Ryd (Energy in units of 13.6 eV)

Geänderter Radialteil

Setzt man:

[ ]

0 ) 2 (

) 1 ) (

2 (

) ( ) 1 ( )

( ) 2 (

2 2 2

2 2 2 2 2

=

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − + ⋅

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ +

=

⋅

−

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

r mr R

l r l

V mr E

dr r dR dr

d

r R l

l r

R r V mr E

dr r dR dr

d

=

=

=

2 2

2 ) 1 ) (

( )

( mr

l r l

V r

V_eff = + + ⋅=

⇒

[

]

2 ⎟+ 2 − ⋅ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ mr E V r R r

dr r dR dr

d

= eff

Wie sieht diese effektive Potential für ¹H aus ?

2 2

0 2

2 ) 1 1 (

) 4

(

l l r r e

V_eff = − πε ⋅ + + ⋅=

Coulomb-Anteil Zentrifugalpotential

:d.h. für s-Zustände haben wir die Lösung schon!

r r e

V

l

1

) 4 ( :

0

0 2

⋅

− πε

= =

← Bild des

effektiven Potential

„Effektives“ Potential V_eff(r) setzt sich zusammen aus:

i) Coulomb-Anziehung ii) Zentrifugalpotential

r

e

1

4

2 ⋅

− πε

2 2

2 ) 1 (

mr l

l + =

Klassisch wäre die Energie der Rotation eines Körpers:

Trägheitsmoment θ = m⋅r² Drehimpuls L ²

2 2

2 2

1

mr L E_rot = Lθ =

Quantenmechanisch ist der Eigenwert des Drehimpulsoperators

⇒quantenmechanischer

Energieeigenwert 2

2

2 ) 1 (

mr l

l + ⋅ =

=

In atomaren Einheiten ist V_eff(r) r = a₀ρ, v_eff = V_eff(a₀⋅ρ)/E_ryd

2 2

0 2

2 ) 1 1 (

) 4

( mr

l l r r e

V_eff = − πε ⋅ + + =

) ) (

1 ) (

ˆ

( r l l

r

L ψ = + ⋅ = ⋅ ψ

2 2 0 2

2 0

2

0 0

2 1 2

2 ) 1 ( 1 1 ) 4

(

v =

= ma

ma l l a

e

eff ⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ + +

ρ πε

= − ρ

Eryd

=1

↑

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ ρ + ρ +

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅ ρ + ρ +

πε ⋅

−

=

ρ

0 2

0

1 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1

4 ) 2

(

v ma e l l l l

eff

=

Dieses effektive Potential hat folgende Eigenschaften:

1) Für l = 0 ist : → v −∞ für ρ → 0 2) Für l ≠ 0 geht v_eff(ρ) → +∞ für ρ → 0

3) Das Minimum für l ≠ 0 wandert für größere l immer weiter nach außen zu größerem ρ.

−ρ

= ρ) 2 (

v_eff

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

veff01.opj

Veff = -2/ρ + l(l+1)/(ρ*ρ) V = l(l+1)/(ρ*ρ) l=1

V_coulomb = -2/ρ E/E Ryd (Energy in units of 13.6 eV)

r/a₀ (Radius in Bohr units)

Effektives Potential für l = 1 beim Wasserstoffatom

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.5

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1

Effective Potential for the H-atom

E₄ E₃

E₂ l=3 l=2

l=1

veff02.opj

Veff = -2/

+ l(l+1)/(

*

)

E/E Ryd (Energy in units of 13.6 eV)

r/a₀ (Radius in Bohr units)

Man schreibt die Schrödinger-Gleichung in der äquivalenten Form:

( )

2 ) 1 ( 1 4

) 2 1 (

2 2

0 2 2

2

2 ⎥⋅ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + πε ⋅ − + +

⋅ R r

mr l l r E e

r m R dr r

d r

=

=

Man rechnet wieder in atomaren Einheiten:

2 0 2

2 2

0 0

0

; 2

; 4

E ma E

E

e m a

a r

yd R Ryd

=

=

=

⋅ ε

=

= πε

⋅ ρ

=

(

)

(

)

2

2 ⎥ ρ⋅ ρ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ+ ρ −

+ ε + ρ

⋅

ρ ρ l l R

d R d

⇓

Wir setzen wieder: f(ρ) = ρ⋅R(ρ) ^{( ) 2 (} 2¹⁾⎥⋅ ⁽ρ⁾

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ+ ρ −

+ ε

−

=

′′ ρ l l f

f

Man beachte: Für l = 0 geht diese Gleichung in das schon gelöste Problem für s-Funktionen über:

) 2 (

) ( :

0 ⎥⋅ ρ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ε+ ρ

−

=

′′ ρ

= f f

l

Lösungsansatz wieder:

g g

g f

g g

f

g g

e f

⋅ ′′

ρ

⋅ α

−

′+ ρ

⋅ α

− α

−

⋅ ρ

⋅ α

−

⋅ α

′′ =

⋅ ′ ρ

⋅ α

− +

⋅ ρ

⋅ α

−

⋅ α

−

′ =

ρ

⋅ ρ

⋅ α

−

= ρ

⋅

=

ρ ^−αρ

) exp(

) exp(

2 )

exp(

) exp(

) exp(

) ( ) exp(

) ( )

(

2

l g g l

g

l g g l

g g

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ+ ρ −

+ α + ε

−

′ =

⋅ α

′′−

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ

− + + ρ ε

−

′′ =

′+

⋅ α

−

⋅ α

2 2

2 2

) 1 2 (

2

) 1 2 (

2

Die Wahl von ^{ε = −α2 α2 = −ε}

Vereinfacht die Gleichung zu: ₂ ^{2 (} ₂¹⁾_{⎥⋅ = 0}

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ+ ρ −

′+

⋅ α

′′− l l g

g g

Potenzreihenansatz für:

∑

=

ρ

⋅

=

ρ ^N

k

k

ak

g

1

) (

∑

∑

∑

= + −

=

−

=

−

ρ

⋅

⋅ +

⋅

= ρ

⋅

−

⋅

⋅

′′ =

ρ

⋅

⋅

′ =

1

1 1

1

2 1

1

) 1 (

) 1 (

k

k k

k

k k

k

k k

k k

a k

k a g

k a g

Man schreibt:

∑

∑

∑

+ −

=

+ −

=

−

= ⋅ ρ = ⋅ ρ + ρ

ρ

⋅

ρ =

1 1

0

1 1

1

2 2

k

k k

k

k k

k

k

k

a a a

g a

Setzt man jetzt alles zusammen:

( )

[ ^{1 2 2 ( 1 )} ]

^{( 1 )}

⁰

1

1

1

⋅ + ⋅ − α ⋅ ⋅ + − + ⋅ ρ

+ + ⋅ ρ =

= + +

∑ ^{a k k a k a l l a}

^{l l a}

k

k k

k k

a) Für l = 0 hat man den Fall der s - Funktionen und a₁ wird ≠ 0 gewählt b) Für l ≠ 0 muß gelten: a₁= 0!

und:

^a

[ ^{( k + 1 ) ⋅ k − l ( l + 1 )} ] [ ^{= 2 α ⋅ k − 2} ] ^{⋅ a}

( )

) 1 (

) 1 (

1 2

1

= ⋅ ⋅ α + ⋅ − − ⋅ +

+

k k l l

a

a

k

a₁ = 0

k = 2, 3, 4,...

Rekursionsformel:

Die Potenzreihe muß wieder abbrechen, d.h. wenn ist , n=1, 2, 3, ... : n ∈

α = n 1

⇒ α⋅k −

1

1

⇒ alle a_n+1, a_n+1, ... ≡ 0

⇒ Funktion g(ρ)⋅exp(-αρ) ist normierbar!

D.h. die Energiequantisierung hat sich durch das l nicht geändert.

Jedoch: Im Nenner des Ausdrucks

2

2 1

− n

= α

−

= ε

k

k

a

l l k

k

a

= ⋅ + α ⋅ − k − + ⋅ ) 1 ( ) 1 (

) 1 (

2

1

gibt es eine Nullstelle für k = l ! Annahme: α_n ≠ 0 , l = n

⇒ n an an

n n n

n

n n

a ⋅ = ⋅

+

− +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⋅

+ =

0 0 )

1 ( ) 1 (

1 2

1

Dies würde zulassen, a_n+1 ≠ 0 zu wählen und damit a_n+2 , a_n+3 ≠ 0 etc.

Forderung: l < n !

l = 0, 1, 2, ..., n-1 für akzeptable Lösungen

− 1

≤ n

l

0 5 10 15 20 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Radiale Wellenfunktionen n = 2 l = 0,1

radmitl2.opj

Rad20 Rad21

Radial density

Radius (Bohr units)

0 10 20 30 40 0.00

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.12 Radiale Wellenfunktionen n = 3 l = 0,1,2

radmitl3.opj

Rad30 Rad31 Rad32

Radial densit y

Radius (Bohr units)

0 10 20 30 40 50 60 0.00

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08 Radialfunktionen n = 4, l = 0,1,2,3

radmitl4.opj

Rad40 Rad41 Rad42 Rad43

Radial densit y

Radius (Bohr units)

9.4 Zusammenfassung

Es existieren physikalisch akzeptable Lösungen für den Realteil nur dann, wenn:

2 2 Ryd 2

eV 6 . 13 1

n n

E E

n ⁿ

n = − = − ≅ −

ε

n: Hauptquantenzahl

Zu jedem n existieren verschiedene Radialanteile mit l= 0,1,...,n-1. l ist die Drehimpulsquantenzahl.

Im Winkelanteil existieren zu jedem l 2l+1 verschiedene Funktionen mit m = -l, -l+1,...,l m ist die magnetische Quantenzahl.

In der üblichen atomaren Notation bezeichnet man die Drehimpulsquantenzahl l= 0,1,...,n-1 mit Buchstaben (atomares Alphabet)

i,j,k,...

h g

f d

p

Bezeichnung

s

6,7,8,...

5 4

3 2

1 0

l

) , (ϑ ϕ

m

Yl

Das Termschema des Wasserstoffatoms zeichnet man oft nach den Drehimpulsen aufgelöst.

l = 0 s l = 1 p l = 2 d l = 3 f

-13.6 eV -3.4 eV -1.51 eV -0.85 eV

1 1 1

1

3 3

3

5

5 7

n = 1

n = 2

n = 3 n = 4

Atomare Termbezeichnungen: n l In der Form 1s, 3p, 4d etc.

Beim Wasserstoffatom sind alle

Energieniveaus für gleiches n entartet!

d.h. die Energie ist unabhängig von l !