B J (x) = 2J + 1 2J coth

13 Übungsblatt Festkörperphysik

13.1 (Grundzustand und Magnetismus von Übergangs- und

Seltene-Erd-Elementen)

a)

Es ist zu zeigen, dass für die Brillouin-Funktion gilt:

B _J (x) = 1

^für

x → ∞

^{. Wir}

betrachten dieBrillouin-Funktion:

B _J (x) = 2J + 1 2J coth

2 (J + 1) x 2J

− 1

2J coth x 2J

.

Betrachtenwirden

coth

^{,für diesen gilt:}

coth (x) = e ^x + e ^{− x} e ^x − e ^{− x} ,

wobeiwirfür

x → ∞

^{sofortsehen, dassdiesergegen}

1

^{streben wird,dadie}

e ^{− x}

^Terme

sehr schnell gegen

0

^{streben und somit} vernachlässigt werden können und

e ^x

e ^x = 1

^gilt.

Setzenwirdies ein, erhaltenwir:

B _J (x) = 2J + 1

2J · 1 − 1

2J · 1 = 2J 2J = 1.

b)

EssindinRussel-Saunders-KopplungderGrundzustand

2s+1 L J

^{,dieeektivenBohr'schen}

Magnetonen

p = g (J LS) p

J (J + 1) =

1 + ^{J(J +1)+S(S+1)} _2J(J+1) ^{− L(L+1)} p

J (J + 1)

^sowie

dasSättigungsmoment

M sat = M (x → ∞ ) = ^N _V g (J LS) µ B J · B J (x)

^(wobei

B J (x) = 1

für

x → ∞

^{) mit}

x = ^{µ B} _kT ^{B 0}

^zubestimmen.

Ion Konguration

2s+1 L _J p M _sat

Mn

3+

[Ar]3d

4 5 D ₀ 0 0

Pr

3+

[Xe]4f

2 3 H ₄ 3.58 ¹⁶ ₅ ^N _V µ B

Eu

3+

[Xe]4f

6 7 F ₀ 0 0

Eu

2+

[Xe]4f

7 8 S ⁷

2 7.94 7 ^N _V µ _B

Tm

3+

[Xe]4f

12 3 H ₆ 7.56 7 ^N _V µ B

Tm

2+

[Xe]4f

13 2 F ⁷

2 4.54 4 ^N _V µ _B

Mn

3+

s _z

^\

l _z

^{-2 -1 0 1 2}

+ ¹ ₂

− ¹ ₂ ↓ ↓ ↓ ↓

Pr

3+

s _z

^\

l _z

^{-3 -2 -1 0 1 2 3}

+ ¹ ₂

− ¹ ₂ ↓ ↓

Eu

3+

s _z

^\

l _z

^{-3 -2 -1 0 1 2 3}

+ ¹ ₂

− ¹ ₂ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Eu

2+

s _z

^\

l _z

^{-3 -2 -1 0 1 2 3}

+ ¹ ₂

− ¹ ₂ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Tm

3+

s _z

^\

l _z

^{-3 -2 -1 0 1 2 3}

+ ¹ ₂ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

− ¹ ₂ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Tm

2+

s _z

^\

l _z

^{-3 -2 -1 0 1 2 3}

+ ¹ ₂ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

− ¹ ₂ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

c)

Esistzubegründen,warumdieWertefürEu

3+

undMn

3+

starkvondenexperimentellen

Werten

p

^Eu

3+

exp

= 3.4

^und

p

^Mn

3+

exp

= 4.9

^abweichen.

Eine mögliche Begründung liegtinderBesetzung.Wenn mandie Schalen andersauf-

füllen würde, würde der Wert für

J

^nicht

0

^{liefernund somit ein Wert erreicht werden,}

dernäher amexperimentellen Wert liegt. Mankann also schlieÿen, dassdie Theorie für

dieseElemente nicht stimmt undeineandereBesetzung,z.B.ausenergetischenGründen

bevorzugtwird.So kann manz.B.zuerst diehöhere

s

^-Schalemit

2

^{Elektronenbesetzen,}

bevor mandie

d

^bzw.

f

^{Schaleauüllt.}

Ein anderer Begründungsansatz liegt im Modell des Quenching des Bahndrehimpul-

ses, d.h. der Bahndrehimpuls verschwindet (

L = 0

^{). Die Ursache liegt darin, dass in}

3d

-Übergangsmetallen(wobeiMn

3+

einsolchesist)die

3d

-Elektronenfürden Magnetis- musverantwortlich sindundsieauchValenzelektronen sindundsomitanderchemischen

Bindungbeteiligtsind.DieWellenfunktionendiesersindalsostarkausgedehnt/delokalisiert.

Somit spüren sie das Kristallfeld der Nachbarionen. Der Bahndrehimpuls verschwindet

also,währenddasKristallfeld auf den Spinkeinen Einuss hat, somitfolgt,dass

S = J

und wir erhalten wenn wir diesen Ansatz machen ein besseres Ergebnis. (

g (J LS) = 2

und

p = 2 · √

6 = 4.90

^{wie der}experimentelle Wert.)

13.2 (Paramagnetismus für

S = 1

⁾

a)

Es ist die Magnetisierung als Funktiondes äuÿeren Magnetfeldes

B ₀

^{und derTempera-}

tur für ein System mit Spin

S = 1

^, magnetischem Moment

µ

^und Konzentration

n

^zu

berechnen.

M = N

V g (J LS) µ _B J B _J

g (J LS) J µ _B B ₀ k _B T

,

mit

L = 0

^und

S = 1

^{folgt für}

J = 1

^{und esgilt für die}Konzentration

n = ^N _V

^.Setzen

wirdies ein,sofolgt:

M = ng (1, 0, 1) µ _B B _J

g (1, 0, 1) 1 µ _B B ₀ k _B T

,

mit

g (1, 0, 1) = 1 + ^{1 ·} ₂ ²⁺¹ _{· 1 · 2} ^{· 2} = 2

^{folgt also:}

M = 2nµ B B J

2 µ _B B ₀

k B T

,

mit:

B _J

2 µ _B B ₀ k _B T

= 3 2 coth

3 µ _B B ₀

k _B T

− 1 2 coth

µ _B B ₀ k _B T

.

Einsetzen liefertalso für dieMagnetisierung:

M = nµ _B

3 coth

3 µ _B B ₀ k B T

− coth

µ _B B ₀ k B T

.

b)

Es ist zu zeigen, dass für den Fall

µ _B B ₀ k _B T

^{sich die Formel der} Magnetisierung vereinfacht zu:

M = 2nµ ² 3k B T B ₀ .

Wirgehenvon:

M = 2nµ B B J

2 µ B B ₀

k _B T

aus, wobeiwirausderVorlesungwissen,dass

B _J (x) = J + 1 3J x,

setzenwirdaseinundverwenden zusätzlichdienaiveVorstellung ausderVorlesung,

dass jedes Elektron

s = ¹ ₂

^{besitzen würde, woraus}

µ = µ _B

^{resultiert und da wir}

S = 1

besitzen folgt

µ = 2µ B

^{,soerhaltenwir:}

M = 2nµ _B 2

3 2 µ B B ₀

k _B T = 4µ ² _B · 2n

3k B T B ₀ = 2nµ ² 3k B T B ₀ .

Esistzuzeigen,dassdermagnetischeAnteilderWärmekapazitäteinerparamagnetischen

Legierung gegeben ist durch

C _para = N k _B x ²

cosh ² x ,

^mit

x = µB ₀ kT

wobei

µ

^das magnetische Moment und

N

^{die Anzahl der} paramagnetischen Ionen bezeichnet.

Wirbetrachten einZwei-Niveau-Modell.Mitden Niveaus

N ₁

^und

N ₂

^{,wobeidieseum}

∆E = ± µB ₀

^{aufspaltensollen. Für die}Wärmekapazität gilt:

C = ∂U

∂T

wobei

U

^{die innere Energie des Systems}beschreibt. Wir erhalten für die Anzahl der Zustände

N

^:

N = N ₁ + N ₂

mit:

N ₁ = e ^{µB kT 0} N ₂ = e ^{− µB kT 0}

somit folgt:

N = e ^{µB kT 0} + e ^{− µB kT 0}

Es folgt fürdie innereEnergie des Systems:

U = (N 2 − N ₁ ) ∆E =

e ^{− µB kT 0} − e ^{µB kT 0}

µB ₀ = N µB ₀ −

e ^{µB kT 0} − e ^{− µB kT 0} e ^{µB kT 0} + e ^{− µB kT 0}

= − N ∆E tanh ∆E

kT

Für

C = ^∂U _∂T

^{folgthiermit:}

C = N

∆E kT ² 2

cosh ^{2 ∆E} _kT = N k _B

∆E kT

2

cosh ^{2 ∆E} _kT = N k _B x ² cosh ² x .

Es ist die Magnetisierung

M = − µ _B (n ₊ − n − )

^{in der Näherung}

k _B T, µ _B B ₀ E _F

^zu

berechnen.Hierbeisind

n ₊

^{dieElektronen mit Spin}

s = + ¹ ₂

^und

n −

^{die Elektronen mit}

Spin

s = − ¹ ₂

^{. Für die} Elektronendichte können wir die Näherung für freie Elektronen benutzen, welche durch:

n = Z ^∞

0

D (E) f (E, T ) dE

gegeben ist. Es ist zu beachten, dass der Energiezustand der Elektronen um

∆E =

± µ _B B ₀

aufspaltet, somitgilt also:

n ₊ = Z ^∞

0

D (E + ∆E) f (E + ∆E, T ) dE

mit derNäherung

f (E ± ∆E, T ) = f (E, T ) ∓ ∆Eδ (E − E F )

^folgt:

n ₊ = Z ^∞

0

D (E + ∆E) f (E, T ) dE − Z ^∞

0

D (E + ∆E) ∆Eδ (E − E _F ) dE

= Z ∞

0

D (E + ∆E) f (E, T ) dE − D (E F + µ B B ₀ ) µ B B ₀

Unter Berücksichtigung von

∆E E _F

^{können wir für}

D (E F + µ _B B ₀ ) = D (E F )

schreiben.

n ₊ = Z ^∞

0

D (E + ∆E) f (E, T ) dE − D (E _F ) µ _B B ₀

Für denFallvon

n −

^erhaltenwir:

n − = Z ^∞

0

D (E − ∆E) f (E, T ) dE + Z ^∞

0

D (E − ∆E) ∆Eδ (E − E _F ) dE

= Z ^∞

0

D (E − ∆E) f (E, T ) dE + D (E F ) µ B B ₀

Mit derNäherung, dass

∆E

^{klein ist gegenüber}

E

^{, wenn wir} integrieren, können wir schreiben:

M = − µ _B ( − D (E F ) µ _B B ₀ − D (E F ) µ _B B ₀ ) = 2D (E F ) µ ² _B B ₀ .

Es gilt für dieSuszeptibilität:

χ = µ ₀ M B ₀ ,

einsetzen vomobigen Ergebnisführtuns zurPauli-Suszeptibilität:

χ

pauli

= 2 · µ ₀ µ ² _B D (E _F ) ,

wobeihiereinFaktor

2

^{auftaucht.(Evtl. kannmandie}

∆E

^gegenüber

E

^Näherungso

nicht durchführen)