bexp1 h!b, σi →Bexp0

hb, σi →Bexp0 h!b, σi →Bexp1

hb, σi →Bexp⊥ h!b, σi →Bexp⊥ hb1, σi →Bexpt1 hb2, σi →Bexpt2

hb₁&&b2, σi →_Bexpt

wobei t= 1 wennt1=t2= 1;

t= 0 wennt1= 0 oder (t1= 1 undt2= 0);

t=⊥sonst

Operationale Semantik: Boolesche Ausdrücke

hb1, σi →Bexpt1 hb2, σi →Bexpt2 hb1||b2, σi →Bexpt

wobei t= 0 wennt1=t2= 0;

t= 1 wennt1= 1 oder (t1= 0 undt2= 1);

t=⊥sonst

Operationale Semantik: Anweisungen

I Stmtc::=Loc=Exp;| {c^∗} | if(b)c1 else c2|while(b)c Beispiel:

hc, σi →Stmtσ⁰|⊥

hX= 5, σi →_Stmtσ⁰

wobeiσ⁰(X) = 5 undσ⁰(Y) =σ(Y) für alleY6=X

Operationale Semantik: Anweisungen

I Stmtc::=Loc=Exp; | {c^∗} | if(b)c1 elsec2|while(b)c Regeln:

Definiere:

σ[m/X](Y) :=

(m ifX=Y σ(Y) sonst

hX= 5, σi →_Stmtσ[5/X] Es gilt:

∀σ,n,m,∀X,Y .X6=Y⇒σ[n/X][m/Y] =σ[m/Y][n/X]

∀σ,n,m,∀X. σ[n/X][m/X] =σ[m/X]

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Operationale Semantik: Anweisungen

I Stmtc::=Loc=Exp;| {c^∗} | if(b)c1 else c2|while(b)c Regeln:

h{ }, σi →_Stmtσ ha, σi →_Aexpn∈N

hX=a, σi →Stmtσ[n/X]

ha, σi →_Aexp⊥ hX=a, σi →Stmt⊥ hc, σi →_Stmtσ⁰6=⊥ h{c_s}, σ⁰i →_Stmtσ⁰⁰6=⊥

h{c cs}, σi →Stmtσ⁰⁰ hc, σi →Stmt⊥ h{c cs}, σi →Stmt⊥

hc, σi →Stmtσ⁰6=⊥ h{cs}, σ⁰i →Stmt⊥ h{c cs}, σi →_Stmt⊥

Operationale Semantik: Anweisungen

I Stmtc::=Loc=Exp; | {c^∗} | if(b)c1 elsec2|while(b)c Regeln:

h{ }, σi →_Stmtσ hb, σi →_Bexp1 hc1, σi →_Stmtσ⁰

hif(b)c1 elsec2, σi →Stmtσ⁰ hb, σi →_Bexp0 hc₂, σi →_Stmtσ⁰

hif(b)c1 elsec2, σi →Stmtσ⁰ hb, σi →Bexp⊥ hif(b)c1 elsec2, σi →Stmt⊥

Operationale Semantik: Anweisungen

I Stmtc::=Loc=Exp;| {c^∗} | if(b)c1 else c2|while(b)c Regeln:

h{ }, σi →_Stmtσ hb, σi →Bexp0 hwhile(b)c, σi →_Stmtσ

hb, σi →_Bexp1 hc, σi →_Stmtσ⁰ hwhile(b)c, σ⁰i →_Stmtσ⁰⁰ hwhile(b)c, σi →_Stmtσ⁰⁰

hb, σi →_Bexp1 hc, σi →_Stmt⊥ hwhile(b)c, σi →Stmt⊥

hb, σi →_Bexp⊥ hwhile(b)c, σi →Stmt⊥

Beispiel

x = 1 ;

w h i l e ( y != 0 ) { y = y− 1 ; x = 2 ∗ x ; }

//x= 2^y σ(y) = 3

Äquivalenz arithmetischer Ausdrücke

Gegeben zwei Aexpa1anda2 I Sind sie gleich?

a1∼_Aexpa2gdw∀σ,n.ha₁, σi →_Aexpn⇔ ha₂, σi →_Aexpn (X∗X) + 2∗X∗Y + (Y∗Y) und (X+Y) ∗ (X+Y)

I Wann sind sie gleich?

∃σ,n.ha₁, σi →_Aexpn⇔ ha₂, σi →_Aexpn

X∗X und 9∗X+22

X∗X und X∗X+1

Äquivalenz Boolscher Ausdrücke

Gegeben zwei Bexp-Ausdrückeb1andb2 I Sind sie gleich?

b1∼Bexpb2iff∀σ,b.hb1, σi →Bexpb⇔ hb2, σi →Bexpb A | | (A && B) und A

Beweisen

Zwei Programmec0,c1sind äquivalent gdw. sie die gleichen Zustandsveränderungen bewirken. Formal definieren wir Definition

c0∼c1iff∀σ, σ⁰.hc0, σi →Stmtσ⁰⇔ hc1, σi →Stmtσ⁰

Ein einfaches Beispiel:

Lemma

Sei w≡while(b) c mit b∈Bexp, c∈Stmt.

Dann gilt: w∼if(b){c;w} else{}

Beweis an der Tafel

Zusammenfassung

I Operationale Semantik als ein Mittel für Beschreibung der Semantik

I Auswertungsregeln arbeiten entlang der syntaktischen Struktur

I Werten Ausdrücke zu Werten aus und Programme zu Zuständen (zu gegebenen Zustand)

I Fragen zu Programmen: Gleichheit