ck Summation der P k → kRD k=0 d3k P k → R∞ k=0 d3k Zust¨ande Integration kann bis ∞ Man erh¨alt das Stefan- Energieinhalt f¨ur ausgedehnt werden Boltzmann-Gesetz T →0 &lt

Erg¨anzungen zum 9. ¨Ubungsblatt WS 2010/2011 Aufgabe 1: Hohlraumstrahlung

Energieinhalt eines Bose-Einstein-Gases bei Raumtemperatur und bei tiefen Tem- peraturen unter Vernachl¨assigung der Nullpunktsenergie (s...Polarisationszweige):

< U >=^X

~k,s

¯ hω exp

¯hωs(~k) k_BT

−1

Festk¨orper Strahlungshohlraum (nur akust. ¨Aste)

Phononen: Photonen:

Quanten Quanten des Ionen- Quanten des auslenkungsfeldes Strahlungsfeldes Polarisations- 1 longitudinal 2 transversal

richtungen +2 transversal (s=3)

nur Zust¨ande Zahl der Zust¨ande Zahl der Zust¨ande innerhalb der 1. BZ ist unbegrenzt

haben phys. Bedeutung

nur in der Debye N¨ahe- Es gilt streng ein lin.

Dispersion rung gilt der lin. und und isotroper Zusam- isotrope Zusammenhang menhang

ω(~k) =vsk ω(~k) = ck

Summation der ^P

k → ^kRD

k=0

d³k ^P

k → ^R∞

k=0

d³k Zust¨ande

Integration kann bis ∞ Man erh¨alt das Stefan- Energieinhalt f¨ur ausgedehnt werden Boltzmann-Gesetz

T →0 < U >FK= ^3V_2π^(k2^BT)4

¯

h³v³_s · < U >SB= ^2V_2π^(k2^BT)4

¯ h³c³

Z∞

0

x³ e^x−1dx

| {z }

π⁴/15

Z∞

0

x³ e^x−1dx

| {z }

π⁴/15

<U >FK

V = ^π₁₀^2(k_(¯hv^BT_s)^{)34 <U >}_V^SB = ^π₁₅^2(k_(¯hc)^BT3)4 Energieinhalt bei

hohen T: < U >FK= 3N kBT < U >SB wie oben kBT >>¯hωD

1

Aufgabe 2: Zustandsdichte des Elektronengases

Dimensiond

1 2 3

Volumen im k-Raum

2π L

2π L

2

2π L

3

Zahl der Elektronen im Intervall (k, k+dk)→D_d^∗(k)dk

2 wegen Spin Kreisumfang 2πk Oberfl¨ache 4πk²

2· _2π/L^2dk = ^2L_π dk 2· _(2π/L)^2πkdk2 = ^L_π^2kdk 2_(2π/L)^4πk23dk = ^L_π^32k2dk noch eine 2

wegen |k|

Zustandsdichte in Abh¨angigkeit der Energie D_d^∗(E) =D^∗_d(k)_dE^dk

2L

π · _¯h^m2_k = ^2L_π ^m

¯

h²(^2mE¯h2 )^1/2

L²k

π · _¯h^m2_k = ^L_π¯²_h^{m2 L}_π^3k22 · _¯h^m2_k = ^L_π2³¯h^m2

2mE

¯ h²

1/2

D^∗₁(E) = ^L(2m)_π¯h^1/2E^−1/2 D₂^∗(E) = ^L2(2m)_2π¯h^22/2E⁰ D₃^∗(E) = ^L3_2π^(2m)2¯h^33/2E^1/2 Zustandsdichte pro Volumeneinheit des OrtsraumesD_d(E) =D_d^∗(E)/L^d D1(E) = ^(2m)_π¯h^1/2√1_E D2(E) = _π¯^m_h² D3(E) = ^(2m)_2π2¯h^3/32

√E

Fermiwellenvektor kF(T = 0) 2· _2π/L^2kF = ^2L_π kF !

=N 2·_(2π/L)^{πk2F 2} = ^L_2π²k²_F =^! N 2·

4 3πk³_F

(2π/L)³ = _3π^L32k³_F =^! N k_F = _2L^Nπ = ^π₂n k_F =^N_A2π^1/2 = (2πn)^1/2 k_F = (3π²n)^1/3

Fermienergie EF = ^¯h

2k²_F

2m (T = 0)

EF = _2m^{¯h2 π}₄²n² EF = _2m^¯h22πn EF = _2m^¯h2(3π²n)^2/3

⇒EF = ^¯h_8m^2π2n² ⇒EF = ^¯h_m^2πn

Zustandsdichte bei EF und n bei T = 0 D1(EF) = ^(2m)_π¯h^1/2 · ^(8m)_¯hπn^1/2 D2(EF) = ²_2Eⁿ

F D3(EF) = ^(2m)_2π2¯h^3/32

¯h² 2m

1/2

(3π²n)^1/3

⇒D1(EF) = ¹_2Eⁿ

F ⇒D3(EF) = ³_2Eⁿ

F

2