Im Folgenden finden Sie den Text der am 28.7.2010 geschriebenen Theorie D-Klausur, sowie L ¨osungen zu den einzelnen Aufgaben.

Im Folgenden finden Sie den Text der am 28.7.2010 geschriebenen Theorie D-Klausur, sowie L ¨osungen zu den einzelnen Aufgaben.

Diese L ¨osungen sind unter Umst¨anden nicht vollst¨andig oder per- fekt, und sie enthalten nicht alle Details zur Vergabe der Punkten.

Wenn Sie Fragen zu den L ¨osungen oder der Bewertungen Ihrer

Klausur haben, stehen wir Ihnen zu Einnsicht-/Besprechungsterminen

zur Verf ¨ugung, deren genaue Daten wir demn¨achst auf der Web-

seite der Vorlesung ver ¨offentlichen werden.

Stand: 29. Juli 2010 12:00

Klausur zur Vorlesung Theorie D – Quantenmechanik I im SS 2010 Prof. Dr. M. M ¨uhlleitner, Dr. H. Sahlmann

Name:

Matrikelnummer:

Ich studiere im

: BSc-Studiengang Physik : BSc-Studiengang Meteorologie/Geophysik : Diplomstudiengang Physik :

Von Aufsicht/Korrektor auszuf ¨ullen: Bearbeitet von Uhr bis Uhr

K1 K2 K3 K4 P

:Bestanden : Nicht bestanden Note:

Hinweise:Sie haben zur Bearbeitung der Aufgaben zwei Stunden Zeit. Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei Seiten eines DIN A4 Blattes mit handschriftliche Notizen sowie ein W ¨orterbuch. Sie k ¨onnen insgesamt 20 Punkte erreichen. Beachten Sie weiterhin:

• F ¨ullen Sie die obigen Felder dieses Deckblattes aus, und legen Sie Ihren Lichtbild- ausweis auf Ihren Tisch.

• Sie d ¨urfen nur das von uns zur Verf ¨ugung gestellte Papier verwenden. Dies gilt auch f ¨ur Kladden.

• Lesen Sie die Aufgabenstellungen genau durch. Fragen Sie nach, wenn Sie eine Aufgabenstellung nicht verstehen.

• Geben Sie eine Herleitung f ¨ur Ihre Ergebnisse an. Ergebnisse ohne Herleitung werden nicht gewertet.

• Schreiben Sie leserlich, und geben Sie Ihren Namen auf allen Bl¨attern an, die Sie abgeben.

• Nach dem Austeilen der Aufgabenbl¨atter bis zum Ende der Klausur darf kein Pr ¨ufling den H ¨orsaal verlassen, ohne zuvor s¨amtliche Unterlagen (insbesondere auch das Aufgabenblatt!) abgegeben zu haben. Beim Austreten (nur ein Student zur Zeit) notieren wir die Uhrzeit auf dem Deckblatt und ziehen alle bis dahin be- schriebenen Bl¨atter ein. Beim Wiedereintritt stellen wir neues Bearbeitungspapier und ein neues Aufgabenblatt zur Verf ¨ugung.

Wir w ¨unschen Ihnen viel Erfolg.

Aufgabe K1- Formalismus (4 Punkte)

(a) Sei H ein hermitescher Operator undψ, ψ⁰ zwei Eigenzust¨ande von H, ψ zum EigenwertE,ψ⁰ zum EigenwertE⁰. Es gelteE6= E⁰. Zeigen Sie, dasshψ|ψ⁰i= 0. (2 Punkte)

(b) Der TranslationsoperatorT_a~ auf quadratintegrablen Ortswellenfunktionen (d.h.

aufL²(R³,d³x)) ist definiert durch

(T_a~ψ)(~x) :=ψ(~x−~a), (1) wobei ~aein fester Vektor aus R³ ist. Ausgehend von (1), berechnen Sie T_a~^† und

zeigen Sie:T_~aist unit¨ar. (2 Punkte)

L ¨osung:

(a)GegebenΨ, Ψ⁰mit

HΨ=EΨ, HΨ⁰ =E⁰Ψ⁰, E⁰ 6=E undHhermitesch. Dann ist

EhΨ|Ψ⁰i=hHΨ|Ψ⁰i=hΨ|HΨ⁰i=E⁰hΨ|Ψ⁰i.

Somit

0= (E−E⁰)hΨ|Ψ⁰i

Nach Voraussetzung istE−E⁰ 6=0und somithΨ|Ψ⁰i=0, was zu zeigen war.

(b)Wir berechnen f ¨ur zwei beliebige Zust¨andeΨ, Ψ⁰: hΨ|T_~aΨ⁰i=

Z

d³x Ψ(~x) T_~aΨ⁰ (~x)

= Z

d³x Ψ(~x)Ψ⁰(~x−~a)

= Z

d³x Ψ(~x+~a)Ψ⁰(~x)

= Z

d³x T_−~aΨ

(~x)Ψ⁰(~x)

=hT_−~aΨ|Ψ⁰i.

Damit haben wir gezeigt, dassT_~a^†=T_−~a. Nun ist aber

T_~a^†T_~aΨ

(~x) = (T_−~aT_a~Ψ) (~x) =Ψ(~x−~a+~a) =Ψ(~x)

f ¨ur einen beliebigen ZustandΨ. SomitT_~a^†T_~a = Iund wir haben gezeigt, dassT_~aunit¨ar ist.

Aufgabe K2- Wasserstoff-Wellenfunktionen (5 Punkte)

Die normierten Wasserstoff-Eigenfunktionenϕ_nlmlassen sich als

ϕ_nlm(r, θ, φ) =R_nl(r)Y_l^m(θ, φ) (2) schreiben, wobeiR_nl die sogenannte Radialfunktionen undY_l^m die Kugelfl¨achenfunk- tionen sind. Wir betrachten die Wellenfunktion

Ψ(r, θ, φ) =CR_{3 2}(r)(Y₂⁰(θ, φ) +2Y₂²(θ, φ)), (3) wobeiCeine reelle Normierungskonstante ist.

(a) Bestimmen SieCso, dassΨnormiert ist. (ein Punkt) (b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Energie, des Drehimpulsquadrats, und

der Drehimpulsz-Komponente. (ein Punkt)

(c) Eine Messung der Energie wird im Zustand Ψdurchgef ¨uhrt. Welches sind die m ¨oglichen Messwerte, und mit welcher Wahrscheinlichkeit treten Sie auf? Be- stimmen Sie ebenso die m ¨oglichen Messwerte und ihre Wahrscheinlichkeiten f ¨ur das Drehimpulsquadrat, und die Drehimpulsz-Komponente (3 Punkte) L ¨osung:

(a)Wir beobachten zun¨achst, dass wir die in der Aufgabenstellung gegebene Wellen- funktion als

Ψ=C[ϕ_{3 2 0}+2ϕ_{3 2 2}]

schreiben k ¨onnen. ϕ_{3 2 0} und ϕ_{3 2 2} sind normiert und orthogonal zueinander, daher finden wir

kΨk² =hΨ|Ψi=|C|²(1+4) =5|C|²

WennΨnormiert sein soll, muss also|C|² =1/5. In der Aufgabenstellung istCals reel angegeben. Wir w¨ahlen die positive L ¨osungC=1/√

5.

(b)Energie ist repr¨asentiert durch HamiltonoperatorH, Drehimpulsquadrat durch~L², Drehimpulsz-Komponente durchL₃, wobei~Ldie Drehimpulsoperatoren bezeichnet.Ψ ist ein Eigenvektor vonHund~L², da sowohlϕ_{3 2 0} als auchϕ_{3 2 2}Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert vonHund~L²sind:

HΨ=E₃Ψ= −E_I n² = −1

9 1

2α²m_ec²Ψ

~L²Ψ=2(2+1)h¯² =6h¯² SeiCwie in (a) gew¨ahlt. Dann ist also

hHi_Ψ= −1

9α²m_ec², h~L²i_Ψ =6h¯². Weiterhin berechnen wir

L₃Ψ=C(0hϕ¯ _{3 2 0}+2·2hϕ¯ _{3 2 2}) =4hCϕ¯ _{3 2 2}. Somit

hL₃i_Ψ=hΨ|L₃Ψi=4hC¯ ²(hϕ_{3 2 0}|ϕ_{3 2 2}i+2hϕ_{3 2 2}|ϕ_{3 2 2}i) = 8 5h.¯

(c)A priori sind die m ¨oglichen Messwerte durch die Eigenwerte des jeweiligen Opera- tors gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch den Erwartungswert des Pro- jektionsoperators auf den jeweiligen Eigenraum. Wir betrachten zun¨achstH. M ¨ogliche Messwerte sind die EigenwerteE_n= −α²m_ec²/(2n²). Allerdings istΨselber ein Eigen- vektor vonH(zum EigenwertE₃). Daher sind die Erwartungswerte der Projektoren auf die Energieeigenr¨aume alle Null, ausser dem zum EigenwertE₃. Dieser hat nat ¨urlich den Erwartungswert 1. Es wird bei einer Messung also sicherlich der WertE₃ gemes- sen.

Wir betrachten nun den Operator~L²: Wiederum istΨein Eigenzustand dieses Opera- tors (zum Eigenwert6h¯²). Daher wir dieser Wert mit Warhscheinlichkeit1gemessen.

Zum Schluss betrachten wir den OperatorL₃. Sei einm∈Zgegeben. Der Projektor auf den Eigenraum zum Eigenwertm¯hist gegeben durch

P= X

n,lkompatibel mitm

|ϕ_nlmihϕ_nlm|

und somit

Wahrscheinlichkeit(m) =hPi_Ψ

= X

n,lkompatibel mitm

|ϕ_nlmihϕ_nlm||hΨ|ϕ_nlmi|²

=C²δ_l,2δ_n,3δ_m,0+4C²δ_l,2δ_n,3δ_m,2.

Mit anderen Worten: Es k ¨onnen nur die Messwerte0¯hund 2¯h auftreten, und die ent- sprechenden Wahrscheinlichkeiten sind 1/5 und 4/5.

Aufgabe K3- Spin im Magnetfeld (6 Punkte)

Wir betrachten ein Elektron (mit Spin 1/2) in einem konstanten Magnetfeld ~B. Wir ignorieren die Ortswellenfunktion des Teilchens und setzen daher den Hilbertraum alsH=C²an. Der Hamilton-Operator ist gegeben durch

H= e

m_e~S·~B (4)

wobeiS_j =hσ¯ _j/2mit den Pauli-Matrizen σ₁ =

0 1 1 0

, σ₂=

0 −i i 0

, σ₃ =

1 0 0 −1

, (5)

edie Elementarladung undm_e die Elektronenmasse ist.

(a) Legen Sie die Koordinaten so, dass~B = B~e_z, d.h. parallel zur z-Achse, und be- stimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren vonH. (ein Punkt) (b) Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren derx- undy-Komponente des Spins.

Verwenden Sie zur Angabe der Eigenvektoren die Basis, in derS₃ diagonal ist.

(2 Punkte)

(c) Das Magnetfeld sei wie in (a) parallel zurz-Achse. Das Teilchen befinde sich zur Zeitt = 0 im Eigenzustand vonS_x mit Eigenwert ¯h/2. Berechnen Sie die Zeit- entwicklung dieses Zustandes, sowie die Wahrscheinlichkeit, bei einer entspre- chenden Messung zur Zeitt= T, den Spin parallel zu~e_x(dem Einheitsvektor in

x-Richtung) zu finden. (3 Punkte)

L ¨osung:

(a)F ¨ur die gew¨ahlten Koordinaten ist~B=B~e_zund somit H= eB

m_eS₃. Aus

S₃= 1 2h¯

1 0 0 1

sieht man sofort, dass die m ¨oglichen Eigenwerte vonHdurch E_±:=± eB

2m_e

gegeben sind. Die zugeh ¨origen Eigenvektoren sind z.B.

v⁽³⁾₊ = 1

√ 2

1 0

, v⁽³⁾₋ = 1

√ 2

0 1

.

(b) Was die Eigenwerte von S₁ und S₂ angeht, so kann man entweder argumentie- ren, dass diese Operatoren durch Rotationen ausS₃hervorgehen und diese Rotationen unit¨ar implementiert sind, die Eigenwerte also nicht ¨andern. Oder man kann wie folgt direkt rechnen:

det(σ1−λI) =λ²−1=^! 0 =⇒ λ=±1 det(σ₂−λI) =λ²−1=^! 0 =⇒ λ=±1.

In jedem Fall erh¨alt man also die m ¨oglichen Eigenwerte±¯h/2.

Die Eigenvektoren berechnen wir wie folgt: Offensichtlich sind die Pauli-Matrizen schon in der gew ¨unschten Basis angegeben, daσ₃ diagonal ist. Zun¨achst f ¨urσ₁:

0 1 1 0

a b

= a

b

⇐⇒ a=b also z.B.

v⁽¹⁾₊ = 1

√2 1

1

normierter Eigenvektor vonS₁ zum Eigenwert ¯h/2. Genauso 0 1

1 0 a b

= − a

b

⇐⇒ a= −b also z.B.

v⁽¹⁾₋ = 1

√ 2

1

−1

normierter Eigenvektor vonS₁ zum Eigenwert−¯h/2. F ¨urσ₂ finden wir 0 −i

i 0 a b

= a

b

⇐⇒ ia=b also z.B.

v⁽²⁾₊ = 1

√ 2

1 i

normierter Eigenvektor vonS₂ zum Eigenwert ¯h/2. Genauso 0 −i

i 0 a b

= − a

b

⇐⇒ a=ib also z.B.

v⁽²⁾₋ = 1

√ 2

1

−i

normierter Eigenvektor vonS₂ zum Eigenwert−h/2¯ .

(c)Der Zeitentwicklungsoperator ist gegeben durchU(t) =exp(−itH/¯h). Es empfiehlt sich also, in einer Eigenbasis vonHzu rechnen. DaH∝S₃ist die Basis aus (b) geeignet.

Laut Aufgabenstellung ist das Teilchen zur Zeitt=0im Zustand v⁽¹⁾₊ = 1

√

2(v⁽³⁾₊ +v⁽³⁾₋ ) (6) wobei wir mitv⁽³⁾_± die Eigenvektoren vonS₃bezeichnet haben. Es ist also

Ψ(t) =U(t)v⁽¹⁾₊ = 1

√ 2

e^−itωv⁽³⁾₊ +e^itωv⁽³⁾₋

mit

ω= eB 2m¯h. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist

P=

hΨ(T)|v¹₊i

2

= 1 4

he^−iTωv⁽³⁾₊ +e^iTωv⁽³⁾₋ |v⁽³⁾₊ +v⁽³⁾₋ i

2

= 1 4

e^iωT +e^−iωT

2

= 1

4|2cos(ωT)|²

=cos²(ωT).

Aufgabe K4- Potentialstufe (5 Punkte)

Wir betrachten ein Teilchen der Massemin einer Dimension, in einem Potential V(x) =

V₀ f ¨urx > 0

0 f ¨urx≤0, (7)

wobeiV₀ ∈R.

(a) Finden Sie den Hamiltonoperator f ¨ur das Teilchen, und zeigen Sie, dass die stati- on¨are Schr ¨odingergleichung zur EnergieEf ¨ur eine Wellenfunktionψ ¨aquivalent zu "

d²

dx² +ϑ(x)

#

ψ(x) =0 (8)

ist, wobeiϑ(x) =2m(E−V(x))/h¯². (2 Punkte) Im Folgenden suchen eine L ¨osung, die einer von links einfallenden Welle (mit Einheits- amplitude) entspricht. Dazu setzen wir an:

ψ(x) =

Ae^ik>x f ¨urx > 0

e^ik<x+Be^−ik<x f ¨urx < 0 (9) wobeik_<,k_>(mitk_<> 0,k_>> 0) ,AundBnoch zu bestimmende Parameter sind.

(b) Nehmen SieE > V₀ undE > 0an und bestimmen Siek_<undk_>so, dass obiges ψ(8) in den Bereichenx > 0undx < 0l ¨ost. (ein Punkt) (c) Bestimmen Sie nun die ParameterAundB, indem Sie Stetigkeit und Differenzier-

barkeit vonψfordern. (ein Punkt)

(d) Bestimmen Sie die Reflektionsamplitude der Potentialstufe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Teilchen an der Potentialstufe reflektiert wird.

(ein Punkt) L ¨osung:

(a)Der Hamiltonoperator ist gegeben durch H= 1

2mP²+V(X)

wobeiP =h/i ∂¯ _xder Impuls- undX=xder Ortsoperator sind. Die station¨are Schr ¨odingergleichung istHΨ=EΨ. Wir schreiben aus und formen um:

HΨ=EΨ

⇐⇒ 1

2m(−i¯h)² d²

dx² +V(x)

!

Ψ(x) =EΨ(x)

⇐⇒ d²

dx² − 2m

¯ h² V(x)

!

Ψ(x) = −2mE

¯

h² Ψ(x)

⇐⇒ d²

dx² −2m(E−V(x))

¯ h²

!

Ψ(x) =0

⇐⇒ d²

dx² −ϑ(x)

!

Ψ(x) =0

wie in der Aufgabenstellung angegeben.

(b)F ¨urx < 0haben wir d²

dx²Ψ= (ik_<)²e^ik<x+B(−ik_<)²e^−ik<x= −k²_<Ψ.

Um die station¨are Schr ¨odingergleichung zu erf ¨ullen, brauchen wir also k²_<=^! ϑ(x) = 2mE

¯ h² f ¨urx < 0, also

k_<=±

r2mE

¯ h²

Wir w¨ahlen die positive L ¨osung (siehe auch Aufgabenstellung), da wir dann eine ein- laufende Welle mit Einheitsamplitude haben.

F ¨urx > 0ergibt eine v ¨ollig analoge Rechnung k_> =p

2m(E−V₀)h¯²

wobei wir wiederum das (in der Aufgabenstellung geforderte) positive Vorzeichen gew¨ahlt haben, da wir keine von rechts einlaufende Welle haben wollen.

(c)Die Forderung von Stetigkeit beix=0f ¨uhrt aufA= 1+B. Differenzierbarkeit bei x=0gibt

Aik_>=ik_<−Bik_>. Es folgt

ik_>+Bik_>=ik_<−Bik_<

⇐⇒ B(k_<+k_>) =k_<−k_>

⇐⇒ B= k_<−k_>

k_<+k_>. Damit finden wir f ¨urA:

A=1+B=1+ k_<−k_>

k_<+k_> = 2k_<

k_<+k_>.

(d)Die Reflektionsamplitude (Verh¨altniss einlaufender zu reflektierter Amplitude) ist einfachB. Die Reflektionswahrscheinlichkeit ist also

P =|B|² = (k_<−k_>)²

(k_<+k_>)² =1−4 k_<k_>

(k_<+k_>)².