Funktionen ¨Ubungen (L+)

Funktionen

Ubungen (L+) ¨

Version vom 3. Februar 2020

Aufgabe 1.1

e d c b a D

t s r q p W

Nein, denn den Elementen b und e werden mehr als ein Element zugeordnet.

Aufgabe 1.2

e d c b a D

r W

Ja, denn jedem Element aus D wird genau ein Element aus W zugeordnet.

Aufgabe 1.3

e d c b a D

t s r q p W

Nein, denn dem Element a ∈D wird kein Element der Wertemenge zugeordnet und den Elementen a, b, d, e wird jeweils kein Element zugeordnet.

Aufgabe 1.4

e d c b a D

t s r q p W

Ja, denn jedem Element von D wird genau ein Element von W zugeordnet.

Aufgabe 1.5

e d c b a D

s r q p W

Nein, denn dem Element d∈D wird kein Element zugeordnet.

Aufgabe 1.6

e d c b a D

t s r q p W

Ja, denn jedem Element aus D wird genau ein Element aus W zugeordnet.

Aufgabe 1.7 x a b c d e y p q s r s

Nein, dem Elementf wird kein Wert zugeordnet.

Aufgabe 1.8 x a b c d e y p r s p s Ja

Aufgabe 1.9

4 x a b c d b y p r p q s

Nein, dem Elementb werden zwei verschiedene Werte zugeordnet.

Aufgabe 1.10

x y

a b c d e p

q r s t

Nein, denn dem Element b werden zwei Werte zugeordnet.

Aufgabe 1.11

x y

a b c d e p

q r s t

Nein, denn dem Element d wird kein Werte zugeordnet.

Aufgabe 1.12

e d c b a

D f

t s r q p W

(a) f⁻¹(s) ={c, e}

(b) f⁻¹(t) ={ } (c) f⁻¹(p) = {b}

Aufgabe 1.13 x a b c d e y s t q p q

(a) f⁻¹(p) = {d} (b) f⁻¹(q) = {c, e} (c) f⁻¹(r) = { }

Aufgabe 1.14

x y

a b c d e p

q r s t

(a) f⁻¹(p) = { } (b) f⁻¹(q) = {b, d} (c) f⁻¹(r) = {a, c, e}

Aufgabe 1.15

x y

a b c d e p

q r s t

e d c b a D

t s r q p W

Aufgabe 1.16

x d e a c b y p r s p r

x y

a b c d e p

q r s t

Aufgabe 1.17

e d c b a D

e d c b a f W

e d c b a D

e d c b a g W

(a) (g◦f)(b) = g(f(b)) =g(c) = b

(b) (f◦g)(b) = f(g(b)) =f(a) = d

(c) f³(c) =f(f(f(c))) =f(f(e)) =f(b) = c Aufgabe 1.18

x a b c d

f(x) c d a b

x a b c d

g(x) c b d a

x a b c d

h(x) b c d a

(a) (h◦g◦f)(c) =h(g(f(c))) =h(g(a)) =h(c) =d (b) (f◦g◦h)(c) =f(g(h(c))) =f(g(d)) = f(a) = c (c) (g◦h◦f)(c) =g(h(f(c))) =g(h(a)) =g(b) =b Aufgabe 1.19

x a b c d a

b c d

y=f(x)

x a b c d a

b c d

y=g(x)

(a) (g◦f)(b) = g(f(b)) =g(d) =c (b) (f◦g)(b) = f(g(b)) =f(c) =b

(c) f¹⁰(c) = f⁹(b) =f⁸(d) =f⁷(c) = · · ·=f⁴(c) = f¹(c) =b (d) g⁴²(c) =g⁴¹(b) =g⁴⁰(c) = · · ·=g¹(b) =c

Aufgabe 1.20

e d c b a D

e d c b a f W

e d c b a W

e d c b a f⁻¹ D

Die Funktion ist umkehrbar.

Aufgabe 1.21

e d c b a D

e d c b a f W

e d c b a W

e d c b a f⁻¹ D

Die Funktion ist nur eingeschr¨ankt umkehrbar.

Aufgabe 1.22

D={a, b, c/, d/},W ={a, b/, c, d/}

x a b c/ //d y=f(x) c a a c

y a c

x=f⁻¹(y) b a f ist nur eingeschr¨ankt umkehrbar.

Aufgabe 1.23

D={a, b, c, d},W ={a, b, c, d}

x a b c d

y=f(x) c d b a

y a b c d

x=f⁻¹(y) d c a b f ist umkehrbar

Aufgabe 2.1 c:p=c(t)

(a) c: Funktionsname

(b) p: abh¨angige Variable, Wert (c) p=c(t): Funktionsgleichung

(d) t: unabh¨angige Variable, Argument, Stelle (e) c(t): Funktionsterm

Aufgabe 2.2 f(x) = −3x+ 4

(a) f(1) = (−3)·1 + 4 = 1 (b) f(0) = (−3)·0 + 4 = 4 (c) f(⁴₃) = (−3)· ⁴₃ + 4 = 0 (d) f(−¹₂) = −3· −¹₂

+ 4 = ³₂ +⁸₂ = ¹¹₂ Aufgabe 2.3

f(x) = x²−x−6

(a) f(5) = 25−5−6 = 14 (b) f(0) = 0−0−6 =−6

(c) f(−2) = 4 + 2−6 = 0 (d) f(2) = 4−2−6 =−4 Aufgabe 2.4

f(x) = x+ 3 x+ 1 (a) f(2) = 2 + 3

2 + 1 = 5 3 (b) f(0) = 0 + 3

0 + 1 = 3 (c) f(−3) = −3 + 3

−3 + 1 = 0

−2 = 0 (d) f(−1) = −1 + 3

−1 + 1 = 2

0 nicht definiert

Aufgabe 2.5

f(x) = (x−2)(x+ 5)

(a) f(0) = (0−2)(0 + 5) =−10 (b) f(3) = (3−2)(3 + 5) = 8

(c) f(2) = (2−2)(2 + 5) = 0 (d) f(⁵₂) = ⁵₂ − ⁴_{2 5}

2 +¹⁰₂

= ¹₂ ·¹⁵₂ = ¹⁵₄ Aufgabe 2.6

f(x) = p 7−√

x (a) f(0) = p

7−√ 0 =√

7 (b) f(9) = p

7−√ 9 =√

7−3 = √ 4 = 2 (c) f(36) =p

7−√

36 =√

7−6 =√ 1 = 1 (d) f(100) =p

7−√

100 =√

7−10 =√

−3 nicht definiert Aufgabe 2.7

f(x) = 5x 1 +x² (a) f(1) = 5·1

1 + 1² = 5 2 (b) f(0) = 2·0

1 + 0² = 0 1 = 0 (c) f(7) = 5·7

1 + 7² = 35 50 = 7

10 (d) f(¹₂) = 5·¹₂

1 + ¹₄ = 5 2 : 5

4 = 5 2 · 4

5 = 2 Aufgabe 2.8

f(x, y) = 2x−3y+ 1

(a) f(0,0) = 2·0−3·0 + 1 = 1 (b) f(4,3) = 2·4−3·3 + 1 = 0

(c) f(2,−1) = 2·2−3·(−1) + 1 = 8

Aufgabe 2.9 f(r, s, t) = r−s

s+t

(a) f(2,1,1) = 2−1 1 + 1 = 1

2 (b) f(5,−3,−5) = 5 + 3

−3−5 = 8

−8 =−1 (c) f(2,−1,3) = 2 + 1

−1 + 3 = 3 2 Aufgabe 2.10

Gegeben: f: y=x+ 3 undg: y=√ x (a) g(f(1)) =g(1 + 3) = g(4) =√

4 = 2 (b) g(f(−2)) =g(−2 + 3) =g(1) =√

1 = 1 (c) g(f(a²−3)) =g(a²−3 + 3) =g(a²) = √

a² =|a|

Aufgabe 2.11

Gegeben: f: y=x+ 2 undg: y= x+ 1 x−1 (a) g(f(3)) =g(3 + 2) = g(5) = 5 + 1

5−1 = 6 4 = 3

2 (b) f(g(3)) =g

3 + 1 3−1

=g(2) = 2 + 2 = 4 (c) f(f(3)) =f(3 + 2) = f(5) = 5 + 2 = 7 (d) g(g(3)) =g(2) = 2 + 1

2−1 = 3 Aufgabe 2.12

Gegeben: f: y= 3−xund g:y =x²−2.5x+ 1 (a) f²(1) =f(f(1)) =f(2) = 1

(b) f²³(1) =f²¹(1) =· · ·=f¹(1) = 2 (c) g³(1) =g²(−0.5) =g(2.5) = 1

(d) g³⁸(1) =g³⁵(1) =· · ·=g²(1) =g(−0.5) = 2.5

Aufgabe 2.13

f:y = 2x+ 3.

(a) 7 = 2x+ 3 4 = 2x x= 2

⇒ f⁻¹(7) ={2}

(b) 0 = 2x+ 3

−3 = 2x x=−³₂

⇒ f⁻¹(0) ={−³₂}

(c) −1 = 2x+ 3

−4 = 2x x=−2

⇒ f⁻¹(−1) = {−2}

Aufgabe 2.14

f:y =x²+ 5.

(a) 14 =x²+ 5 9 =x² x=±3

⇒ f⁻¹(14) ={−3,3}

(b) 5 =x² + 5 0 =x² x= 0

⇒ f⁻¹(5) ={0}

(c) 4 =x²+ 5

−4 =x²

⇒ keine Urbilder

Aufgabe 2.15

Funktionsgleichung nachx aufl¨osen . . . y= ¹₂x+ 3

2y=x+ 6 x= 2y−6

. . . und Variablen vertauschen:

f⁻¹:y = 2x−6

Aufgabe 2.16

Funktionsgleichung nachx aufl¨osen . . . y = x+ 2

x−3 y(x−3) =x+ 2

xy−3y =x+ 2 xy−x= 3y+ 2 x(y−1) = 3y+ 2 x= 3y+ 2 y−1

. . . und Variablen vertauschen:

f⁻¹:y = 3x−2 x−1 Aufgabe 2.17

Funktionsgleichung nachx aufl¨osen . . . y=√

x+ 3 y² =x+ 3 y²−3 = x

x=y²−3

. . . und Variablen vertauschen:

f⁻¹:y =x²−3

Aufgabe 3.1 f(x) = ¹₂x

x −4 −2 0 2 4 y −2 −1 0 1 2

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.2 f(x) = x²−4

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 21 12 5 0 −3 −4 −3 0 5 12 21

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.3 f(x) = 3

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.4 f(x) = −x

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.5 f(x) = 1/x

x −4 −2 −1 −¹₂ −¹₄ 0 ¹₄ ¹₂ 1 2 4 y −¹₄ −¹₂ −1 −2 −4 – −4 2 1 ¹₂ ¹₄

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.6 f(x) = |x+ 1| −2

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y 2 1 0 −1 −2 −1 0 1 2 3 4

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.7 f(x) = 1−¹₂x

x −4 −2 0 2 4

y 3 2 1 0 −1

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 3.8

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 2·0−3 = −3 Nullstelle(n): 0 = 2x−3

2x= 3 x= ³₂ Aufgabe 3.9

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 0²−1.44 = −1.44 Nullstelle(n): f(x) = 0

x²−1.44 = 0 x² = 1.44 x₁ = 1.2 x₂ =−1.2 Aufgabe 3.10

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 0−1 0 + 1 =−1 Nullstelle(n): f(x) = 0

x−1 x+ 1 = 0

x−1 = 0 x= 1 Aufgabe 3.11

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 4−√

0 + 3 = 4−√ 3 Nullstelle(n): f(x) = 0

4−√

x+ 3 = 0 4 = √

x+ 3 16 = x+ 3

x= 13 Probe: 4−√

13 + 3 = 4−√

16 = 4−4 = 0 (ok) Aufgabe 3.12

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 4−0

0 + 3 nicht definiert Nullstelle(n): f(x) = 0

4−x

x + 3 = 0 || ·x 4−x+ 3x= 0

4 + 2x= 0 2x=−4

x=−2 Aufgabe 3.13

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 3−0

1 + 0 −2 = 3−2 = 1 Nullstelle(n): f(x) = 0

3−x

1 +x −2 = 0 3−x 1 +x = 2

3−x= 2(1 +x) 3−x= 2 + 2x

1 = 3x x= ¹₃

Aufgabe 3.14

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 0²+ 4 = 4 Nullstelle(n): f(x) = 0

x²+ 4 = 0 x² =−4 keine L¨osung – keine Nullstelle Aufgabe 3.15

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = (0−1)(0 + 2)(0−4) = 8 Nullstelle(n): f(x) = 0

(x−1)(x+ 2)(x−4) = 0 x1 = 1 x₂ =−2 x₃ = 4 Aufgabe 3.16

Ordinatenabschnitt: y=f(0) = 0²−3·0 = 0 Nullstelle(n): f(x) = 0

x² −3x= 0 x(x−3) = 0 x₁ = 0 x₂ = 3 Aufgabe 3.17

P(3,7)∈G_f ⇔ x= 3 und y= 7 erf¨ullen y=f(x) 7 = 3²−2·3 + 4

7 = 7 P ∈G_f

Aufgabe 3.18

P(¹₄,2)∈G_f ⇔ x= ¹₄ und y= 2 erf¨ullen y=f(x) 2 =√

6 + 0.25−√

2 + 0.25 2 =√

6.25−√ 2.25 2 = 2.5−1.5 2 = 1

P /∈G_f

Aufgabe 3.19

P(−2,4)∈G_f ⇔ x=−2 und y= 4 erf¨ullen y=f(x) 4 = 5·(−2)−2

2·(−2) + 1 4 = −12

−3 4 = 4 P ∈G_f

Aufgabe 4.1 f(x) = 2x−3

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.2 f(x) = ¹₃x+ 1

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.3 f(x) = −³₂x+ 2

x y

2 2 y=f(x)

Aufgabe 4.4 f(x) = 3x−4

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.5 f(x) = −¹₄x−3

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.6 f(x) = −⁵₂x−1

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.7 f(x) = x−2

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.8 f(x) = −¹₂x+³₂

x y

2 2 y=f(x)

Aufgabe 4.9 f(x) = ⁷₃x−4

x y

2 2 y=f(x)

Aufgabe 4.10 f(x) = ¹₄x−⁵₂

x y

2 2

y=f(x)

Aufgabe 4.11

y=f(6) = ⁵₃ ·6 + 7 = 17 Aufgabe 4.12

−5 =−³₄x+ 1 || ·4

−20 =−3x+ 4

−24 =−3x

x= 8

Aufgabe 4.13

P(2,11) ∈G_f ⇔ x= 2, y = 11 erf¨ullen y=f(x) 11 = 3·2 +q

11 = 6 +q q = 5

Aufgabe 4.14

P(−4,9)∈G_f ⇔ x=−4, y= 9 erf¨ullen y=f(x) 9 =m·(−4) + 7

2 =−4m m=−²₄ =−¹₂

Aufgabe 4.15

P(−5,7)∈G_f ⇔ x=−5, y= 7 erf¨ullen y=f(x) 7 =−⁴₃ ·(−5) +q || ·3

21 = 20 + 3q 1 = 3q q = ¹₃

Aufgabe 4.16

P(¹₂,−3)∈G_f ⇔ x= ¹₂, y=−3 erf¨ullen y=f(x)

−3 =m·¹₂ −4

−6 =m−8 m = 2

Aufgabe 4.17

P(2,3) und Q(4,4) m= y_Q−y_P

x_Q−x_P = 1 2 q=yP −m·xP = 2 y= ¹₂x+ 2

Aufgabe 4.18

P(−2,1) und Q(1,−5) m= y_Q−y_P

x_Q−x_P =−2 q=y_P −m·x_P =−3 y=−2x−3

Aufgabe 4.19 f(x) = g(x) 2x+ 3 = 3x−2

−x=−5 x= 5

y=f(5) = 13

⇒ S(5,13)

Aufgabe 4.20 f(x) =g(x)

3

2x+¹₂ = ³₂x+⁵₂ 3x+ 1 = 3x+ 5

1 = 5

⇒ keine L¨osung Aufgabe 4.21

f(x) =g(x)

1

4x+³₅ = ³₄x− ¹₅

−¹₂x=−⁴₅ x= ⁸₅

y=f(⁸₅) = 1

⇒ S(⁸₅,1) Aufgabe 4.22

g hat gleiche Steigung wie f ⇒ g: y= 2x+q P(3,4)∈G_g ⇔ x= 3, y= 4 erf¨ullt y =g(x) 4 = 2·3 +q

q =−2 g: y= 2x−2 Aufgabe 4.23

g hat gleiche Steigung wie f ⇒ g: y=−⁴₃x+q P(−6,7)∈G_g ⇔ x=−6, y= 7 erf¨ullt y=g(x) 7 =−⁴₃ ·(−6) +q

7 = 8 +q q =−1

g: y=−⁴₃x−1

Aufgabe 4.24

(a) f(x) = 2x+ 4 ⇒ m_f = 2 ⇒ m_g =−¹₂ (b) f(x) = −5x−3 ⇒ m_f =−5 ⇒ m_g = ¹₅

(c) f(x) = x ⇒ m_f = 1 ⇒ m_g =−1 (d) f(x) = ²₃x ⇒ m_f = ²₃ ⇒ m_g =−³₂

(e) f(x) = −⁷₄x+⁶₇ ⇒ m_f =−⁷₄ ⇒ m_g = ⁴₇ (f) f(x) = −x+ 9 ⇒ mf =−1 ⇒ mg = 1 Aufgabe 4.25

f:y = ¹₂x−3

mg =−1/mf =−2 ⇒ g: y=−2x+q

P(4,5)∈G_g ⇔ x= 4, y= 5 erf¨ullt y =g(x):

5 =−2·4 +q q = 13

⇒ g: y=−2x+ 13 Aufgabe 4.26 f:y =−³₅x+ 7

mg =−1/mf = ⁵₃ ⇒ g:y = ⁵₃x+q

P(3,−1)∈G_g ⇔ x= 3, y=−1 erf¨ullt y=g(x):

−1 = ⁵₃ ·3 +q

−1 = 5 +q q =−6

⇒ g: y= ⁵₃x−6

Aufgabe 4.27

f:y = ¹₂x−2 ⇒ y = ¹₂x−2 2y =x−4

x= 2y+ 4

⇒ f⁻¹: y= 2x+ 4

x y

2 2

G_f G_f−1

Aufgabe 4.28

f:y =−¹₂x+ 2 ⇒ y=−¹₂x+ 2 2y=−x+ 4

x=−2y+ 4

⇒ f⁻¹: y=−2x+ 4

x y

2 Gf 2

G_f−1

Aufgabe 4.29

f:y = ³₄x ⇒ y= ³₄x

4 3y=x

x= ⁴₃y

⇒ f⁻¹: y= ⁴₃x

x y

2

2 Gf

G_f−1

Aufgabe 4.30

f(x) = −x−2 ⇒ y=−x+ 2 x=−y+ 2

⇒ f⁻¹: y=−x+ 2

x y

2 2

Gf =G_f−1

(f =f⁻¹ ⇒ Involution)