Ubungen Mathematik C ¨

Bergische Universit¨at Wuppertal

Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften PD Dr. Schuster

Ubungen Mathematik C ¨

Blatt 5

Aufgabe 21: Berechnen Sie die folgenden Funktionswerte:

e^j−1, ln(−2), ln(−1 +j), cosh(jπ).

Aufgabe 22: Gegeben sei die Funktion f: C→ C, f(z) =z². Untersuchen Sie, wie die folgenden geometrischen Objekte abgebildet werden, und machen Sie jeweils eine Skizze.

(i) Die Halbgeradez=re^jϕ0,r≥0;

(ii) der Kreis |z|=r₀; (iii) die Geradez=x₀+jy;

(iv) die Geradez=x+jy₀.

Aufgabe 23: Skizzieren Sie f¨ur die folgenden Schaltungen jeweils dieZ-Ortskurve (Z der komplexe Widerstand) und dieW-Ortskurve (W = _Z¹ der komplexe Leitwert) bei

(a) ver¨anderlichem WiderstandR, (b) ver¨anderlicher induktiver Reaktanz.

- -

i i

−j5Ω C

R 5Ω R

XL

(a) (b)

Aufgabe 24: Stellen Sie fest, in welchen Punkten der komplexen Ebene die folgenden Funktionen komplex differenzierbar sind. Welche dieser Funktionen ist auf einer geeigneten Teilmenge vonCholomorph?

(i) f(z) =e^z

(ii) f(z) =e^Re(z)+je^Im(z) (iii) f(z) = lnz

Aufgabe 25: Zeigen Sie, dass die Funktionu:R² →R² definiert durch u(x, y) =e^x(xcosy−ysiny)

harmonisch ist, d.h. der Differentialgleichung ∆u= 0 gen¨ugt. Konstruieren Sie eine Funk- tionv:R²→R², so dass f :=u+jveine auf ganzCholomorphe Funktion ist. Versuchen Sie,f als Funktion vonz zu schreiben.