Physikalisches Institut Probeklausur

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Physikalisches Institut Probeklausur

Universit¨ at Bonn 02 Juli 2014

Theoretische Physik SS 2014

Gemischte Aufgaben zur

Quantenmechanik und statistischen Physik

Priv.-Doz. Dr. Stefan F¨ orste

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/forste/exercises/la tp2/

Diese Aufgaben soll zur ¨ Uberpr¨ ufung des eigenen Wissens dienen. Die Klausur muss nicht notwedigerweise in Umfang, Schwierigkeitsgrad und abgedeckten Themen dieser Aufgaben gleichen.

Aufgabe 1

Seien zwei Matrizen durch A = 1

√ 2 1 i

i 1

, B = 1

2 1 + i 1 − i 1 − i 1 + i

(1) gegeben.

(a) K¨ onnen diese Matrizen physikalische Observable darstellen? Begr¨ unde und falls ja, bestimme die m¨ oglichen Messwerte.

(b) Berechne den Kommutator von A und B.

(c) Berechne den Kommutator von dem Impulsoperator und eines Operators ˆ K , mit ˆ K = α x ˆ + β x ˆ

²

, α, β ∈ R .

(d) Wie lautet die eindimensionale station¨ are Schr¨ odingergleichung und was f¨ ur eine phy- sikalische Bedeutung haben die einzelnen Terme.

(e) Finde einen L¨ osungsansatz f¨ ur die Wellenfunktion der station¨ aren Schr¨ odingergleichung mit konstantem Potential V (x) = V

₀

= konst.

(f) Beschreibe die physikalische Bedeutung einer quantenmechanischen Wellenfunktion.

Aufgabe 2

In einem dreidimensionalen Hilbertraum sind folgende Zust¨ ande gegeben:

|αi = i|1i − 2|2i − i|3i, |βi = i|1i + 2|3i. (2) Dabei sind |1i, |2i, |3i die orthonormierten Basiszust¨ ande.

(a) Berechne das Skalarprodukt hα|βi und hβ|αi und zeige, dass hα|βi

^∗

= hβ|αi gilt.

1

(2)

(b) Finde alle Matrixelemente des Operators ˆ A = |αihβ| und gebe die Matrixdarstellung von ˆ A an.

(c) Ist der Operator ˆ A hermitesch? Begr¨ unde!

Aufgabe 3

Wir betrachten einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator H ˆ = p ˆ

²

2µ + µω

²

x ˆ

²

2 , (3)

mit den Energieeigenzust¨ anden |ni zu den Energieeigenwerten E

_n

= ~ ω(n + 1/2) mit n ∈ {0, 1, 2, ...}. Zur Zeit t = 0 sei der Zustand durch

|ψ(t = 0)i = 1

√ 2 |0i − i 1

√ 2 |1i (4)

gegeben.

(a) Gib |ψ (t)i f¨ ur t 6= 0 an.

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeweils die Energie E

₀

, E

₁

und E

₂

gemessen?

(c) Berechne die Erwartungswerte von Ort x und Impuls p bez¨ uglich |ψ(t)i.

(d) Berechne die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, t)|

²

.

Aufgabe 4

Sei der Zustand eines Teilchens gegeben durch ψ(x, y, z) = 1

4 √ π

2z

²

− x

²

− y

²

r

²

+

r 3 π

xz

r

²

, (5)

wobei r

²

= x

²

+ y

²

+ z

²

ist.

(a) Berechne L ~ ˆ

²

ψ(x, y, z) und ˆ L

_z

ψ(x, y, z). Wie lautet der Gesamtdrehimpuls des Teil- chens?

(b) Berechne ˆ L

+

ψ(x, y, z) und hψ| L ˆ

+

|ψi.

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit w¨ urde man f¨ ur die z-Komponente des Drehimpulses die Werte 0, ~ und − ~ messen?

Hinweis:

Y

20

(x, y, z) = p

5/16π(3z

²

− r

²

)/r

²

, Y

2±1

(x, y, z) = ∓ p

15/8π(x ± iy)z/r

²

(6)

2

(3)

Aufgabe 5

Ein Teilchen der Masse m bewege sich frei innerhalb eines unendlich tiefen Kastenpotentials der L¨ ange a und sei zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand

ψ(x, t = 0) = r 3

5a sin 3πx

a

+ 1

√ 5a sin 5πx

a

(7) (a) Bestimme den Zustand ψ(x, t

⁰

) des Teilchens zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt t = t

⁰

. (b) Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) und die Wahrscheinlichkeitsstromdichte

J ~ (x, t).

(c) ¨ Uberpr¨ ufe, ob die Wahrscheinlichkeit erhalten ist z.B. durch ∂ρ/∂t + 5 · ~ J ~ = 0.

Aufgabe 6

Ein quantenmechanisches System von Spin-1/2 Teilchen sei wie folgt pr¨ apariert: Der Zu- stand |0i komme mit der Wahrscheinlichkeit P (|0i) = 1/3, der Zustand |+i = (|0i+|1i)/ √