Aachen, 26. 1. 04
Solare Neutrinos
Axel Moll Matr.Nr. 228076 Betreuer: Günther Flügge
Inhalt:
1. Einleitung 1.1 : Geschichte
1.2 :Das Standardneutrinomodell 1.3 :Neutrinoquellen
2. Die Sonne als Neutrinoquelle:
2.1 : Der pp- Zyklus 2.2 : Der CNO- Zyklus
3. Neutrino- Nachweismethoden
3.1 : Radiochemische Experimente : Homestake
3.2 : Radiochemische Experimente : GALLEX und SAGE 3.3 : Echtzeitexperimente: Kamiokande und Superkamiokande 3.4 : Echtzeitexperimente: SNO
3.5 : Energieschwellen der Neutrinoexperimente und Energiespektrum der Sonnenneutrinos
4. Das Sonnennetrinoproblem
4.1 : Neutrinooszillation allgemein
4.2 : Neutrinooszillation im 2- Flavor- Formalismus in Vakuum 4.3 : Neutrinooszillation im 2- Flavor- Formalismus in Materie 4.4 : Ergebnisse des SNO- Experiments
4.5 : Das KamLAND- Reaktorneutrinoexperiment
Kapitel 1: Neutrinos
1.1 : Geschichte
Neutrinos wurden 1930 erstmals von Pauli postuliert, der damit die Erhaltungsätze für Energie und Spin beim Beta – Zerfall von Kernen „retten“ wollte. Ohne die Existenz von Neutrinos hätte nämlich der BETA- Zerfall die Form
A ZCA Z e
B , , 1 (1.1.1)
Daraus würde mit dem Energieerhaltungssatz folgen, daß die emittierten Elektronen monoenergetisch wären, was aber im Widerspruch zu den experimentellen Ergebnissen stand, die auf ein kontinuierliches Spektrum hinwiesen.
Außerdem müßte es, damit die obige Reaktion stattfinden könnte, sowohl Kerne mit halbzahligem Spin als auch Kerne mit ganzzahligem Spin geben. Allerdings wußte man bereits, daß nur einer dieser Fälle wirklich zutraf. Die Ganz- bzw- Halbzahligkeit des Spins konnte also nur erhalten werden, wenn neben dem Elektron noch ein weiteres Teilchen mit halbzahligem Spin emittiert wurde.
Bei diesen Überlegungen verwendete Pauli noch den Namen „Neutron“. Nach der zwei Jahre später folgenden Entdeckung des Neutrons wurde der Name Neutrino gebräuchlich.
Das Elektronneutrino wurde erstmals 1956 über den inversen BETA – Zerfall von Reines und Cowan nachgewiesen:
A Z
e B
A Z
eB , , 1 (1.1.2)
1.2 : Das Standartneutrinomodell
Man unterscheidet heute zwischen Elektron- Myon – und Tauonneutrinos:
Neutrino Zugehöriges Lepton Masse Spin
e e 5,1eV
12
0,17MeV
12
24MeV
12
1.3 : Neutrinoquellen
Die heute beobachtbaren Neutrinos stammen aus verschiedenen natürlichen oder künstlichen Quellen:
Beispiele für natürliche Neutrinos sind Athmosphärische Neutrinos, Supernovaneutrinos, kosmologische Neutrinos, hochenergetische kosmische Neutrinos, niederenergetische Neutrinos und solare Neutrinos.
Bei künstlichen Neutrinoquellen handelt es sich um Kernreaktoren und Beschleuniger.
Athmosphärische Neutrinos entstehen, wenn kosmische Teilchen (meistens Protonen) auf Teilchen aus der Erdathmosphäre treffen. Dabei entstehen u.a. Pionen und Kaonen, die ihrerseits zerfallen, wobei Neutrinos entstehen:
K
K (1.3.1)
e e
e
e (1.3.2)
Supernovaneutrinos entstehen zum Teil durch inversen BETA- Zerfall, der größte Teil der Neutrinos stammt aber aus folgender Reaktion:
e e
e
e
(1.3.3)
Bei kosmologoschen Neutrinos handelt es sich um Neutrinos, die aus dem thermodynamischen Gleichgewicht, das unmittelbar nach dem Urknall herrschte, übriggeblieben sind.
Hochenergetische kosmische Neutrnios entstehen bei den Zerfällen von Pionen und Kaonen, die bei den Stößen von hochenergetischen kosmischen Teilchen und Targetnukleonen bzw Targetphotonen im Kosmos entstehen.
Niederenergetische Neutrinos entstehen durch natürliche Beta- Radioaktivität von instabilen Isotopen in der Erdmaterie.
Kapitel 2: Die Sonne als Neutrinoquelle:
In der Sonne laufen zwei wichtige Reaktionsketten ab, bei denen Neutrinos erzeugt werden:
nämlich der pp- Zyklus und der CNO- Zyklus, den man auch Bethe- Weißzäcker- Zyklus nennt. Im folgenden werden diese beiden Reaktionsketten beschrieben. In beiden Fällen entstehen nur Elektronneutrinos. Deshalb sind in den folgenden Kapiteln mit Neutrinos immer nur Elektronneutrinos gemeint.
2.1: Der pp- Zyklus:
Der pp- Zyklus ist wichtiger für Überlegungen über solare Neutrinos, weil er 98,4% der Energie liefert, die in der Sonne freigesetzt wird.
Die Anfangsreaktion in dieser Reaktionskette ist die Reaktion von zwei Protonen zu einem Deuteron, einem Positron und einem Neutrino.
e e
H p
p 2 (2.1.1)
Die Neutrinos aus dieser Reaktion haben eine Energie E0,42MeV .
In etwa 0.25% aller Fälle erfolgt anstelle der pp- Reaktion die pep- Reaktion, bei der die zwei Protonen auch noch mit einem Elektron zusammenstoßen, so daß nur ein Deuteron und ein Neutrino entstehen.
H e
e p
p 2 (2.1.2)
Die Neutrionenergie ist hier E 1,44MeV.
Das aus einer der obigen Reaktionen erhaltene Deuteron reagiert dann mit einem weiteren Proton zu einem 3He-Kern, wobei ein Photon emittiert wird. Nun kommt es zu einer Aufspaltung der Kette in 3 Teile:
1. In 85% der Fälle stoßen zwei 3He – Kerne aufeinander, wobei ein 4He- Kern und zwei Protonen entstehen :
p He
He 2
23 4 (2.1.3)
2. In knapp 15% der Fälle stoßen ein 3He und ein 4He – Kern aufeinander, wobei ein
7Be- Kern und ein Photon entstehen:
He Be He 4 7
3 (2.1.4)
Meistens wird durch negativen Betazerfall der 7Be- Kern in einen Lithiumkern umgewandelt, der dann mit einem Proton stößt, wodurch zwei 4He- Kerne entstehen:
Li e
e
Be 7
7 (2.1.5)
He p
Li 4
7 2 (2.1.6)
Die Neutrinos aus Reaktion (2.1.5) können eine Energie von 0,862 MeV oder 0,384 MeV haben, abhängig davon, ob das entstehende Lithiumatom angeregt ist oder nicht.
3. Sehr selten fängt der 7Be- Kern erst ein Proton ein, wodurch ein 8B - Kern und ein Photon entstehen. Der 8B - Kern sendet ein Positron und ein Neutrino aus, wodurch ein
8Be- Kern entsteht, der in 2 4He – Kerne zerfällt.
p B Be 8
7 (2.1.7)
e e
Be
B8
8 (2.1.8)
He Be 4
8 2 (2.1.9)
Die Neutrinos aus Reaktion (2.1.6) haben eine Energie E14,06MeV. Außerdem kommt es in sehr seltenen Fällen (2,4105%) zu der Reaktion
e e
He p
He 4
3 (2.1.10)
Schematisch lässt sich der pp- Zyklus folgendermaßen darstellen:
Abb. 2.2.10: Der pp- Zyklus
2.2 Der CNO- Zyklus:
Der CNO- Zyklus, auch Bethe- Weißzäcker- Zyklus genannt, liefert ca. 1,6% der aus der Sonne abgestrahlten Energie. Der Zyklus beginnt damit, daß ein 12C-Kern ein Proton einfängt, wobei ein 13N -Kern entsteht, der wiederum unter Emission von einem Positron und einem Neutrino in einen 13C -Kern umgewandelt wird:
p N C 13
12 (2.2.1)
e e
C
N13
13 (2.2.2)
Die Neutrinos aus Reaktion (2.2.2) haben eine Energie E1,2MeV.
Durch weitere Protoneneinfänge wird der 13C -Kern erst in einen 14N -Kern und dann in einen 15O-Kern umgewandelt:
p N C 14
13 (2.2.3)
p O N 15
14 (2.2.4)
Analog zu (2.2.2) entsteht nun ein 15N -Kern, der wieder ein Proton einfängt. Allerdings wird diesmal ein
-Teilchen ausgesendet, so daß wieder 12C entsteht.e e
N
O15
15 (2.2.5)
p C N 12
15 (2.2.6)
Die Neutrinos aus Reaktion (2.2.5) haben eine Energie E 1,73MeV .
Außerdem kann durch den Protoneneinfang von 15N auch 16O entstehen, wodurch eine längere Reaktionskette ausgelöst wird, die unter Anderem auch 15N und 14N hervorbringt,
aber auch schwerere Kerne, wie zum Beispiel 20Ne. Der genau Verlauf dieser Kette ist Abb.
2.2.7 zu entnehmen.
Abb. 2.2.7: Der CNO- Zyklus
Kapitel 3: Neutrinoexperimente:
Wegen ihrer sehr geringen Masse und der Tatsache, daß Neutrinos im Prinzip nur schwach wechselwirken, sind Neutrinos nur sehr schwer nachzuweisen. Wie oben erwähnt, wurde zuerst das Elektronneutrino über den inversen BETA- Zerfall (1.1.2) nachgewiesen. Bei den bisher durchgeführten Experimenten unterscheidet man zwischen radiochemischen Experimenten und Realzeitexperimenten.
3.1 : Radiochemische Experimente : Homestake
Das erste wichtige Sonnenneutrinoexperiment, das man durchgeführt hat, war das Homestake- Experiment, das seit 1970 durchgeführt wurde. Der Aufbau befand sich in der Homestake- Goldmine in South Dakota, USA. Dieser Aufbau befand sich 1480m unter der Erde, um den Strahlungshintergrund möglichst gering zu halten. Der eigentliche Aufbau bestand aus einem Tank mit 380m3 (615 Tonnen) flüssigem Perchlorethylen C2Cl4, das als Target diente (Abb. 3.1.2). Dabei fand folgende Nachweisreaktion statt:
Ar e
Cl e 37
37 (3.1.1)
Die Energieschwelle dieser Reaktion liegt bei 814 keV, d.h. es werden hier nur Neutrinos nachgewiesen, deren Energie oberhalb von 814 keV liegt.
Bei 37Arhandelt es sich um ein radioaktives Argonisotop mit einer Halbwertszeit von 35 Tagen. Nach Extraktion aus dem Targettank konnte das Argon in einem Proportionalzählrohr nachgewiesen werden. Zur Extraktion wurde nach einer Expositionszeit von 60 bis 70 Tagen ein stetiger Strom von Helium, dem kleine Mengen
36Ar und 38Ar zugesetzt wurde, durch den Targettank geleitet, wodurch das 37Ar mitgespült wurde. Das den Tank verlassende Edelgasgemisch wurde in mit Stickstoff gekühlte Holzkohlefallen geleitet, wodurch es von mitgespülten Perchlorethylenresten getrennt wurde, das hier kondensierte und sich auf der Holzkohle absetzte. Eine schematische Dartellung des verwendeten Aufbaus kann man auf Abbildung 3.1.3 sehen. Das Argon wurde dann mit einem Gaschromatographen vom Helium getrennt und in ein Proportionalzählrohr geleitet, wo man die 37Ar- Produktionsrate bestimmen konnte. Die experimentell bestimmte Zählrate betrug allerdins nur 34% der mit Hilfe des SSM vorhergesagten Zählrate.
Abb. 3.1.2
Abb. 3.1.3
3.2: Radiochemische Experimente: GALLEX und SAGE
Alternativ zu einem oben beschriebenen Chlor- Experiment hat man auch radiochemische Experimente mit Gallium durchgeführt. Die Nachweisreaktion ist hier folgende:
Ge e
Ga e 71
71 (3.2.1)
Die Energieschwelle dieser Reaktion liegt bei 233 keV, wodurch ein Galliumexperiment offensichtlich eine Verbesserung gegenüber einem Chlorexperiment darstellt. Zwei Galliumexperimente waren das GALLEX- Experiment in Italien, das von 1991 bis 1996 durchgeführt wurde und das SAGE- Experiment (Russian American Gallium Experiment) im Baskan Neutrinoobservatorium in Russland. Der Hautunterschied zwischen den beiden Experimenten liegt in der Menge des verwendeten Galliums, bei Gallex verwendete man 30,3 t Gallium als Target, bei SAGE waren es ca 50 t. Im folgenden soll GALLEX etwas ausfürlicher behandelt werden.
Das Aufbau befand sich zum Zweck der bestmöglichen Abschirmung unter einer Felsschicht, die eine Abschirmung lieferte, die etwa der von 3300 m Wasser entspricht. Das Gallium befand sich in einer GaCl3-HCl-Lösung. Nach Reaktion (3.2.1) wurde das Germanium in
Germaniumtetrachlorid (GeCl4)chemisch gebunden.
Das Germanium wurde dann mit einem Heliumstrom, dem eine kleine Menge an stabilem Germanium zugefügt war, aus dem Tank gespült. Die entstandene Gasmischung wurde durch eine geringe Menge Wasser
geleitet, wo das
Germaniumtetrachlorid absorbiert wurde. Nach mehrfachem Reinigen dieser Lösung wurde das GeCl4
durch Zugabe von tritiumfreien Kaliumboranat (KBH4) zum Zählgas German (GeH4) reduziert.
Dieses wurde dann gaschromatographisch
gereinigt und in
Proportionalzählrohre
weitergeleitet, wo dann die
71Ge- Produktionsrate bestimmt werden konnte.
Das Ergebnis des Versuchs war, daß etwa 28% dermit dem SSM vorhergesagten Neutrinos nachgewiesen wurden. Abbildung 3.2.2 zeigt eine schematisch Darstellung des GALLEX- Aufbaus.
Abb. 3.2.2
3.3 : Echtzeitexperimente: Kamiokande und Superkamiokande
Echtzeitexperimente unterscheiden sich von radiochemischen Experimenten darin, daß bei ihnen die Neutrinos sofort nachgewiesen werden, und daß man bei ihnen mehr Informationen über die Neutrinos erhält. So kann man je nach Aufbau des Experiments z.B. auch Flugrichtung und Energie der Neutrinos bestimmen, was bei radiochemischen Experimenten nicht möglich ist.
Die ersten zwei Experimente dieser Art sind das Kamiokande- und das Superkamiokande- Experiment. Das Kamiokande- Experiment befindet sich ca. 1000 m unter der Erde. Als Target dient hier ein Tank mit 3000 t reinem Wasser. Im Tank kann es nun zu elastischen Stößen zwischen Elektronen und Neutrinos kommen:
e e
(3.3.1)
Dabei kann das Elektron eine Geschwindigkeit erreichen, die oberhalb der Lichtgeschwindigkeit in Wasser ist. Wenn dies passiert, wird Cerenkov- Licht ausgestrahlt, das dann mit Hilfe von Photomultipliern nachgewiesen kann. Die Innenwand des Wassertanks ist mit insgesamt 948 Photomultipliern bedeckt. Mit ihnen ist es möglich, den entstehenden Lichtkegel komplett zu erfassen und so Informationen über Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit der Elektronen zu erhalten. Daraus lassen sich dann Neutrinoenergie und Streuwinkel bestimmen. Die Energieschwelle vom Kamiokande liegt bei 7.5 MeV.
Das Superkamiokande- Experiment unterscheidet sich vom Kamiokande – Experiment nur durch seine Größe und die Zahl und Qualität der Photomultiplier. Der Aufbau befindet sich wieder in 1000 m Tiefe, allerdings dienen hier 50000 t Wasser als Target und man verwendet hier 11200 Photomultiplier. Man kann hier eine einfache Rechnung durchführen, um die Genauigkeit der beiden Experimente zu vergleichen:
948 12 11200
#
#
6 , 6 17
17 23
Kamiokande kande Superkamio
Kamiokande kande Superkamio kande
Superkamio Kamiokande
plier Photomulti
plier Photomulti
Oberfläche Oberfläche V
V
(3.3.2)
Darauch folgt, daß sich auf einem Flächenelement bei Superkamiokande fast doppelt so viele Photomultiplier befinden wie bei Kamiokande. Die Energieschwelle bei Superkamiokande konnte auf ca. 5 MeV gesenkt werden. Bei den Kamiokande – Experimenten wurden wieder weniger Neutrinos nachgewiesen als vorhergesagt, die Zählrate betrug ca. 49% des erwarteten Wertes. Abbildung 3.3.3 zeigt ein Foto vom Superkmiokande- Experiment, als die Photomultiplier montiert wurden.
Abb. 3.3.3
3.4: Das SNO- Experiment:
Das Sudbury Neutrino Observatory befindet sich in der Nähe von Ontario. Der Aufbau liegt ca. 2300 m unter der Erde. Als Nachweismedium dienen hier 1000t schweres Wasser, der Aufbau verfügt über 9600 Photomultiplier.
Dadurch, daß hier schweres Wasser als Nachweismedium verwendet wird, gibt es hier gleich drei verschiedene Nachweisreaktionen:
1. Beim Stoß eines Elektronneutrinos mit einem Deuteron können zwei Protonen und ein Elektron entstehen. Man spricht hier von geladenem Strom (CC). Die Neutrinos, die an dieser Reaktion teilnehmen, haben eine Energie von mindestens 1,4 MeV. Mit dieser Nachweisreaktion kann nur der Fluß der Elektronneutrinos gemessen werden.
Abb. 3.4.1: geladener Strom
ee d e p
2
(3.4.2)
2. Ein Neutrino mit bliebigem Flavor kann ein Deuteron in ein Proton und ein Neutron aufspalten, wobei das Neutrino nicht umgewandelt wird. Dies bezeichnet man als neutralen Strom (NC). Die nötige Neutrinoenergie beträgt hier 2.2 MeV. Da hier keine Cerenkov- Elektronen entstehen, muss hier die Reaktion mit Hilfe der entstandenen Neutronen nachgewiesen werden. Zum Nachweis der Neutronen hat man eine gewisse Menge Chlor in den Tank gegeben, das die Neutronen einfägt und dabei Photonen ausstrahlt, die nachgewiesen werden können. Mit dieser Nachweisreaktion kann der Fluß aller Neutrinos gemessen werden.
Abb. 3.4.3: neutraler Strom
,
e x
x p p n
(3.4.4)
3. Es kommt immer noch zur normalen elastischen Streuung (ES), wie sie in 3.3.1 schon beschrieben wurde. An dieser Reaktion können alle Neutrinoflavors teilnehmen.
Abb. 3.4.5: elastische Streuung
48 . 6
1
,
e
x
x e e
(3.4.6)
Auf die Ergebnisse des SNO- Experiments werde ich im Kapitel 4.3 näher eingehen.
3.5:
Sonnenneutrinonergiespektrum und Energieschwellen der Neutrinoexperimente:Der Graph in Abbildung 3.5.1 zeigt den Fluß der Neutrinos über ihrer Energie, außerdem sind hier die Energieschwellen der oben beschriebenen Experimente eingezeichnet.
Die für Wasser angegebene Enegieschwelle ist nicht ganz exakt, weil die Energieschwelle hier sehr stark vom Versuchsaufbau abhängt.
Beispielsweise war die
Energieschwelle für Kamiokande 7,5 MeV und nicht 5 MeV. Allgemein läßt sich sagen, daß mit den radiochemischen Experimenten auch Neutrinos mit kleiner Energie nachgewiesen werden können.
Alle bisher vorgestellten Experimente wiesen allerding ein Defizit auf. In Abb 3.5.2 kann man die auf den Erwartungswert normierten Zählraten in Abhängigkeit von der Energieschwelle der Experimente ablesen.
Angesichts dieser Ergebnisse könnte man
vermuten, daß das Neutrinodefizit energieabhängig ist.
Abb. 3.5.1
Abb. 3.5.2
Kapitel 4: Das Sonnenneutrinoproblem:
Wie in den Abschnitten 3.1 bis 3.5 beschrieben wurde, wurden bei den bisher gemachten Experimenten zu wenige Elektronneutrinos nachgewiesen. Bei einigen Erklärungsversuchen für dieses Defizit hat man versucht, mit astrophysikalischen Effekten zu argumentieren. Das Standartsonnenmodell ist mit vielen Unscherheiten behaftet. Phänomene wie zum Beispiel helioseismische Effekte und Rotation des Sonnenkerns sind möglicherweise nicht richtig beschrieben worden, so daß hier eine mögliche Fehlerquelle liegt. Außerdem ist der Neutrinofluß stark abhängig von der Temperatur der Sonne. Der Fluß der 8B - Neutrinos ist proportional zur achtzehnten Potenz der Zentraltemperatur. Daneben kann man allerdings auch nach speziellen Eigenschaften der Neutrinos suchen, wie Neutrinozerfall, Dipolmomenten, und Neutrinooszillation.
4.1: Neutrinooszillation:
Bisher ging man davon aus, daß Neutrinos nur drei Flavoreigenzustände haben, nämlich e,
und . Im folgenden werden den Neutrinos zusätzlich noch drei Masseneigenzustände zugeschrieben, die man 1, 2 und 3 nennt. Man macht nun die Annahme, daß die Flavoreigenzustände Mischzustände der Masseneigenzustände sind.
3 2 1
321 321 321
UUU UUU UUU eee
e
(4.1.1)
Die Matrix U ist durch vier Größen zu parametrisieren: Die die Mischungswinkel 12, 13
und 23 und die Dirac- Phase . Die Matrix ist dann da Produkt von drei Drehmatrizen zu den Mischungswinkeln, von denen eine durch den Phasenfaktor ei ergänzt ist:
ij ijij ij
i
i e
e e
s c
c s
s c c
e s
e s c
c s
s c U
U U
U U U
U U U
sin und
cos mit
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0
0
0 0 1
12 12
12 12
13 13
13 13
23 23
23 23 3
2 1
3 2 1
3 2 1
(4.1.2)
Im folgenden soll nun die Neutrinooszillation im zwei- Flavour- Formalismus beschrieben werden.
4.2 Neutrinooszillation im 2- Flavour- Formalismus im Vakuum:
Hier geht man nur noch von zwei Flavour- und Massen- Eigenzuständen aus. Man hat hier die Flavours e und , sowie die Massenzustände 1 und 2 . Dementsprechend ist man jetzt nur noch auf einen Mischungswinkel angewiesen. Eine Dirac- verletzende Phase wie in 4.1 wird hier nicht betrachtet. Dafür wird in den folgenden Überlegungen die Massendifferenz der Masseneigenzustände betrachtet.
Die Flavoureigenzustände sind wie oben erwähnt Mischzustände der Masseneigenzustände, man verwendet also:
2 1
cossin sincos
e
(4.2.1)
Da sich aber die Neutrinomassen unterscheiden, entwickeln sich die Masseneigenzustände ebenfalls unterschiedlich mit der Zeit. Man erhält:
0 0 0
0
2 1 2 1
2 1
tiE tiE
e e t t
(4.2.2)
Entsprechend kann man die Schrödingergleichung für freie Neutrinos aufstellen:
t p m dtt
idi i i 2
2 (4.2.3)
Damit läßt sich in der Massendarstellung eine Hamiltonmatrix Hi aufstellen:
ij i i
ij p
H m 2
2
(4.2.4)
Unter Berücksichtigung der Mischung der Massenzustände kann man in der Flavourdarstellung auch eine Hamiltonmatrix H aufstellen:
UH U
H i (4.2.5)
Dabei ist U die Mischungsmatrix aus (4.2.1). Man erhält für H :
2 1 2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2
2 1 2
1 2 2
2 1 2 2 2
2 2 2
2 1 2
2 2 2
, mit
2 cos 2
sin
2 sin 2
cos 4
1 1 0
0 1 4
1
cos sin
cos sin
cos sin
sin cos
2 1
m m m D m m
pD p
m m
m m
m m m
m m
m m m H p
e e ee
(4.2.6)
Mit (4.2.1) und (4.2.2) kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der ein Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt einen bestimmten Flavour hat. Zum Beispiel kann man ein Neutrino betrachten, das zum Zeitpunkt t=0 als Elektronneutrino detektiert wurde. Die Wahrscheinlichkeit, daß es nach der Zeit t immer noch ein Elektronneutrino ist, ist dann
e e e t e 0 2
P (4.2.7)
Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Neutrino in der Zeut t in ein Myonneutrino umgewandelt wird folgendermaßen zu berechnen:
e
1 P e e 1 e t e 0 2P (4.2.8)
Nach genaueren Rechnungen erhält man:
nslänge Oszillatio
Strecke gte
zurückgele
sin 2 sin
1 2 2
Osz
Osz e
e
L L
L
P L
(4.2.9)
Die Oszillationslänge ist die Strecke, auf der die Wahrscheinlichkeit einer Umwandlung des Neutrinos einmal maximal und dann wieder minimal wird. Es gilt:
m m eV MeV
E m
LOsz E
42 2,48 22
(4.2.10) Dabei ist m2 die Differenz der Massenquadrate der Masseneigenzustände:
2 1
2 1 2 2
2 m m 2E E E
m
(4.2.11)
Hier ist zu beachten, daß in die Rechnung nur eine Massendifferenz einfließt, man rechnet hier nicht mit absoluten Neutrinomassen. Betrachtet man allerdings die Gleichungen (4.2.9) und (4.2.10), so kann man allerdings erkennen, daß es nur zu einer Neutrinooszillation kommen kann, wenn der Mischungswinkel und die Massendifferenz m2 ungleich null sind. Aus m2 0 folgt zumindest, daß es auch massive Neutrinos gibt. Die Existenz von masselosen Neutrinos läßt sich nicht ausschließen.
Der Mischungswinkel bestimmt offenbar nur die Amplitude der Oszillation, während die Massendifferenz die Oszillationslänge und damit auch die Frequenz der Oszillation beeinflusst. Wie man dem ersten sin2- Term in (4.2.9) entnehmen kann, ist die Oszillationsamplitude maximal für 45.
Abb. 4.2.12: Änderung der Umwandlungswahrscheinlichkeit mit der zurückgelegten Strecke
4.3: Neutrinooszillation in Materie:
Genau wie in 4.2 wird auch hier nur ein zwei- Flavour- Formalismus betrachtet, allerdings kann es hier abhängig von der Materie, in der sich die Neutrinos bewegen, andere Masseneigenzustände und Mischungswinkel geben:
m m mm e mm
2 1
cossin sincos
(4.3.1)
Die Änderung der Masse ergibt sich daraus, daß Elektronneutrinos im Gegensatz zu anderen Neutrinos nicht nur elastische Stöße mit den Elektronen in der Materie durchführen, sondern durch W- Austausch auch schwach mit ihnen wechselwirken (vgl. 3.4.6).
Analog zu (4.2.6) kann man in der Flavourdarstellung wieder eine Hamiltonmatrix Hm
aufstellen, allerdings muß hier die Änderung von mee2 beachtet werden:
2 , 1 Y
, 2
2 mit
0 0
0 2
1
e
e N e e
F m
m Y N p N G A
A H p
H
(4.3.2)
Dabei ist Ne die Teilchendichte der Elektronen und Ye die Zahl der Elektronen pro Nukleon in der Materie mit Dichte . Damit ergibt sich in der Massendarstellung ebenfalls eine neue Hamiltonmatrix Him:
A U pU H
U H U
Him m i
0 0
0 2
1
(4.3.3) Die Hamiltonmatrix in der Massendarstellung ist nun allerdings nicht mehr diagonal. Um die Masseneigenzustände der Matrix zu finden, muß man Hm diagonalisieren. Man erhält die folgenden Masseneigenzustände:
cos2 sin 2
2
1 2 2 4 2
2 2 ,
1 A A m m
m m (4.3.4)
Daraus ergibt sich eine Massendifferenz:
cos 2 sin2 2
2 2
2 2
2 2
1
2 m
m A m
m
mm m m (4.3.5)
Durch Diagonalisierung erhält man schließlich:
2 sin 2
cos 2 2 sin
sin 2
cos 2 2 sin
tan
2 2 2 2
m m A
A m
m (4.3.6)
Das Verhältnis 2 m A
wird auch mit bezeichnet, mit
2 2
3
10 7
52 , 1
eV m Y gcm MeV
E
e
(4.3.7)
4.4 Ergebnisse des SNO- Experiments:
Das SNO- Experiment und seine Nachweisreaktionen wurden bereits in Abschnitt 3.4 beschrieben. Der nach SSM erwartete Elektronneutrinofluss betrug 5,0510,,0181106cm2s1. Dabei wurden in einer Expositionszeit von 306 Tagen etwa 2000 Ereignisse mit geladenem Strom, 260 elastische Stöße und 580 Ereignisse mit neutralem Strom detektiert. Zu den drei Nachweisreaktionen konnte jeweils ein Neutrinofluß berechnet werden:
Ereignis Fluss
Geladener Strom CCSNO e 1,7600,,0605stat00,,0909syst106cmss1
Elastischer Stoß
00,,1212 6 124 , 0
23 , 0
, 2,39 10
SNOES e stat syst cm ss Neutraler Strom SNOCC e
, 5,0900,,4443stat00,,4643syst106cmss1Tabelle 4.4.1: Meßergebnisse des SNO- Experiments
Vergleicht man nun den gemessenen Elektronneutrinofluss mit dem durch das SSM vorhergesagten Fluß, so erhält man ein
Defizit von etwa 23 . Allerdings ist erkennbar, daß der Fluß aller Neutrinos mit dem nach SSM vorhergesagten Fluß übereinstimmt. Abbildung 4.4.2 zeigt die Meßergebnisse des SNO- Experiments.
Dabei stellen die verschiedenen Geraden den Fluß der Myon- und Tau- Neutrinos in Abhängigkeit vom Fluß der Elektronneutrinos dar.
Aus den in (4.4.1) und (4.4.2) dargestellten Ergennissen kann man schließen, daß nur etwa ein Drittel der Neutrinos aus der
Sonne die Erde als Elektronneutrinos erreichen, während die anderen zwei Drittel in Myon- oder Tau- Neutrinos umgewandelt werden.
Dies läßt den Schluß zu, daß es zur
Neutrinooszillation kommt. Aus den Abb. 4.4.2
erhaltenen Meßergebnissen kann man nun auch versuchen, m2 und den Mischungswinkel
zu bestimmen.
Die Abbildung (4.4.3) zeigt verschiedene Fits zur Bestimmung dieser Größen.
Abb. 4.4.3
Durch neuere Meßergebnisse hat man bestimmt, daß die LMA- Lösung (Large Mixing Angle) richtig sein muß, man erhält damit 34 und m2 5105eV2.
4.5: Das KamLAND- Reaktorneutrinoexperiment:
Um die Ergebnisse aus 4.4 zu überprüfen, muß man sich nicht nur auf die Beobachtung von Solaren Neutrinos beschränken. Deshalb werden beim KamLAND- Experiment Neutrinos aus verschiedenen Kernreaktoren beobachtet. Der Vorteil bei der Beobachtung von Reaktorneutrinos ist der, daß der Aufbau der Neutrinoquellen hier bekannt ist, so daß der Neutrinofluss genauer vorhergesagt werden kann, als das bei solaren Neutrinos möglich wäre.
Es ist zu beachten, daß die Reaktoren keine Neutrinos liefern, sondern Antineutrinos. Die Nachweisreaktion lautet damit:
n e p
e
(4.5.1)
Dies ändert jedoch nichts an der grundlegenden Funktionsweise des Experiments.
Der Neutrinodetektor ist von mehreren Reaktoren umgeben, der mittlere Abstand zwischen Neutrinoquelle und Detektor beträgt L 175km. Die Energie der Neutrinos liegt zwischen 1 MeV und 10 MeV. Anhand dieser Daten kann man nun die Oszillationslänge der Neutrinons berechnen:
L kmMeV E
eV LMA
m
m m
MeV m E
L
Vac Vac
Osz Osz
250 5
10 5 48 ,2
2 5 2
2 10 2
.2 .4
(4.5.2)
Vergleicht man die hier berechnete Oszillationslänge mit L , so sieht man, daß es auf jeden Fall einen deutlich erkennbaren Effekt geben muß, so daß der Test mit den Reaktorneutrinos möglich ist. Abbildung 4.5.3 zeigt die
Messergebnisse des Kamland – Experiments.
Dabei ist die Anzahl der detektierten Ereignisse über der Energie der detektierten Positronen aufgetragen. Im unteren Diagramm zeigt der schwarze Plot den erwarteten Verlauf für den Fall, daß es keine Neutrinooszillation gibt. Der blaue Plot zeigt einen Fit an die aufgenommenen Meßwerte.
Dabei wurde die Annahme sin2 1 gemacht. Die Kurve wurde bei der Schwellenenergie E 2,6MeV ausgewertet.
Unterhalb dieser Energie kann man davon ausgehen, daß das Ergebnis merklich durch Hintergrunsstrahlung verfälscht wird. Bei
MeV
E2,6 sind außerdem die meisten Ereignisse, so daß man hier das
„Neutrinodefizit“ am besten bestimmen kann.
Man erhält damit durch Rechnung für die Massendifferenz den Wert m2 6,9105eV2. Damit kann man sagen, daß die Ergebnisse, die man beim SNO- Experiment gefunden hat, ungefähr bestätigt werden.
Abb. 4.5.3
