Totale Ableitung, Advektion

¾ Total Ableitung

¾ Advektion, Temperaturadvektion, Schichtdickenadvektion

¾ Die thermodynamische Gleichung

¾ Die Kontinuitätsgleichung

Die Bewegungsgleichung d

dtu = − ∇ + − ∧1 p

ρ g f u

stellt die Beschleunigung eines Luftteilchensdar

die Ableitung nach der Zeitd/dtmuß so ausgerechnet sein, daß man die Bahn eines einzelnen Luftpakets verfolgt

u

Totale Ableitung, Advektion

u = u( , , , ),x y z t T = T x y z t( , , , ) e tc.

¾ Im allgemeinen haben wir keine Interesse an das Schicksal eines einzelnen Luftpakets, denn dieses Luftpaket

unterscheidet sich durch nichts von den anderen.

¾ Die Größen werden in den verschiedenen Raumpunkten skalare bzw. vektorielle Werte zugewiesen, die sich noch zeitlich verändern können:

Strömungsfelder

¾ Die abhängigen Variablen wie TemperaturT, Druckp, oder Geschwindigkeituwerden dann als Felder behandelt.

Für ein Teilchen in der Lage [x(t), y(t), z(t)] ist, z. B.

T = T[x(t), y(t), z(t), t]

Wenn man an einem festen Punkt(x₀, y₀, z₀) steht dT

dt

T

=

F

HG I

∂

KJ

∂ _{xo, yo, zo}

¾ Man befindet sich an Bord eines Forschungsflugzeuges und registriert die TemperaturTwährend eines Meßfluges.

¾ Welche Temperaturänderung beobachtet man in diesem Fall?

¾ Es befindet sich einen horizontalen Temperaturgradient in Flugrichtung und die Temperatur andert sich mit der Zeit:

T = T(x,t).

Ein Flugzeug habe zur Zeittdie Position x(t)und bewege sich mit der Geschwindigkeitc(t) = dx/dt.

x

∇T

T(t)

Das Flugzeug legt in einem kleinen Zeitintervalldtdie Strecke dx = cdtzurück und erreicht einen Nachbarpunktx + dx.

Advektion

Das totale Differential dTder FunktionT(x,y,z,t)ergibt sich aus der Kettenregel zu

T T T T

dT dt dx dy dz

t x y z

∂ ∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

Die totale (oder substantielle) Änderung von T ist dT

dt T

t T x

dx dt

T y

dy dt

T z

dz dt T

t T d

dt T

t T

= + + +

= + ∇ ⋅

= + ⋅∇

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

x

c

dT dt

T

t T

= ∂ + ⋅∇

∂ c

die lokale Änderung von T

die Temperaturänderung pro Zeiteinheit, die ein ortsfester

Beobachter beic = 0mißt -

z.B. in einem in der Luft stehende Hubschrauber.

die Änderung von T auf Grund der Bewegung mit einer Geschwindigkeitc

Wenn das TemperaturfeldTnur räumliche Abhängigkeit besitzt, d.h. T = T(x,y,z), ist

∂

∂ T

t =0 dT

dt = ⋅ ∇c T

Diese Art der Temperaturänderung nennt man Advektion.

Sie tritt auf, wenn bei der Bewegung mit der Geschwindigkeit cder räumliche Temperaturgradient∇Tbesteht.

Im allgemeinen Fall setzt sich die totale Änderung aus der Summe derlokalen Änderungund derAdvektionzusammen.

dT dt

T

t T

= ∂ + ⋅∇

∂ c

Nun werde die Temperatur in einem Ballon gemessen, der sich mit derWindgeschindigkeitubewegen soll.

u

T(t) x

x = x(t) = Ut

∇T

Die totale Änderung der Temperatur ist dT

dt T

t T

= ∂ + ⋅ ∇

∂ u

die Temperaturänderung, die ein Beobachter registriert, der sich mit den Luftpaketen mitbewegt

Um es deutlich zu machen, daβsichdieTemperaturänderung auf einer bewegende Luftpaketen bezieht, verwendet man für die totale Ableitung das Symbol D/Dtanstelle von d/dt:

DT Dt

T

t T

= ∂ + ⋅ ∇

∂ u

Diese Ableitung läßt sich natürlich auch auf andere physik- alische Größen anwenden.

z.B. sie kann auf die drei Windkomponentenu, v, w,des Windvektorsuangewandt werden

Die Beschleunigungeines Luftpakets kann geschrieben werden D

Dt t

= ∂ + ⋅ ∇

∂

u u

u u

u⋅ ∇ ≡u (u⋅ ∇u,u⋅ ∇v,u⋅ ∇w)

Wir betracten eine Luftmasse in der ein in allen Höhen gleich großer Temperaturgradient besteht.

Die Luftmasse wird durch einen einheitlichen (horizontalen) Wind uverlagert.

Es sind keine Wärmequellen oder Wärmesänken vorhanden.

Die Temperatur bleibt in jedem Luftpaket konstant.

DT

Dt =0 ∂

∂ T

t = − ⋅ ∇u T

die Temperaturänderung an einem festen Ort

Temperaturadvektion

∂

∂ T

t = − ⋅ ∇u T

Die lokale Temperaturänderung ist in diesem Fall gleich minus der advektiven Temperaturänderung.

Warmluftadvektion

warm kalt

∇T u

Der Wind bringtuwärmere Luft, denn die zuTparallele Windkomponente ist von der wärmeren zur kälteren Luft gerichtet.

Ein stationärer Beobachter wird eine Temperaturerhöhung messen.

∇T u

Hier bringt der Wind ukältere Luft, denn die zuTparallele Windkomponente ist von der kälteren zur wärmeren Luft gerichtet.

Ein stationärer Beobachter eine wird Temperaturabnahme messen.

warm kalt

Kaltluftadvektion

∇T

u

warm kalt

Keine Temperaturadvektion

u⋅ ∇ =T 0 Hier bläst der Wind uparallele zu den Isothermen. Ein stationärer Beobachter wird keine Temperaturänderung messen - die Temperatur bleibt überall konstant.

Annahmen:

• der Wind soll geostrophisch sein.

• T soll unabhängig von der Höhe (oder vom Druck) sein.

• keine Wärmequellen oder -senken vorhanden sind.

In Druckkoordinaten lautet

∂

∂ T

t +u( ; , )x y p ⋅ ∇ =T 0

Die SchichtdickeDzwischen zwei Druckflächenp₀und p beträgt

D R

g T d p

p

=

z

Schichtdickenadvektion

Daraus ergibt sich für die zeitliche Änderung der Schichtdicke

∂

∂

∂

∂ D

t R g

T t d p R

g x y p T d p

p p

p p

o

o

= −

= ⋅∇

z z

Der geostrophische Wind u=u₀+u_T der geostrophische Wind

auf der Druckflächep₀

der thermische Wind zwischenp₀und p u_T( )p gk

f _pD

= ∧ ∇ läßt sich umformen zu

∂

∂ D

t R

g p T d p

R

g T d p R

g p T d p

p p

p p

p p

o

o o

o

o

= − + ⋅∇

= ⋅ ∇ + ⋅ ∇

z z

z

u_o ist unabhängig von pund nur annähernd horizontale Komponente besitzt

u_T(p) wirkt senkrecht zum Temperaturgradienten

u_T⋅ ∇ =T 0 (u_o·∇)kann vor das Integralzeichen

gestellt werden

Es folgt daher D t D

∂ = − ⋅ ∇

∂ u^o

Wenn man p_o= 1000 mbwählt, bedeutet

daß unter den angegebenen Bedingungen: - geostrophische Bewegung, Temperaturgradient unabhängig von der Höhe -, die Schichtdicke vom bodennahen geostrophischen Wind advehiert wird.

D D

t

∂ = − ⋅ ∇

∂ u^o

Dieses Ergebnis ist für praktische Anwendungen sehr nützlich.

Wenn man einer Bodenkarte eine Schichtdickenkarte

überlagert, lassen sich die Gebiete mit Kaltluftadvektion bzw.

Warmluftadvektion identifizieren.

Es ist also nichterforderlich, den mittleren Wind für die gesamte Schicht zu berechnen, es genügt das geostrophische Bodenwindfeld.

H H

T

1016 mb

1008 mb 1016 mb

1024 mb 564 558 552

582 dm 576 570 564 504

558 522 540

Bodendruck

Schichtdicke 500 mb Isohypsen

20 Nov. 1964, 12 Z

H H

L

H

Bodenkarte über Australien

Bodendruck

1000 - 500 mb Schichtdicken

H H

T

T

Boden/Schichtdickekarte vom australischen Gebiet 18 Feb 1977

Die potentielle Temperatur in einem Luftpaket bleibt erhalten, wenn die Bewegung adiabatisch verläuft, d.h. wennkein

Wärmeaustauschzwischen Luftpaket und Umgebungsluft stattfindet.

Mathematisch läßt sich die Erhaltung der potentiellen Temp- eratur in der sogenanntenthermodynamischen Gleichung formulieren:

D Dt

θ = 0

Die thermodynamische Gleichung

Wenn Wärmequellen oder Wärmesenken nicht vernachlässigt werden können, gilt der erste Hauptsatz in der differentiellen Form

dq =c dT_p − αdp

In dTund dpsind die Temperatur- und Druckänderung im Luftpaket infolge der Wärmezufuhrdqerhalten.

Mit Hilfe der idealen Gasgleichung pα= RT, ergibt sich dq

T c dT T

R c

dp

p c d

p

p

=

F

HG I

KJ

D

Dt c T

Dq Dt

H

p c Tp

lnθ = 1 =

D

D Dt

H c T_p lnθ =

D

Aus läßt sich eine Gleichung für die Änderung der Temperatur im Zeitintervalldtableiten:

θ

κ

=

F

HG I

KJ

T p p

* lnθ= lnT +κlnp*−κlnp

1 1

θ

θ κ

D Dt T

DT Dt p

Dp Dt

H c T_p

= − =

DT Dt

T p

H c T_p

= κ ω+

D

ω = Dp Dt

Die Größe ^{ω = Dp} gibt die Druckänderung im Luftpaket an.

Dt

• Normalerweise nimmt der Druck in einem aufsteigenden Luftpaket ab (für hydrostatische Bewegung).

• In einem absinkenden Luftpaket nimmt er zu.

• der Vertikalgeschwindigkeitw ist mitωnegativkorreliert.

h h

p p

p w

t z

∂ ∂

ω = + ⋅ ∇ +

∂ u ∂

• für hydrostatische Bewegungen gilt ω = D p −ρ

Dt^h gw

Interpretierung der Gleichung DT

Dt T p

H c T_p

=κ + ω

D

gibt die adiabatische Temperaturveränderungauf Grund einer Druckänderung während der Bewegung an

beschreibt die sogenanntendiabatischen Prozesse, d.h. die Wirkung von direkter Erwärmung oder Abkühlung.

h

p

T T H

t T p c T

∂ = − ⋅ ∇ +κ ω +

∂ u^h

D

Die Temperaturgleichung kann umgeschrieben werden:

Zusätzlich tritt in dieser Gleichung der Advektionsterm auf.

Zu lokalerTemperaturzunahme(abnahme)kommt es durch:

• advektionwärmerer (kälterer)Luft

• adiabatischeAbsinkbewegung (Hebung)und/oder diabatischeWärmezufuhr (entzug).

Lokale Temperaturänderung

¾ Die Lösung der Bewegungsgleichung für Gasströmungen ist schwieriger als für Festkörper, weil zusätzlich eine Massen-erhaltungsgleichung(Kontinuitätsgleichung) erfüllt sein muß.

Die Kontinuitätsgleichung

¾ Nun geht es um die mathematische Formulierung der Kontinuitätsgleichung in Druckkoordinaten(x, y, p).

¾ Wallace and Hobbs veranschaulichen das Prinzip der Kontinuitätsgleichung mit einem dicken, weichen Pfannkuchen.

¾ Wird der Pfannkuchen zwischen zwei flachen Tellern gequetscht, divergiert er in horizontaler Richtung, weil das ursprüngliche Volumen erhalten bleibt.

die Idee:

¾ Luftpakete verhalten sich nicht viel anders, wenn sie durch ein großräumiges Strömungsfeld deformiert werden.

¾ Im Gegensatz zu einem weichen Pfannkuchen sind Luftpakete jedochkompressibel, d.h. sie können ihr Volumen ändern.

Im allgemeinen lassen sich zwei Typen von Volumenänderungen unterscheiden:

¾ (a) Nicht hydrostatische Volumenschwankungen, verbunden mitSchallwellenund

¾ (b) langsamere, hydrostatische Volumenänderungen,

verursacht durch Ausdehnung oder Verdichtung der Luft bei hydrostatischen Druckänderungen.

¾ Die nicht hydrostatischen Volumenänderungen haben extrem kleine Amplitudenbzw. extrem hohe Frequenzen - sie wirken sich daher nicht auf die großräumigen atmosphärischen Bewegungen aus. Der Energiegehalt dieser Schwankungen ist vernachlässigbar.

Schallwellen

¾ Die hydrostatischen Änderungen können recht groß werdenund die Luftströmungen in der Atmosphäre beeinflussen.

¾ Die nicht hydrostatischen Störungen sind automatisch ausgeschlossen, wenn man die Kontinuitätsgleichung in (x, y, p)-Koordinaten formuliert.

Hydrostatische Änderungen

u

v

v + δ v

u + δ u ω

ω + δω δ p

δx δy

Mathematische Formulierung der

Kontinuitätsgleichung

Für eine Atmosphäre im hydrostatischen Gleichgewicht beträgt die Masse des Quaders:

δ ρδ δ δ δ δ δ

M x y z x y p

= = − g

δp= −ρ δg z

Mathematisch schreibt man

¾ Im Laufe der Zeit wird der Quader durch die Scherungen und Deformationen im Bewegungsfeld bis zur

Unkenntlichkeit verdreht und verformt.

¾ Wir betrachten die Veränderungen ganz am Anfang der Bewegung , oder mathematisch ausgedrückt, in einem unendlich kleinen Zeitintervalδt.

¾ Innerhalb dieses Zeitintervalls wird der Quader zu einem Parallelepipeddeformiert. Dabei bleibt die Masse des Quaders konstant.

D

Dt(δ δ δ =x y p) 0

δ δy p D δ δ δ δ δ δ δ Dt x x p D

Dt y x y D Dt p

( )+ ( )+ ( )=0

Die Ableitung gibt an, wie sich die Seitenflächen des Quaders in x-Richtung im Zeitintervall δtverändern.

D

Dt x u u

x x (δ ) δ ∂

∂ δ

= =

Die zeitlichen Änderungen von δyund δpkönnen analog ausgedrückt werden.

∂

∂

∂

∂

∂ω

∂ u

x v

y p

+ + =0

die Kontinuitätsgleichung

Zur Interpretation der Kontinuitätsgleichung definieren wirA = δxδyin _D

Dt(δ δ δ =x y p) 0

δpDA δ

Dt A D

Dt p + ( )=0

D Dt p

p p (δ ) δω ∂ω

∂ δ

= =

1 0

A DA

Dt +∂ωp =

∂ eine weitere Form der Kontinuitätsgleichung

∂

∂

∂

∂ u x

v

y A

DA + = 1 Dt

die horizontale Divergenz des horizontalen WindvektorsV

(in kartesischer Form)

∂

∂

∂

∂ u x

v

y A

DA + = 1 Dt

der relativen Änderung der Boden- bzw. Deckenfläche

des Luftquaders

= ∇ ⋅

V

• bei horizontaler Divergenz∇_p⋅V> 0, der Luftquader in vertikaler Richtung gestaucht wird∂ω⁄∂p < 0.

• horizontale Konvergenz∇_p⋅V< 0, bewirkt vertikale Streckung ∂ω⁄∂p > 0.

Für ein Gas (oder eine Flüssigkeit) mit konstanter Dichte läßt sich zeigen, daß in diesem Fall die Kontinuitätgleichung auch in (x, y, z)-Koordinaten eine analoge Form annimmt.

∂

∂

∂

∂

∂

∂ u

x v y

w + + z = 0

In einem Gebiet mitkonvergenter Strömung in Bodennähe

∂

∂

∂

∂ u x

v

+ y <0 ∂

∂ w

z >0 Direkt am Boden ist w = 0

in den unteren Luftschichten ist w > 0

Konvergenz

aufsteigende Luftströmung

Stratosphäre

Tropopause

Troposphäre

Boden

Konvergenz in der Höhe ist mit Absinken verbunden.

Die Tropopause wirkt auf Vertikalbewegungen in der oberen Troposphäre wie ein fester Deckel

Konvergenz

Divergenz

1. Die totale Ableitung

2. Die Beschleunigung eines Luftpakets

3. Temperaturänderung durch Advektion

Zusammenfassung 1

DT Dt

T

t T

= ∂ + ⋅ ∇

∂ u

D Dt t

= ∂ + ⋅ ∇

∂

u u

u u

u⋅ ∇ ≡u (u⋅ ∇u,u⋅ ∇v,u⋅ ∇w)

∂

∂ T

t = − ⋅ ∇u T

4. Die Schichtdicke wird vom bodennahen geostrophischen Wind advehiert.

5. Die thermodynamische Gleichung

Zusammenfassung 2

D D

t

∂ = − ⋅ ∇

∂ u^o

D Dt

θ = 0

DT Dt

T p

H c T_p

= κ + ω

D ω = Dp

Dt oder

4. Die Kontinuitätsgleichung

5. Für ein Gas (oder eine Flüssigkeit) mit konstanter Dichte in (x, y, z)-Koordinaten

Zusammenfassung 3

∂

∂

∂

∂

∂ω

∂ u

x v

y p

+ + =0

∂

∂

∂

∂

∂

∂ u

x v y

w + + z = 0

• bei horizontaler Divergenz

• bei horizontale Konvergenz

∇ ⋅_p V > 0 ∂ω ∂/ p < 0

∇ ⋅_p V <0 ∂ω ∂/ p > 0

Ende