Zeige, dassf∗:T M →T N ein Diffeomorphismus ist

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2010 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Differentialgeometrie I¨

Blatt 8

Aufgabe 8.1. SeienM, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und seif :M →N ein Diffeomorphismus. Zeige, dassf_∗:T M →T N ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe 8.2. Seien M, N differenzierbare C^∞-Mannigfaltigkeiten und sei f : M → N ein Diffeomorphismus. Seien X, Y zwei C¹-Vektorfelder auf M und definiere f¨ur q∈N ein Vektorfeld aufN mittels

Xˆ|^q = (f_∗X)|f⁻¹(q). Zeige, dass f¨urp∈M

f_∗,p[X, Y]|^p=�X,ˆ Yˆ���

f(p)

gilt.

Aufgabe 8.3. Sei N eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. N heißt orientierbar, wenn es eine Familie von Karten vonN gibt, deren DefinitionsbereicheN ¨uberde- cken, so dass die Determinante der Jacobi-Matrix der Kartenwechsel stets positiv ist.

Sei nunM ⊂Rⁿ⁺¹ eine Untermannigfaltigkeit. Wir sagen, dassM als Hyperfl¨ache orientierbar ist, wenn es eine stetige Normale auf M gibt, d. h. es existiert eine stetige Abbildungν :M →Rⁿ⁺¹, so dass f¨urp∈M der Vektorν(p)∈(TpM)^⊥ ist und|ν(p)|= 1 erf¨ullt.

Zeige, dassM genau dann orientierbar ist, wenn es als Hyperfl¨ache orientierbar ist.

Aufgabe 8.4. Seif :B₁^m(0)→R^m+k eine differenzierbareC^∞-Einbettung, wobei B₁^m(0) den offenen Einheitsball in R^m darstellt. Bezeichne weiterhin mit M die Untermannigfaltigkeitf(B₁^m(0))⊂R^m+k.

Zeige, dass esk glatte AbbildungenNi :B₁^m(0)→R^m+k,1≤i≤k, gibt, so dass f¨urp∈B₁^m(0) die VektorenNi(p)∈(Tf(p)M)^⊥ sind und

�Ni(p), Nj(p)�=δij,1≤i, j≤k, erf¨ullen. Zeige, dass die Abbildung

F :B₁^m(0)×R^k →R^m+k, (x, y)�→f(x) +yⁱNi(x) ein Diffeomorphismus in einer Umgebung von (0,0) ist.

Abgabe:Bis Dienstag, 15.06.2010, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.