Welches Verfahren ist geeignet?

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Funktionen

Gleichungssysteme

Diese Skizze ist aus Leonardo da Vincis Tagebuch aus dem Jahre 1492 und zeigt wie sehr sich Leonardo für Proportionen am Menschen interessierte. Ob er den Text von Vitrivius (römischer Architekt, 1. Jhd. BC) kannte ist nicht bekannt. „Ferner ist natürlicherweise der Mittelpunkt des Körpers der Nabel. Liegt nämlich ein Mensch mit gespreizten Armen und Beinen auf dem Rücken, und setzt man die Zirkelspitze an der Stelle des Nabels ein und schlägt einen Kreis, dann werden von dem Kreis die Fingerspitzen beider

Hände und die Zehenspitzen berührt. Ebenso, wie sich am Körper ein Kreis ergibt, wird sich auch die Figur eines Quadrats an ihm finden. Wenn man nämlich von den Fusssohlen bis zum Scheitel Mass nimmt und wendet dieses Mass auf die ausgestreckten Hände an,

so wird sich die gleiche Breite und Höhe ergeben, wie bei Flächen, die nach dem Winkelmass quadratisch angelegt sind.“

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Funktionen: Gleichungssysteme Seite 3 www.mathema.ch

Aufgabe 5: Löse diese Gleichungssysteme und zeichne die Funktionsgrafen dazu.

a) I 2x y 3 II 4x y 0

− = − + =

L = ………

Das System hat ………..

………

Die Geraden ………..

………

b) I 2x y 3 II 2x y 4

− = −

− =

L = ………

………

c) I 2x y 3 II 4x 2y 6

− = −

L = ………

………

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(5)

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Welches Verfahren ist geeignet?

Aufgabe 10:Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.

a) ^{x 5y 12} x 3y 20

= −

= − + b) ^{4x 1 4y} 4x 5y 10

= −

= + c) ^{x y 11x 16} x y 3x 4

+ = +

+ = − d)

2 3

5 5

6 2

x y 2

x y

− =

− = − Aufgabe 11:Löse das Gleichungssystem mit der Einsetzmethode.

a) ^{5x 2y} ² y 3x

− = −

= b) ^{4x y 10} 11x 3y 39

− =

+ = c) ^{x 5y 12} 2x 3y 10

= −

− = − d) ^{2x 11y 57} x 3y 14

+ =

− = − Aufgabe 12:Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

a) ^{x y} ² x y 10 + = −

− = b) ^{2x 5y 6} 3x 5y 1

− =

− = − c) ^{4x 9y 11} x 8y 3

− =

− + = d) 10x 11y 5 0 12x 13y 7 0

+ + = + + = Aufgabe 13:Wähle selber das beste Verfahren!

a) ^{2x 4y 12} x y 15

− =

+ = b) ^{x 5y 9} x 2y 16

− =

+ = c) ^{x 4y 0} 5x 2y 11

− =

+ = d) ⁻ ^{= +}

+ = 10x 10y y 57

5x 2y 126

e) 3x 50 6x 5y 2y 10 3x 2y

+ = +

+ = + f)

x 3 y 10

2

x 2 y 10

3

− = −

− = + g) ^{11y 6 9x} 9x 2x 13y 10

− =

= + − h)

6x x y 41x 10

x y

6

= +

= + −

i) ^{x 5x 7y 9} y 5x 7y 9

= − +

= − + k)

( )

3 2y 3 2x 7y

4 x 2 5x 3y

+ = + + = −

Aufgabe 14: Nun hat es auch Parameter im Gleichungssystem!

a) ^{ax 4y 2} ax 2y 8

− =

+ = b) ^{x 6y w} 2x 8y 10

+ =

− = c) ^{x a y 1} a x 6

+ ⋅ =

⋅ =

Aufgabe 15: Nun wird’s noch schwieriger. Wählst Du das beste Verfahren, so geht es jedoch schnell!

a)

x y 4y 10

2 3

5 y x y 2 + + =

− = +

b) ^{y 2x} x y 6a

=

+ = c) ^{ax by c} y mx

+ =

=

d) ^{ax by ab} cx by bc

− =

− = e) ₂ ₂

2 2

x y 1

a b a b

x y a b

a b a b a b

+ =

+ −

− = +

+ − −

f) x y a b c d x y c d a b

+ = +

− = −

g) ^{x cy 1}₂ x y c

− = + =

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3. Nicht-lineare Gleichungssysteme

Manchmal sind Gleichungssysteme nicht linear. Im Allgemeinen können wir diese nicht lösen. Es gibt jedoch Fälle, wo wir die Lösungen finden können:

Scheinbar nicht-lineare Gleichungssysteme

Das folgende Gleichungssystem ist nicht-linear:

( )

2 2

x 4 2y x 16 I

II 4x 3y 16x 12 + + - =

- - =

Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen der beiden Gleichungen (I) und (II) finden wir:

I ...

II ...

¢

I ...

II ...

¢¢

Dieses System ist linear und wir können die Lösung finden:

………

 L = {( ……|…… )}

Solche Gleichungssysteme stellen kein neues Problem dar, da sie sich auf lineare Gleichungssysteme reduzieren lassen.

Aufgaben

Aufgabe 16:Vereinfache die Gleichungen zuerst:

a) I (x 5)(y 2) (x 2)(y 1) II (x 4)(y 7) (x 3)(y 4)

+ − = + −

− + = − + b)

+ = −

− = −

1 2

I 2x 5 3y 1

5 1

II 4x 3 6y 1

c)

+ = +

+ −

− = +

− −

x 30 y 1

I x 15 y 2

x 17 x 7

II y 3 y 9

d)

x 4

I x 2 y 1

x y

1 1

II 2 3

y x

− − =

=

+ −

(9)

Echte, nicht lineare Gleichungssysteme

Das folgende Gleichungssystem kann nicht auf ein lineares System reduziert werden:

I x y 0 II x y 28

⋅ = + =

Im Allgemeinen können wir solche Gleichungssysteme nicht lösen. Für dieses System hier im speziellen finden wir jedoch eine Lösung. Da das Produkt x y 0⋅ = , gilt:

 x = …… oder y = ……

Aus der Gleichung (II) folgt für die beiden Fälle:

 y = …… oder x = ……

Die Lösungsmenge ist also:

 L = {(……|……),(……|……)}

Aufgaben

Aufgabe 17:Diese Gleichungssysteme sind nicht linear. Du kannst sie manchmal mit diesem Trick oder in anderen Fällen einfach durch das Einsetzverfahren lösen.

a) ^{I x} ^y ²⁰ II x y 0

+ =

⋅ = b) ^{I x y 12} ⁰ II x y 0

+ - =

⋅ =

c) ^{I x y}² ¹²

II x y 8

+ =

+ = − d)

2 2

I x y

2 2 149

2x 2y 40

II

+ = + =

e) ^I ^x² ^y² ³ II x 4 y 0

- =

+ - = f) ^I ^x² ^y² ³ II x 4 2y 0

- = + - =

g) ^{I x}² ^y² ²

II x y 6

− =

+ = h)

2 2

I x 21 x

16 y

y

II y x 1

= - - =

(10)

Linearisierung durch Substitution

In einigen Spezialfällen können wir auch für nicht-lineare Gleichungssysteme Lösungen finden.

Gewisse Systeme lassen sich durch Substitution auf ein lineares System zurückführen. Das Wort Substitution bedeutet ersetzen. Wir ersetzen also bestimme Ausdrücke durch neue Variablen:

2 2

I 2x y 9

II 3x y 11

+ = - + = -

Wir ersetzen (substituieren) die beiden Unbekannten durch X = x² und Y = y²

I ...

II ...

¢

Dieses Gleichungssystem ist in X und Y linear. Wir berechnen also X und Y:

……… ………

X = ……….. Y = ………..

Für die beiden ursprünglichen Unbekannten x und y gilt also:

x = ……….. y = ………..

Die Lösungsmenge ist:

L = {(……|……), (……|……),(……|……),(……|……)}

Aufgaben

Aufgabe 18: Löse das Gleichungssystem:

a) =

2 2

5x 2y 77

7x 3y 111

+ =

+ b) ^6x²₂ ^{7y 59}²₂⁼

9x 5y 11

+

− =

Aufgabe 19: Löse mithilfe einer geeigneten Substitution:

a)

1 1 17

x y

1 1 1

x y + =

− =

b) ^{3xy 7y 5} 5xy 3y 12

− =

+ = c)

x y

y 8 x 4 10

x y 4

y 8 x 4

+ =

− −

− =

− −

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