3. ¨Ubung Kryptographie

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN

Dozent: Prof. Dr. F. Heß Assistent: G. M¨ohlmann Abgabe: 11.11.08

www.math.tu-berlin.de/˜hess/krypto-ws2008

3. ¨ Ubung Kryptographie

1. Aufgabe

Gegeben seien folgende Schl¨usselstr¨ome:

α= 00100001111101010011000100001111101010011000100001, β = 00110000110110111001101001011010111101111011101111, γ = 100111110001000011010101100111110001000011010101100.

Unter diesen3Schl¨usselfolgen wurde eine mittels LFSR, eine andere mittels linearer Kongruenzge- neratoren und die verbleibende zuf¨allig erzeugt.

(a) Die mittels LFSR konstruierte Folge hat die minimale L¨angel. Bestimmen Sie welche der oben gegebenen Folgen mittels LFSR konstruiert ist. Ferner finden Sie die geeignetena₁, . . . , a_lmit kleinsteml, wobei die Notation wie im Skript ist.

(b) Die mittels linearer Kongruenzgeneratoren konstruierte Folge wurde im Ring Z/8Z erzeugt, und entsprechende Werte werden in bin¨arer Darstellung geschrieben, das heißt0→ 000,1 → 001,· · · ,7→111. Bestimmen welche der oben gegebenen Folgen mittels linearer Kongruenz- generatoren konstruiert ist. Ferner Finden Sie die in der Vorlesung eingef¨uhrten Parameter a undb.

(5 Punkte)

2. Aufgabe

Seip ∈ Nundf : {0, . . . , p−1} −→ {0, . . . , p−1}eine beliebige Funktion. Wir definieren eine Folgex0, x1, . . .wie folgt: W¨ahlex0∈ {0, . . . , p−1}zuf¨allig undxi+1=f(xi)f¨uri≥0.

(a) Begr¨unden Sie, warum esl, t∈Nmitl+t≤p+ 1gibt, so dassx_i=x_i+lf¨ur allei≥tgilt.

(b) Gilt die Aussage auch f¨url+t≤p?

(c) Sei(yi)i∈Neine weitere Folge, f¨ur die gilt:y0=x0undyi+1=f(f(yi))f¨uri≥0. Zeigen Sie, dass es1≤i₀ ≤t+lgibt, so dassx_i0 =y_i0 gilt.

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(5 Punkte)

3. Aufgabe

Betrachten Sie die Folgen, die ein linearer Kongruenzgenerator durchxi+1 =axi+b mod mfuer einen Startwert0 ≤ x0 ≤ m−1erzeugt.Bezeichnerx0 die Periodenl¨ange der Folge zum Startwert x₀. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Giltr_x0 =mf¨ur einen speziellen Startwertx₀, so auch f¨ur alle anderen Startwerte.

(b) Sind b und m nicht teilerfremd, so giltr_x0 < mf¨ur alle Startwertex₀. (c) Sind b und m teilerfremd, so giltr_x0 =mf¨ur alle Startwertex₀.

(5 Punkte)

4. Aufgabe

Implementieren Sie AES. Dazu k¨onnen Sie die vorgegebenen Funktionen aus AES.k verwenden.

(5 Punkte)

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