|ψn(λ>0)i⊥|ψ(0)n i Einsetzten in S-Glg

2) Störungstheorie und Variationsverfahren Burgd. 9 oder was tun, wenn die S-Glg. nicht exakt lösbar ist Schwabl 11

Ziel

Herleitung und Anwendung vonNäherungsmethoden zur Lösung der Schödinger-Glg.

2.1) Zeitunabhängige Störungstheorie (Rayleigh-Schrödinger)

Idee

Zerlegezeitunabh. Hamiltonian H in einfachen TeilH₀mit bekannten EW und EF:H₀|ψ⁽⁰⁾_n i=n|ψ_n⁽⁰⁾i

und möglichst kleinen Stör-TermλV:

H(λ) =H₀+λV (1)

Gesucht:

nter EigenwertE_n(λ)und Eigenfunktion|ψ_n(λ)izuH(λ)

H(λ)|ψ_n(λ)i=En(λ)|ψ_n(λ)i (2) Idee

Störungsreihe (Taylor-Entwicklung) von|ψ(λ)iund E(λ) fürλ1zum EW n:

|ψ_n(λ)i=|ψ_n⁽⁰⁾i+λ|ψ_n⁽¹⁾i+λ²|ψ_n⁽²⁾i+· · · (3) En(λ) =E_n⁽⁰⁾

|{z}n

+λE_n⁽¹⁾+λ²E_n⁽²⁾+· · · (4)

O.b.d.A.: Wähle Normierung von|ψ(λ)i, so dass|ψ_n^(λ>0)i keinen Anteil mehrparallel|ψ⁽⁰⁾_n ihat, d.h. |ψ_n^(λ>0)i⊥|ψ⁽⁰⁾_n i Einsetzten in S-Glg. (2) s.

Einsetzten in S-Glg. (2) liefert in Ordnungλⁿs.

λ⁰: H₀|ψ_n⁽⁰⁾i=E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽⁰⁾i (5) λ¹: H₀|ψ_n⁽¹⁾i+V|ψ⁽⁰⁾_n i=E_n⁽¹⁾|ψ⁽⁰⁾_n i+E_n⁽⁰⁾|ψ⁽¹⁾_n i (6) λ²: H₀|ψ_n⁽²⁾i+V|ψ⁽¹⁾_n i=E_n⁽²⁾|ψ⁽⁰⁾_n i+E_n⁽¹⁾|ψ⁽¹⁾_n i+E_n⁽⁰⁾|ψ_n⁽²⁾i(7) Nehmen wir an, dassn 6=m ∀n,m; für diesen Fall s. 2.2).

Projektion aufhψ_m⁽⁰⁾|fürλⁱ liefert s.

1. Ordnung inλ:

E_n⁽¹⁾ =hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ⁽⁰⁾_n i

| {z }

Vnn

(8)

|ψ_n⁽¹⁾i=

∞

X

m(6=n)=0

1

_n−_m|ψ⁽⁰⁾_m i hψ⁽⁰⁾_m |V|ψ_n⁽⁰⁾i

| {z }

Vmn

(9)

2. Ordnung inλ:

E_n⁽²⁾=

∞

X

m(6=n)=0

hψ_n⁽⁰⁾|V|ψ⁽⁰⁾_m ihψ_m⁽⁰⁾|V|ψ⁽⁰⁾_n i n−m

(10)

Bemerkungen

Die Grundzustandsenergie (n=0) wird in 2. Ordnung immer reduziert

Statt bei der2. Ordnunginλabzubrechen, können wir natürlich zu höheren Ordnungen analog gehen

Selbst wennE(λ),|ψ⁽⁰⁾_n inicht analytisch inλ, erhält man oft gute Ergebnisse für kleinesλ(asymptotische Reihe;

z.B.gFaktor des Elektrons)

Entartete Störungstheorie

2.2) Entartete Störungstheorie übliche Störungstheorie:

E_n⁽²⁾=

∞

X

m(6=n)=0

hψ⁽⁰⁾_n |V|ψ_m⁽⁰⁾ihψ_m⁽⁰⁾|V|ψ_n⁽⁰⁾i n−m

(10)

funktioniert nicht fürn=m

Einfacher Ausweg:

Wähle Basis, so dasshψ˜_n⁽⁰⁾|V|ψ˜_m⁽⁰⁾i ∼δnmin allen Unterräumen mit entarteten Energien_n =_m.

Achtung i.A.[H₀,V]6=0 und damit kein gemeinsames System von EF; aberH₀=_n1in den entarteten Unterräumen.

Entartete Störungstheorie

Daraus folgen große Korrekturen (Basis-Wechsel!) Korrekturen in1. Ordnung

(i.A. Aufhebung der Entartung)

E˜_n⁽¹⁾ =hψ˜_n⁽⁰⁾|V|ψ˜⁽⁰⁾_n i (11) und gewohnte Korrekturen in2. Ordnung

E˜_n⁽²⁾=

∞

X

m=0(m6=n)

hψ˜⁽⁰⁾_n |V|ψ˜⁽⁰⁾_m ihψ˜⁽⁰⁾_m |V|ψ˜_n⁽⁰⁾i n−m

(10) (12)

Entartete Störungstheorie

Beispiel

Stark-Effekt s. (Kap. 2.3)

relativistische Korrekturen (Feinstruktur) des Wasserstoff-Problems s. (Kap. 2.4) u.

Zeeman-Effekt s.

Kristallfeld-Aufspaltung s.

Ritzsches Variations-Prinzip

2.5) Ritzsches Variations-Prinzip

hψ|H|ψi = X

n

hψ|nihn|H|ψi=X

n

hψ|nihn|E_n|ψi (13)

≥ E₀X

n

hψ|nihn||ψi=E₀hψ|ψi (14)

Zusammenfassung

Variations-Prinzip|ψ(λ)ials Fkt. eines (mehrerer) Param.λ

⇒Abschätzung: E₀≤min_λ hψ(λ)|H|ψ(λ)i hψ(λ)|ψ(λ)i

Minimierung via _δλ^δ hψ(λ)|H|ψ(λ)i hψ(λ)|ψ(λ)i

=! 0

Anwendungen:Näherungsrechnungenundexakte Beweise

Zeitabhängige Störungstheorie

2.6) Zeitabhängige Störungstheorie

SeiH₀zeitunabh., ungestörterHamiltonian:H₀|ψ_ni=E_n|ψ_ni Zum Zeitpunktt=0schalten wirStörtermV(t)ein:

H(t) =H₀+V(t) (15)

Fürt<0ist das System im “initial state”|ψ_i(t)i i.d.R. ein Eigenzustand vonH₀:|ψ_i(t =0)i=|ψ_mi Ziel

Wellenfunktion zum Zeitpunktt:|ψ(t)i

oder“final state”nachWirkung vonV(t): |ψ_fi

oderWahrscheinlichkeit es im Eigenzustand|ψ_nizu finden.

Zeitabhängige Störungstheorie

Wechselwirkungs-Bild(s. Kap. 1.4):

|ψ_I(t)i=e^iH0t/~|ψ(t)i ; i~∂

∂t|ψ_I(t)i= V_I(t)

| {z }

e^iH0t/~V(t)e^−iH0t/~

|ψ_I(t)i

Integrationvon0bistliefert:

|ψ_I(t)i=|ψ_I(0)i+ 1 i~

Z t

0

dt⁰V_I(t⁰)|ψ_I(t⁰)i (16) oder für denZeitentwicklungs-Operator(|ψ_I(t)i=U_I(t)|ψ_I(0)i)

U_I(t)=1+ 1 i~

Z t

0

dt⁰V_I(t⁰)U_I(t⁰) (17) Achtung:

U_I(t)wegen[V_I(t),V_I(t⁰)]6=0 keine (normale) Exp-Fkt.

Zeitabhängige Störungstheorie

Zurück zu

|ψ_I(t)i=|ψ_I(0)i+ 1 i~

Z t

0

dt⁰V_I(t⁰)|ψ_I(t⁰)i Iteratives Einsetzen ergibt Reihe:

|ψ_I(t)i = |ψ_I(0)i+ 1 i~

Z t

0

dt⁰V_I(t⁰)|ψ_I(0)i + 1

(i~)² Z t

0

dt⁰ Z t⁰

0

dt⁰⁰V_I(t⁰)V_I(t⁰⁰)|ψ_I(0)i· · ·(18) (von Neumann-Reihe; i.F. nur1. OrdnunginV_I(t)d.h. 1. Zeile)

Zeitabhängige Störungstheorie

1. OrdnunginV_I(t)liefert

für konst. StörungV (S.-Bild) von0bist s.

Zusammenfassung Fermis Goldene Regel

Übergänge zu diskreten Zuständen:

W_fi = 2π

~²δ( ω_fi

|{z}

(f−_i)/~

)|hψ_f|V|ψ_ii|² (19)

Übergänge zu kontinuierlichen Zuständen:

W_fi = 2π

~ ρ(i)

| {z } Zustandsdichte

|hψ_f|V|ψ_ii|² (20)

ÜbergangsrateW_fi = _dt^dP_fi; Übergangswahrsch. P_fi =|a_fi|² Übergangsamplitudea_fi =hψ_f|U(t)|ψ_ii

Zeitabhängige Störungstheorie

Zusammenfassung

Fermis Goldene Regel für periodische Störung V(t)=V ^eiωt+e₂^−iωt:

W_fi = π

2~²[δ(ω_fi−ω) +δ(ω_fi +ω)]|hψ_f|V|ψ_ii|² (21) Zusammenfassung

“Sudden” Approximation

Plötzliches Einschalten: H = ˜H₀fürt <0

H=H₀fürt>T kurze ZeitT →0später:

|ψ(t)i=X

n

|ψ_ni

|{z}

EF vonH₀

e^−int/~hψ_n |ψ˜_ii

|{z}

|ψ(0)i

(22)