Formale Modellierung Vorlesung 1 vom 24.04.14: Einführung

(1)

Formale Modellierung

Vorlesung 1 vom 24.04.14: Einführung

Serge Autexier & Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2014

(2)

Organisatorisches

I Veranstalter:

Serge Autexier Christoph Lüth serge.autexier@dfki.de christoph.lueth@dfki.de

MZH 3120, Tel. 59834 MZH 3110, Tel. 59830

I Termine:

Montag, 16 – 18, MZH 1100 Donnerstag, 14 – 16, MZH 1100

I Webseite:

(3)

Ariane-5

(4)

Die Vasa

(5)

Modellierung — Das Prinzip

Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

I GrundlegendesPrinzip der Naturwissenschaften

(6)

Modellierung — Das Prinzip

Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

(7)

Modellierung — Das Prinzip

Welt Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

(8)

Modellierung — Das Prinzip

Welt Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

(9)

Modellierung — Beispiele

2Mg + O2 −→ 2MgO

(10)

Modellierung — Beispiele

x =at²+bt+c

(11)

Modellierung — Beispiele

T₁ T2

2

= a₁

a2

3

(12)

Arten der Modellierung

I Computer— diskrete Mathematik, formale Logik

I PhysikalischeSysteme — kontinuierliche Mathematik, DGL

I EingebetteSysteme (CPS) — beides

(13)

Lernziele

1. Modellierung— Formulierung von Eigenschaften

2. Beweis— Formaler Beweis der Eigenschaften

3. Spezifikationund Verifikation — Eigenschaften vonProgrammen

(14)

Lernziele

(15)

Lernziele

(16)

Themen

I Formale Logik:

I Aussagenlogik (A∧B,A−→B), Prädikatenlogik (∀x.P)

I Formales Beweisen: natürliches Schließen

I Induktion, induktive Datentypen, Rekursion

I Die Gödel-Theoreme

I Spezifikation und Verifikation:

I Formale Modellierung mit der UML und OCL

I Temporale Logik

I Hybride Systeme

(17)

Der Theorembeweiser Isabelle

I InteraktiverTheorembeweiser

I Entwickelt inCambridge undMünchen

I Est. 1993 (?), ca. 500 Benutzer

I Andere: PVS, Coq, ACL-2

I Vielfältig benutzt:

I VeriSoft (D) —http://www.verisoft.de

I L4.verified (AUS) —

http://ertos.nicta.com.au/research/l4.verified/

I SAMS (Bremen) —http://www.projekt-sams.de

(18)

Formale Logik

I Formale(symbolische) Logik: RechnenmitSymbolen

I Programme:Symbolmanipulation

I Auswertung:Beweis

I Curry-Howard-Isomorphie:

funktionale Programme∼=konstruktiver Beweis

(19)

Geschichte

I GottlobFrege (1848– 1942)

I ‘Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens’(1879)

I GeorgCantor(1845– 1918), BertrandRussel (1872– 1970), Ernst Zermelo(1871– 1953)

I Einfache Mengenlehre: inkonsistent (Russel’s Paradox)

I Axiomatische Mengenlehre: Zermelo-Fränkel

I DavidHilbert(1862– 1943)

I Hilbert’s Programm: ‘mechanisierte’ Beweistheorie

I KurtGödel (1906– 1978)

I Vollständigkeitssatz,Unvollständigkeitssätze

(20)

Grundbegriffe der formalen Logik

I AbleitbarkeitTh`P

I SyntaktischeFolgerung

I GültigkeitTh|=P

I SemantischeFolgerung

I KlassischeLogik:P∨ ¬P

I Entscheidbarkeit

I Aussagenlogik

I Konsistenz:Th6` ⊥

I Nicht allesableitbar

I Vollständigkeit:jede gültige Aussageableitbar

I Prädikatenlogikerster Stufe

(21)

Unvollständigkeit

I Gödels 1.Unvollständigkeitssatz:

I JedeLogik, diePeano-Arithmetikformalisiert, ist entweder inkonsistent oderunvollständig.

I JedeLogik, die ihre eigeneKonsistenzbeweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

I Hilbert’s Programmterminiert nicht.

I Programmenicht vollständig spezifierbar.

I Spezifikationssprachenimmerunvollständig(oder uninteressant).

I Mitanderen Worten:Es bleibt spannend.

(22)

Unvollständigkeit

I JedeLogik, die ihre eigeneKonsistenz beweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

(23)

Unvollständigkeit

I Auswirkungen:

(24)

Unvollständigkeit

I Auswirkungen:

(25)

Nächste Woche

I Aussagenlogik

I Erstes Übungsblatt

(26)

Vorlesung 2 vom 28.04.14: Aussagenlogik und natürliches Schließen

Universität Bremen

Sommersemester 2014

(27)

Organisatorisches

I Montagstermin?

I Keine Übung am Donnerstag (01. Mai)

I Dafür Übung nächsten Montag (05. Mai)

I Nächste VL am Donnerstag (08. Mai)

(28)

Heute

I Einführung in dieformale Logik

I Aussagenlogik

I Beispiel für eineeinfache Logik

I GuterAusgangspunkt

I Natürliches Schließen

I Wird auch vonIsabelleverwendet.

I Buchempfehlung:

Dirk van Dalen:Logic and Structure. Springer Verlag, 2004.

(29)

Fahrplan

I Teil I: Formale Logik

I Einführung

I Aussagenlogik: Syntax und Semantik, Natürliches Schließen

I Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik

I Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik

I Konsistenz & Vollständigkeit von FOL

I Beschreibungslogiken

I FOL mit induktiven Datentypen

I FOL mit Induktion und Rekursion

I Die Unvollständigkeitssätze von Gödel

I Teil II: Spezifikation und Verifikation

(30)

Formalisierung von Aussagen

I Beispielaussagen:

1. John fuhr weiter und stieß mit einem Fußgänger zusammen.

2. John stieß mit einem Fußgänger zusammen und fuhr weiter.

3. Wenn ich das Fenster öffne, haben wir Frischluft.

4. Wenn wir Frischluft haben, dann ist 1+3=4 5. Wenn 1+2=4, dann haben wir Frischluft.

6. John arbeitet oder ist zu Hause.

7. Euklid war ein Grieche oder ein Mathematiker.

I Probleme natürlicher Sprache:

I Mehrdeutigkeit

I Synonyme

I Versteckte (implizite) Annahmen

(31)

Formale Logik

I Ziel:Formalisierungvon Folgerungenwie

I Wenn es regnet, wird die Straße nass.

I Es regnet.

I Also ist die Straße nass.

I Nachts ist es dunkel.

I Es ist hell.

I Also ist es nicht nachts.

I EineLogik besteht aus

I EinerSpracheLvonFormeln(Aussagen)

I EinerSemantik, die Formeln eineBedeutungzuordnet

I Schlußregeln(Folgerungsregeln) auf den Formeln.

I Damit:Gültige(“wahre”) Aussagen berechnen.

(32)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(33)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(34)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(35)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(36)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(37)

Beispiel für eine Logik

I SpracheL={♣,♠,♥,♦}

I Schlußregeln:

♦

♣ α ♦

♠ β ♣ ♠

♥ γ

♦ δ

I Beispielableitung:♥

(38)

Beispiel für eine Logik

I Schlußregeln:

♦

♣ α ♦

♠ β ♣ ♠

♥ γ

♦ δ

(39)

Aussagenlogik

I SprachePropgegeben durch:

1. Variablen (Atome)V ⊆ Prop(MengeV gegeben) 2. ⊥ ∈ Prop

3. Wennφ, ψ∈ Prop, dann

I φ∧ψ∈ Prop

I φ∨ψ∈ Prop

I φ−→ψ∈ Prop

I φ←→ψ∈ Prop

4. Wennφ∈ Prop, dann ¬φ∈ Prop.

I NB. Präzedenzen:¬ vor∧vor ∨vor−→,←→

(40)

Wann ist eine Formel gültig?

I SemantischeGültigkeit|=P

I Übersetzungin semantischeDomäne

I Variablen sindwahroderfalsch

I Operationenverknüpfendiese Werte

I SyntaktischeGültigkeit`P

I FormaleAbleitung

I Natürliches Schließen

I Sequenzenkalkül

I Andere (Hilbert-Kalkül,gleichungsbasierte Kalküle, etc.)

(41)

Semantik

I Domäne:{0,1} (0 fürfalsch, 1 fürwahr)

Definition (Semantik aussagenlogischer Formeln)

Für Valuationv :V → {0,1} ist[[·]]_v :Prop→ {0,1}definiert als

[[w]]v =v(w) (mit w ∈V) [[⊥]]_v =0

[[φ∧ψ]]_v =min([[φ]]_v,[[ψ]]_v) [[φ∨ψ]]_v =max([[φ]]_v,[[ψ]]_v)

[[φ−→ψ]]v =0⇐⇒[[φ]]v =1 und[[ψ]]v =0 [[φ←→ψ]]v =1⇐⇒[[φ]]v = [[ψ]]v

[[¬φ]]_v =1−[[φ]]_v

(42)

Semantische Gültigkeit und Folgerung

I Semantische Gültigkeit:|=φ

|=φgdw. [[φ]]v =1 für allev

I Semantische Folgerung: seiΓ⊆Prop, dann

Γ|=ψ gdw. [[ψ]]v =1 wenn[[φ]]v =1 für alleφ∈Γ

(43)

Beweisen mit semantischer Folgerung

I DieWahrheitstabellenmethode:

I Berechne[[φ]]_v für alle Möglichkeiten fürv

I Beispiel:|= (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

I Problem: Aufwand exponentiell 2^a zur Anzahl a der Atome

I Vorteil:Konstruktion von Gegenbeispielen

(44)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

(45)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

(46)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

(47)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

(48)

Natürliches Schließen (ND)

I Vorgehensweise:

1. Erst Kalkül nur für∧,−→,⊥

2. DannErweiterungauf alleKonnektive.

I Für jedesKonnektiv:Einführungs- und Eliminationsregel

I NB:konstruktiver Inhalt der meisten Regeln

(49)

Beispiel für Natürliches Schließen

I Schlußregeln:

♦

♣ α ♦

♠ β ♣ ♠

♥ γ

[♦]

...

♥

♥ δ⁰

(50)

Natürliches Schließen — Die Regeln

φ ψ

φ∧ψ ∧I φ∧ψ

φ ∧E_L φ∧ψ ψ ∧E_R

[φ]

... ψ

φ−→ψ −→I

φ φ−→ψ

ψ −→E

⊥ φ ⊥

[φ−→ ⊥]

...

⊥

φ raa

(51)

Die fehlenden Konnektive

I Einführung alsAbkürzung:

¬φ ^def= φ−→ ⊥

φ∨ψ ^def= ¬(¬φ∧ ¬ψ)

φ←→ψ ^def= (φ−→ψ)∧(ψ−→φ)

I Ableitungsregeln alsTheoreme.

(52)

Die fehlenden Schlußregeln

[φ]

...

⊥

¬φ ¬I φ ¬φ

⊥ ¬E

φ

φ∨ψ ∨I_L ψ φ∨ψ ∨I_R

φ∨ψ [φ]

... σ

[ψ]

... σ

σ ∨E

φ−→ψ ψ−→φ

φ←→ψ ←→I φ φ←→ψ

ψ ←→E_L ψ φ←→ψ

φ ←→E_R

(53)

Zusammenfassung

I Formale Logikformalisiertdas (natürlichsprachliche) Schlußfolgern

I Logik: Formeln, Semantik, Schlußregeln (Kalkül)

I Aussagenlogik: Aussagen mit∧,−→,⊥

I ¬,∨,←→als abgeleitete Operatoren

I Semantikvon Aussagenlogik [[·]]_v :Prop→ {0,1}

I NatürlichesSchließen: intuitiver Kalkül

I Nächste Woche:

I Konsistenz und Vollständigkeit von Aussagenlogik

(54)

Vorlesung 3 vom 05.05.14: Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik

Universität Bremen

Sommersemester 2014

(55)

Organisatorisches

I Übung amDonnerstag 08.05.14muss ausfallen.

I Ersatztermin?

(56)

Fahrplan

I Einführung

(57)

Das Tagesmenü

I Einige Eigenschaften der Aussagenlogik (PL)

I Γ`φ vs.Γ|=φ:

I Korrektheit

I Konsistenz

I Vollständigkeit

(58)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Propbildet eine Boolesche Algebra:

|= (φ∨ψ)∨σ ←→φ∨(ψ∨σ)

|= (φ∧ψ)∧σ ←→φ∧(ψ∧σ)

|=φ∨ψ←→ψ∨φ

|=φ∧ψ←→ψ∧φ

|=φ∨(ψ∧σ)←→(φ∨ψ)∧(φ∨σ)

|=φ∧(ψ∨σ)←→(φ∧ψ)∨(φ∧σ)

|=¬(φ∨ψ)←→ ¬φ∧ ¬ψ

|=¬(φ∧ψ)←→ ¬φ∨ ¬ψ

|=φ∨φ←→φ

|=φ∧φ←→φ

|=¬¬φ←→φ

(59)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Rechnen inProp:

I Substitutivität:

wenn|=φ1←→φ2, dann |=ψφ₁ p

←→ψφ₂ p

für Atomp.

I Seiφ≈ψgdw.|=φ←→ψ, dann ist≈eineÄquivalenzrelation

I Damit: algebraischesUmformenals Beweisprinzip

I Beispiele: |= (φ−→(ψ−→σ))←→(φ∧ψ−→σ)

|=φ−→ψ−→φ

(60)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Operatoren durch andere definierbar:

|= (φ←→ψ)←→(φ−→ψ)∧(ψ−→φ)

|= (φ−→ψ)←→(¬φ∨ψ)

|=φ∨ψ←→(¬φ−→ψ)

|=φ∨ψ←→ ¬(¬φ∧ ¬ψ)

|=φ∧ψ←→ ¬(¬φ∨ ¬ψ)

|=¬φ←→(φ−→ ⊥)

|=⊥ ←→(φ∧ ¬φ)

|=> ←→(φ∨ ¬φ)

I (∧,¬) und (∨,⊥) sindausreichend (functional complete)

I Anwendung: konjunktive und disjunktiveNormalformen(CNF/DNF)

I Ein Operator reicht:A|B (Sheffer-Strich),A↓B (weder-noch)

(61)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Operatoren durch andere definierbar:

|= (φ←→ψ)←→(φ−→ψ)∧(ψ−→φ)

|= (φ−→ψ)←→(¬φ∨ψ)

|=φ∨ψ←→(¬φ−→ψ)

|=φ∨ψ←→ ¬(¬φ∧ ¬ψ)

|=φ∧ψ←→ ¬(¬φ∨ ¬ψ)

|=¬φ←→(φ−→ ⊥)

|=⊥ ←→(φ∧ ¬φ)

|=> ←→(φ∨ ¬φ)

I (∧,¬) und (∨,⊥) sindausreichend (functional complete)

I Anwendung: konjunktive und disjunktiveNormalformen(CNF/DNF)

(62)

Korrektheit (Soundness)

I Γ`φ:Ableitbarkeit

I Γ|=φ: semantische ‘Wahrheit’

I Ist alleswahr, was wirableiten können? (Korrektheit)

I Ist allesableitbar, waswahr ist? (Vollständigkeit)

Lemma 1 (Korrektheit von ND) Wenn Γ`φ, dannΓ|=φ

Beweis: Induktionüber der Ableitung Γ`φ

I Nützliches Korollar:Γ6|=φdann Γ6`φ

(63)

Korrektheit (Soundness)

I Γ`φ:Ableitbarkeit

I Γ|=φ: semantische ‘Wahrheit’

I Ist alleswahr, was wirableiten können? (Korrektheit)

I Ist allesableitbar, waswahr ist? (Vollständigkeit)

Lemma 1 (Korrektheit von ND) Wenn Γ`φ, dannΓ|=φ

Beweis: Induktionüber der Ableitung Γ`φ

I Nützliches Korollar:Γ6|=φdann Γ6`φ

(64)

Konsistenz

I Nur konsistente Logiken (Mengen von Aussagen) sindsinnvoll.

Definition 2 (Konsistenz)

MengeΓ von Aussagenkonsistentgdw. Γ6` ⊥

Lemma 3 (Charakterisierung von Konsistenz) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) Γkonsistent

(ii) Es gibt keinφso dassΓ`φund Γ` ¬φ (iii) Es gibt einφso dassΓ6`φ

(65)

Konsistenz

I Nur konsistente Logiken (Mengen von Aussagen) sindsinnvoll.

Definition 2 (Konsistenz)

MengeΓ von Aussagenkonsistentgdw. Γ6` ⊥

Lemma 3 (Charakterisierung von Konsistenz) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(iv) Γinkonsistent (Γ` ⊥)

(v) Es gibt einφso dassΓ`φ undΓ` ¬φ (vi) Für alleφ,Γ`φ

(66)

Maximale Konsistenz

I Wenn esv gibt so dass[[ψ]]_v =1 für ψ∈Γ, dannΓ konsistent.

Definition 4 (Maximale Konsistenz) Γ maximal konsistentgdw.

(i) Γkonsistent, und

(ii) wennΓ⊆Γ⁰ und Γ⁰ konsistent, dann Γ = Γ⁰ Lemma 5 (Konstruktion maximal konsistenter Mengen)

Für jedes konsistente Γgibt es maximal konsistentesΓ^∗ mit Γ⊆Γ^∗

(67)

Eigenschaften maximal konsistenter Mengen

I WennΓ∪ {φ} inkonsistent, dannΓ` ¬φ(Beweis: ¬I)

I WennΓ∪ {¬φ} inkonsistent, dannΓ`φ(Beweis: raa)

Lemma 6

Wenn Γmaximal konsistent, dann geschlossenunter Ableitbarkeit:

Γ`φdann φ∈Γ.

I WennΓmaximal konsistent ist, dann:

(i) entwederφ∈Γoder ¬φ∈Γ (ii) φ∧ψ∈Γgdw.φ, ψ∈Γ

(iii) φ−→ψ∈Γgdw. (wennφ∈Γdannψ∈Γ)

(68)

Vollständigkeit

Lemma 7

Wenn Γkonsistent, dann gibt es v so dass [[φ]]_v =1 fürφ∈Γ.

Damit:

I WennΓ6`φdann gibt es v so dass[[ψ]]v =1 fürψ∈Γ,[[φ]]v =0.

I WennΓ6`φdann Γ6|=φ.

Theorem 8 (Vollständigkeit der Aussagenlogik) Γ`φgdw. Γ|=φ

I Deshalb: Aussagenlogikentscheidbar

(69)

Zusammenfassung

I Aussagenlogik ist eineBoolesche Algebra.

I Äquivalenzumformung alsBeweisprinzip

I Aussagenlogik und natürliches Schließen sindkorrektundvollständig.

I Beweis der Vollständigkeit: maximale Konsistenz

I Konstruktion desHerbrand-Modells, Aufzählung aller (wahren, ableitbaren) Aussagen

I Ausagenlogik istentscheidbar: für Γund φ,Γ`φoderΓ6`φ.

I Nächste VL: Prädikatenlogik

(70)

Vorlesung 4 vom 12.05.14: Prädikatenlogik erster Stufe

Universität Bremen

Sommersemester 2014

(71)

Fahrplan

I Einführung

(72)

Das Tagesmenü

I Von Aussagenlogik zur Prädikatenlogik

I Logik mitQuantoren

I Semantikder Prädikatenlogik

I Natürliches Schließenmit Quantoren

(73)

Beschränkungen der Aussagenlogik

I Beschränkungder Aussagenlogik:

I Eine Zahlnist eine Primzahl genau dann wenn sie nicht 1 ist und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

I Eine Zahlmist durch eine Zahlnteilbar genau dann wenn es eine Zahlp gibt, so dassm=n·p.

I Nichtin Aussagenlogkformalisierbar.

I Ziel: Formalisierung von Aussagen wie

I AlleZahlen sind ein Produkt von Primfaktoren.

I Es gibtkeinegrößte Primzahl.

(74)

Beschränkungen der Aussagenlogik

(75)

Beschränkungen der Aussagenlogik

(76)

Beispiel: Make

Themake utility automatically determines which pieces of a large program need to be recompiled, and issues commands to recompile them.

I Abhängigkeitenwerden durch Regelnformalisiert

I Wenn Zielälterist als Abhängigkeit wird es neuerzeugt.

lecture-01.pdf: lecture-01.tex prelude.sty pdflatex lecture-01.tex

lecture-02.pdf: lecture-02.tex prelude.sty diagram.pdf pdflatex lecture-02.tex

diagram.pdf: diagram.svg

inkscape -A diagram.pdf diagram.svg

(77)

Prädikatenlogik: Erweiterung der Sprache

I Termebeschreiben die zu formalisierenden Objekte.

I Formelnsind logische Aussagen.

I EineSignatur Σ beschreibt Prädikate und Funktionen:

I Prädikatensymbole: P₁, . . . ,P_n,=˙ mitAritätar(P_i)∈N,ar( ˙=) =2

I Funktionssymbole:f₁, . . . ,f_mmitAritätar(t_i)∈N

I MengeX vonVariablen (abzählbar viele)

I Konnektive:∧,−→,⊥,∀,abgeleitet:∨,←→,¬,←→,∃

I DieTrennungzwischenTermen und Formelnist der wesentliche Abstraktionsschritt in der Prädikatenlogik.

(78)

Terme

I MengeTerm_Σ der Terme(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I Variablen:X ⊆ TermΣ

I Funktionssymbolf ∈Σmitar(f) =nundt1, . . . ,tn∈ TermΣ, dann f(t1, . . . ,tn)∈ TermΣ

I Sonderfall:n=0, dann istf eineKonstante,f ∈ TermΣ

(79)

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ

I Wennφ∈ FormΣ,x ∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σmitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term_Σ, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

(80)

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ I Wennφ∈ FormΣ,x∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σmitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term_Σ, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

(81)

Freie und gebundene Variable

Definition (Freie und gebundene Variablen)

Variablen in t ∈ Term,p∈ Form sind frei,gebunden, oder bindend:

(i) x bindend in ∀x.φ,∃x.ψ

(ii) Für∀x.φund ∃x.φ ist x in Teilformelφgebunden (iii) Ansonsten istx frei

I FV(φ): Menge der freienVariablen inφ

I Beispiel:

(q(x)∨ ∃x.∀y.p(f(x),z)∧q(a))∨ ∀r(x,z,g(x))

I Formel (Term)s geschlossen, wennFV(s) =∅

I Abschlusseiner Formel: Cl(φ) =∀z₁. . .z_k.φ fürFV(φ) ={z₁, . . . ,z_k}

(82)

Semantik: Strukturen

Definition (StrukturAzur Signatur Σ) A= (A,f,P) mit

(i) Anicht-leere Menge (Universum)

(ii) fürf ∈Σmitar(f) =n,n-stelligeFunktion fA:Aⁿ→A (iii) fürP ∈Σmitar(P) =n,n-stellige RelationPA⊆Aⁿ

I Füra∈A, Konstante a∈ Term_Σ

I Damit Auswertung vongeschlossenenTermen: [[·]]_A:Term_Σ→A

[[a]]_A=a

[[f(t1, . . . ,tn]]_A=f_A([[t1]]_A, . . . ,[[tn]]_A)

(83)

Semantische Gültigkeit

I Auswertung vonFormeln:[[·]]_A:Form_Σ → {0,1}

[[⊥]]_A =0 [[¬φ]]_A =1−[[φ]]_A

[[φ∧ψ]]_A =min([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ∨ψ]]_A =max([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ−→ψ]]_A =max(1−[[φ]]_A,[[ψ]]_A)

[[φ←→ψ]]_A =1− |[[φ]]_A−[[ψ]]_A| [[P(t1, . . . ,tn)]]A =

( 1 h[[t₁]]_A, . . . ,[[t_n]]_Ai ∈P_A 0 sonst

[[t₁=˙ t₂]]_A =

( 1 [[t₁]]_A= [[t₂]]_A 0 sonst

[[∀x.φ]]_A =min({[[φ^a_x]]_A|a∈A}) [[∃x.φ]]_A =max({[[φ_x^a]]_A|a∈A})

I Damitsemantische Gültigkeit (Wahrheit):

(84)

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^s ^def=

( s x =y y x 6=y f(t1, . . . ,tn)_x^s ^def= f(t1s

x

, . . . ,tns x

)

⊥_x^s ^def= ⊥

(φ∧ψ)_x^s ^def= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^s ^def= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^s ^def= P(t₁^s_x, . . . ,t_n_x^s)

(∀y.φ)_x^s ^def=











∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

(85)

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^s ^def=

( s x =y y x 6=y f(t1, . . . ,tn)_x^s ^def= f(t1s

x

, . . . ,tns x

)

⊥_x^s ^def= ⊥

(φ∧ψ)_x^s ^def= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^s ^def= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^s ^def= P(t₁^s_x, . . . ,t_n_x^s)

(∀y.φ)_x^s ^def=











∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

(86)

Zusammenfassung

I Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um

I Konstanten- und Prädikatensymbole

I Gleichheit

I Quantoren

I Semantik der Prädikatenlogik:Strukturen

I BildenOperationenundPrädikateder Logik ab

I Dasnatürliche Schließenmit Quantoren

I Variablenbindungen— Umbenennungen bei Substitution

I Eigenvariablenbedingung

I Das nächste Mal:Vollständigkeit undnatürliche Zahlen

(87)

Vorlesung 5 vom 19.05.14: Eigenschaften der Prädikatenlogik erster Stufe

Universität Bremen

Sommersemester 2014

(88)

Fahrplan

I Einführung

(89)

Das Tagesmenü

I Wiederholung: natürliches Schließen mit FOL

I Regeln für dieGleichheit

I Beispiele:Graphen, natürlicheZahlen

I Vollständigkeitvon FOL

(90)

Natürliches Schließen mit Quantoren

φ

∀x.φ ∀I (∗) ∀x.φ

φ_x^t ∀E (†)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nichtfreiin offenen Vorbedingungen von φ(x beliebig)

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

I Gegenbeispielefür verletzte Seitenbedingungen

(91)

Der Existenzquantor

∃x.φ^def=¬∀x.¬φ

φ^t_x

∃x.φ ∃I (†) ∃x.φ [φ]

... ψ

ψ ∃E (∗)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nicht frei inψ, oder einer offenenen Vorbedingung außerφ

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

(92)

Regeln für die Gleichheit

I Reflexivität,Symmetrie,Transitivität:

x =x refl x=y

y =x sym x =y y =z x =z trans

I Kongruenz:

x₁ =y₁, . . . ,x_n=y_n

f(x₁, . . . ,x_n) =f(y₁, . . . ,y_n) cong

I Substitutivität:

x1 =y1, . . . ,xm =ym P(x1, . . . ,xm) P(y1, . . . ,ym) subst

(93)

Die natürlichen Zahlen

I VerschiedeneAxiomatisierungen:

I Presburger-Arithmetik

I 5 Axiome

I Konsistent und vollständig

I Entscheidbar (Aufwand 2²^cn,nLänge der Aussage)

I Enthält Nichtstandardmodelle

I Peano-Arithmetik

I 8 Axiome

I Konsistent

I Unvollständig (bzgl. Standard-Modellen)

I Nicht entscheidbar