Formale Modellierung Vorlesung 1 vom 16.04.15: Einführung

(1)

Formale Modellierung

Vorlesung 1 vom 16.04.15: Einführung

Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2015

(2)

Organisatorisches

I Veranstalter:

Christoph Lüth christoph.lueth@dfki.de

MZH 3110, Tel. 59830

I Termine:

I Vorlesung: Montag, 16 – 18, MZH 1470

I Übung: Donnerstag, 14 – 16, MZH 5210

I Webseite:

http://www.informatik.uni-bremen.de/~cxl/lehre/fm.ss15

2 [17]

(3)

Warum formale Modellierung?

Die Vasa, 10. August 1628

(4)

Modellierung — Das Prinzip

Welt

?

Welt Welt Modell

Modell

!

I GrundlegendesPrinzip der Naturwissenschaften

4 [17]

(5)

Modellierung — Das Prinzip

Welt

?

Welt Welt Modell

Modell

!

(6)

Modellierung — Das Prinzip

Welt Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

4 [17]

(7)

Modellierung — Das Prinzip

Welt Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

(8)

Modellierung — Beispiele

2Mg + O2 −→ 2MgO

5 [17]

(9)

Modellierung — Beispiele

x(t) = v0tcos(β) y(t) = v0tsin(β)−g

2t²

(10)

Modellierung — Beispiele

T₁ T2

2

= a₁

a2

3

7 [17]

(11)

Arten der Modellierung

I PhysikalischenSysteme:

I Modellierung durchkontinuierlicheMathematik (Analysis, DGL)

I Frage: wie modellieren wirProgramme und ihrVerhalten?

I Modellierung vonProgrammen:Berechenbarkeitsbegriff

I Turing-Maschinen, rekursive Funktionen, . . .

I Modellierung derEigenschaften:formale Logik

I Formale Logik ist dieGrundlage der Modellierung in der Informatik

(12)

Arten der Modellierung

I PhysikalischenSysteme:

I Modellierung durchkontinuierlicheMathematik (Analysis, DGL)

I Frage: wie modellieren wirProgramme und ihrVerhalten?

I Modellierung vonProgrammen:Berechenbarkeitsbegriff

I Turing-Maschinen, rekursive Funktionen, . . .

I Modellierung derEigenschaften:formale Logik

I Formale Logik ist dieGrundlage der Modellierung in der Informatik

8 [17]

(13)

Was ist mit der UML?

I AllgemeineModellierungssprache fürproblemorientierte Spezifikationen

I Ziel ist nicht derBeweis von Eigenschaften

I Nurbestimmte Aspekte sind formal

I AlsGrundlage nicht geeignet

(14)

Lernziele

1. Modellierung— Formulierung von Eigenschaften

2. Beweis— Formaler Beweis der Eigenschaften

3. Spezifikationund Verifikation — Eigenschaften vonProgrammen

10 [17]

(15)

Lernziele

(16)

Lernziele

10 [17]

(17)

Themen

I Formale Logik:

I Aussagenlogik (A∧B,A−→B), Prädikatenlogik (∀x.P)

I Formales Beweisen: natürliches Schließen

I Induktion, induktive Datentypen, Rekursion

I Berechenbarkeitsmodelle

I Die Gödel-Theoreme

I Spezifikation und Verifikation:

I Formale Modellierung von Programmen

I Temporale Logik

I Modellprüfung

(18)

Der Theorembeweiser Isabelle

I InteraktiverTheorembeweiser

I Entwickelt inCambridge undMünchen

I Est. 1993 (?), ca. 500 Benutzer

I Andere: PVS, Coq, ACL-2

I Vielfältig benutzt:

I VeriSoft (D) —http://www.verisoft.de

I L4.verified (AUS) —

http://ertos.nicta.com.au/research/l4.verified/

I SAMS (Bremen) —http://www.projekt-sams.de

12 [17]

(19)

Formale Logik

I Formale(symbolische) Logik: RechnenmitSymbolen

I Programme:Symbolmanipulation

I Auswertung:Beweis

I Curry-Howard-Isomorphie:

funktionale Programme∼= konstruktiver Beweis

(20)

Geschichte

I GottlobFrege (1848– 1942)

I ‘Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens’(1879)

I GeorgCantor(1845– 1918), BertrandRussel (1872– 1970), Ernst Zermelo(1871– 1953)

I Einfache Mengenlehre: inkonsistent (Russel’s Paradox)

I Axiomatische Mengenlehre: Zermelo-Fränkel

I DavidHilbert(1862– 1943)

I Hilbert’s Programm: ‘mechanisierte’ Beweistheorie

I KurtGödel (1906– 1978)

I Vollständigkeitssatz,Unvollständigkeitssätze

14 [17]

(21)

Grundbegriffe der formalen Logik

I AbleitbarkeitTh`P

I SyntaktischeFolgerung

I GültigkeitTh|=P

I SemantischeFolgerung

I KlassischeLogik:P∨ ¬P

I Entscheidbarkeit

I Aussagenlogik

I Konsistenz:Th6` ⊥

I Nicht allesableitbar

I Vollständigkeit:jede gültige Aussageableitbar

I Prädikatenlogikerster Stufe

(22)

Unvollständigkeit

I Gödels 1.Unvollständigkeitssatz:

I JedeLogik, diePeano-Arithmetikformalisiert, ist entweder inkonsistent oderunvollständig.

I JedeLogik, die ihre eigeneKonsistenzbeweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

I Hilbert’s Programmterminiert nicht.

I Programmenicht vollständig spezifierbar.

I Spezifikationssprachenimmerunvollständig(oder uninteressant).

I Mitanderen Worten:Es bleibt spannend.

16 [17]

(23)

Unvollständigkeit

I JedeLogik, die ihre eigeneKonsistenz beweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

(24)

Unvollständigkeit

I Auswirkungen:

16 [17]

(25)

Unvollständigkeit

I Auswirkungen:

(26)

Nächste Woche

I Aussagenlogik

I Erstes Übungsblatt

17 [17]

(27)

Vorlesung 2 vom 20.04.15: Aussagenlogik und natürliches Schließen

Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2015

(28)

Heute

I Einführung in dieformale Logik

I Aussagenlogik

I Beispiel für eineeinfache Logik

I GuterAusgangspunkt

I Natürliches Schließen

I Wird auch vonIsabelleverwendet.

I Buchempfehlung:

Dirk van Dalen:Logic and Structure. Springer Verlag, 2004.

2 [17]

(29)

Fahrplan

I Teil I: Formale Logik

I Einführung

I Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen

I Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik

I Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik

I Konsistenz & Vollständigkeit von FOL

I FOL mit induktiven Datentypen

I FOL mit rekursiven Definitionen

I Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften

I Berechungsmodelle (Models of Computation)

I Die Unvollständigkeitssätze von Gödel

I Teil II: Spezifikation und Verifikation

(30)

Formalisierung von Aussagen

I Beispielaussagen:

1. John fuhr weiter und stieß mit einem Fußgänger zusammen.

2. John stieß mit einem Fußgänger zusammen und fuhr weiter.

3. Wenn ich das Fenster öffne, haben wir Frischluft.

4. Wenn wir Frischluft haben, dann ist 1 + 3 = 4 5. Wenn 1 + 2 = 4, dann haben wir Frischluft.

6. John arbeitet oder ist zu Hause.

7. Euklid war ein Grieche oder ein Mathematiker.

I Probleme natürlicher Sprache:

I Mehrdeutigkeit

I Synonyme

I Versteckte (implizite) Annahmen

4 [17]

(31)

Formale Logik

I Ziel:Formalisierungvon Folgerungenwie

I Wenn es regnet, wird die Straße nass.

I Es regnet.

I Also ist die Straße nass.

I Nachts ist es dunkel.

I Es ist hell.

I Also ist es nicht nachts.

I EineLogik besteht aus

I EinerSpracheLvonFormeln(Aussagen)

I EinerSemantik, die Formeln eineBedeutungzuordnet

I Schlußregeln(Folgerungsregeln) auf den Formeln.

I Damit:Gültige(“wahre”) Aussagen berechnen.

(32)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

5 [17]

(33)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(34)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

5 [17]

(35)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

(36)

Formale Logik

I Es regnet.

I Es ist hell.

5 [17]

(37)

Beispiel für eine Logik

I SpracheL={♣,♠,♥,♦}

I Schlußregeln:

Aus ♦folgt ♣ Aus ♦folgt ♠ Aus ♣und ♠ folgt♥

♦gilt immer

♦

♣ α ♦

♠ β ♣ ♠

♥ γ

♦ δ

I Beispielableitung:♥

(38)

Beispiel für eine Logik

I Schlußregeln:

Aus ♦folgt ♣ Aus ♦folgt ♠ Aus ♣und ♠ folgt♥

♦gilt immer

♦

♣ α ♦

♠ β ♣ ♠

♥ γ

♦ δ

6 [17]

(39)

Aussagenlogik

I SprachePropgegeben durch:

1. Variablen (Atome)V ⊆ Prop(MengeV gegeben) 2. ⊥ ∈ Prop

3. Wennφ, ψ∈ Prop, dann

I φ∧ψ∈ Prop

I φ∨ψ∈ Prop

I φ−→ψ∈ Prop

I φ←→ψ∈ Prop

4. Wennφ∈ Prop, dann ¬φ∈ Prop.

I NB. Präzedenzen:¬ vor∧vor ∨vor−→,←→

(40)

Wann ist eine Formel gültig?

I SemantischeGültigkeit|=P

I Übersetzungin semantischeDomäne

I Variablen sindwahroderfalsch

I Operationenverknüpfendiese Werte

I SyntaktischeGültigkeit`P

I FormaleAbleitung

I Natürliches Schließen

I Sequenzenkalkül

I Andere (Hilbert-Kalkül,gleichungsbasierte Kalküle, etc.)

8 [17]

(41)

Semantik

I Domäne:{0,1} (0 fürfalsch, 1 fürwahr) Definition (Semantik aussagenlogischer Formeln)

Für Valuationv :V → {0,1} ist [[·]]_v :Prop→ {0,1} definiert als [[w]]v =v(w) (mit w ∈V)

[[⊥]]_v = 0

[[φ∧ψ]]_v = min([[φ]]_v,[[ψ]]_v) [[φ∨ψ]]_v = max([[φ]]_v,[[ψ]]_v)

[[φ−→ψ]]v = 0⇐⇒[[φ]]v = 1 und [[ψ]]v = 0 [[φ←→ψ]]v = 1⇐⇒[[φ]]v = [[ψ]]v

[[¬φ]]_v = 1−[[φ]]_v

(42)

Semantische Gültigkeit und Folgerung

I Semantische Gültigkeit:|=φ

|=φgdw. [[φ]]v = 1 für allev

I Semantische Folgerung: sei Γ⊆Prop, dann

Γ|=ψ gdw. [[ψ]]v = 1 wenn [[φ]]v = 1 für alle φ∈Γ

10 [17]

(43)

Beweisen mit semantischer Folgerung

I DieWahrheitstabellenmethode:

I Berechne [[φ]]_v für alle Möglichkeiten fürv

I Beispiel:|= (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

I Problem: Aufwand exponentiell 2^a zur Anzahl a der Atome

I Vorteil:Konstruktion von Gegenbeispielen

(44)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

11 [17]

(45)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

(46)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

11 [17]

(47)

Beweisen mit semantischer Folgerung

φ ψ φ−→ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ−→ ¬φ (φ−→ψ)←→(¬ψ−→ ¬φ)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

(48)

Syntakische Gültigkeit: Natürliches Schließen

I Schlußregeln:

♦

♣ α ♦

♠ β ♣ ♠

♥ γ

[♦]

...

♥

♥ δ⁰

12 [17]

(49)

Natürliches Schließen (ND) für Aussagenlogik

I Vorgehensweise:

1. Erst Kalkül nur für∧,−→,⊥

2. DannErweiterungauf alleKonnektive.

I Für jedesKonnektiv:Einführungs- und Eliminationsregel

I NB:konstruktiver Inhalt der meisten Regeln

(50)

Natürliches Schließen — Die Regeln

φ ψ

φ∧ψ ∧I φ∧ψ

φ ∧E_L φ∧ψ ψ ∧E_R [φ]

... ψ

φ−→ψ −→I

φ φ−→ψ

ψ −→E

⊥ φ ⊥

[φ−→ ⊥]

...

⊥

φ raa

14 [17]

(51)

Die fehlenden Konnektive

I Einführung alsAbkürzung:

¬φ ^def= φ−→ ⊥

φ∨ψ ^def= ¬(¬φ∧ ¬ψ)

φ←→ψ ^def= (φ−→ψ)∧(ψ−→φ)

I Ableitungsregeln alsTheoreme.

(52)

Die fehlenden Schlußregeln

[φ]

...

⊥

¬φ ¬I φ ¬φ

⊥ ¬E

φ

φ∨ψ ∨I_L ψ φ∨ψ ∨I_R

φ∨ψ [φ]

... σ

[ψ]

... σ

σ ∨E

φ−→ψ ψ−→φ

φ←→ψ ←→I φ φ←→ψ

ψ ←→E_L ψ φ←→ψ

φ ←→E_R

16 [17]

(53)

Zusammenfassung

I Formale Logikformalisiertdas (natürlichsprachliche) Schlußfolgern

I Logik: Formeln, Semantik, Schlußregeln (Kalkül)

I Aussagenlogik: Aussagen mit∧,−→,⊥

I ¬,∨,←→als abgeleitete Operatoren

I Semantikvon Aussagenlogik [[·]]_v :Prop→ {0,1}

I NatürlichesSchließen: intuitiver Kalkül

I Nächste Woche:

I Konsistenz und Vollständigkeit von Aussagenlogik

(54)

Vorlesung 3 vom 27.04.15: Konsistenz und Vollständigkeit der Aussagenlogik

Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2015

16:21:17 2015-07-13 1 [12]

(55)

Fahrplan

I Einführung

(56)

Das Tagesmenü

I Eigenschaften der Aussagenlogik (PL)

I Γ`φ vs. Γ|=φ:

I Korrektheit

I Konsistenz

I Vollständigkeit

3 [12]

(57)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Propbildet eine Boolesche Algebra:

|= (φ∨ψ)∨σ ←→φ∨(ψ∨σ)

|= (φ∧ψ)∧σ ←→φ∧(ψ∧σ)

|=φ∨ψ←→ψ∨φ

|=φ∧ψ←→ψ∧φ

|=φ∨(ψ∧σ)←→(φ∨ψ)∧(φ∨σ)

|=φ∧(ψ∨σ)←→(φ∧ψ)∨(φ∧σ)

|=¬(φ∨ψ)←→ ¬φ∧ ¬ψ

|=¬(φ∧ψ)←→ ¬φ∨ ¬ψ

|=φ∨φ←→φ

|=φ∧φ←→φ

|=¬¬φ←→φ

(58)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Rechnen inProp:

I Substitutivität:

wenn|=φ1←→φ2, dann |=ψφ₁ p

←→ψφ₂ p

für Atomp.

I Seiφ≈ψgdw.|=φ←→ψ, dann ist≈eineÄquivalenzrelation

I Damit: algebraischesUmformenals Beweisprinzip

I Beispiele: |= (φ−→(ψ−→σ))←→(φ∧ψ−→σ)

|=φ−→ψ−→φ

I Anwendung: konjunktive und disjunktiveNormalformen(CNF/DNF)

5 [12]

(59)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Operatoren durch andere definierbar:

|= (φ←→ψ)←→(φ−→ψ)∧(ψ−→φ)

|= (φ−→ψ)←→(¬φ∨ψ)

|=φ∨ψ←→(¬φ−→ψ)

|=φ∨ψ←→ ¬(¬φ∧ ¬ψ)

|=φ∧ψ←→ ¬(¬φ∨ ¬ψ)

|=¬φ←→(φ−→ ⊥)

|=⊥ ←→(φ∧ ¬φ)

|=> ←→(φ∨ ¬φ)

I (∧,¬) und (∨,⊥) sindausreichend (functional complete)

I Ein Operator reicht:A|B (Sheffer-Strich),A↓B (weder-noch)

(60)

Eigenschaften der Aussagenlogik

I Operatoren durch andere definierbar:

|= (φ←→ψ)←→(φ−→ψ)∧(ψ−→φ)

|= (φ−→ψ)←→(¬φ∨ψ)

|=φ∨ψ←→(¬φ−→ψ)

|=φ∨ψ←→ ¬(¬φ∧ ¬ψ)

|=φ∧ψ←→ ¬(¬φ∨ ¬ψ)

|=¬φ←→(φ−→ ⊥)

|=⊥ ←→(φ∧ ¬φ)

|=> ←→(φ∨ ¬φ)

I (∧,¬) und (∨,⊥) sindausreichend (functional complete)

I Ein Operatorreicht: A|B (Sheffer-Strich),A↓B (weder-noch)

6 [12]

(61)

Korrektheit (Soundness)

I Γ`φ:Ableitbarkeit

I Γ|=φ: semantische ‘Wahrheit’

I Ist alleswahr, was wirableiten können? (Korrektheit)

I Ist allesableitbar, waswahr ist? (Vollständigkeit)

Theorem 1 (Korrektheit von ND in der Aussagenlogik) Wenn Γ`φ, dannΓ|=φ

Beweis: Induktionüber der Ableitung Γ`φ

I Nützliches Korollar: Γ6|=φdann Γ6`φ

(62)

Korrektheit (Soundness)

I Γ`φ:Ableitbarkeit

I Γ|=φ: semantische ‘Wahrheit’

I Ist alleswahr, was wirableiten können? (Korrektheit)

I Ist allesableitbar, waswahr ist? (Vollständigkeit)

Theorem 1 (Korrektheit von ND in der Aussagenlogik) Wenn Γ`φ, dannΓ|=φ

Beweis: Induktionüber der Ableitung Γ`φ

I Nützliches Korollar: Γ6|=φdann Γ6`φ

7 [12]

(63)

Konsistenz

I Nur konsistente Logiken (Mengen von Aussagen) sindsinnvoll.

Definition 2 (Konsistenz)

Menge Γ von Aussagen konsistentgdw. Γ6` ⊥

Lemma 3 (Charakterisierung von Konsistenz) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) Γkonsistent

(ii) Es gibt keinφso dassΓ`φund Γ` ¬φ (iii) Es gibt einφso dassΓ6`φ

(64)

Konsistenz

I Nur konsistente Logiken (Mengen von Aussagen) sindsinnvoll.

Definition 2 (Konsistenz)

Menge Γ von Aussagen konsistentgdw. Γ6` ⊥

Lemma 3 (Charakterisierung von Konsistenz) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(iv) Γinkonsistent (Γ` ⊥)

(v) Es gibt einφso dassΓ`φ undΓ` ¬φ (vi) Für alleφ,Γ`φ

8 [12]

(65)

Maximale Konsistenz

I Wenn esv gibt so dass [[ψ]]_v = 1 für ψ∈Γ, dann Γ konsistent.

Definition 4 (Maximale Konsistenz) Γ maximal konsistentgdw.

(i) Γ konsistent, und

(ii) wenn Γ⊆Γ⁰ und Γ⁰ konsistent, dann Γ = Γ⁰ Lemma 5 (Konstruktion maximal konsistenter Mengen)

Für jedes konsistente Γgibt es maximal konsistentesΓ^∗ mit Γ⊆Γ^∗

(66)

Eigenschaften maximal konsistenter Mengen

I Wenn Γ∪ {φ} inkonsistent, dann Γ` ¬φ(Beweis: ¬I)

I Wenn Γ∪ {¬φ} inkonsistent, dann Γ`φ(Beweis: raa)

Lemma 6

Wenn Γmaximal konsistent, dann geschlossenunter Ableitbarkeit:

Γ`φdann φ∈Γ.

I Wenn Γ maximal konsistent ist, dann:

(i) entwederφ∈Γ oder ¬φ∈Γ (ii) φ∧ψ∈Γ gdw.φ, ψ∈Γ

(iii) φ−→ψ∈Γ gdw. (wennφ∈Γ dannψ∈Γ)

10 [12]

(67)

Vollständigkeit

Lemma 7

Wenn Γkonsistent, dann gibt es v so dass [[φ]]_v = 1 fürφ∈Γ.

Damit:

I Wenn Γ6`φdann gibt es v so dass [[ψ]]_v = 1 für ψ∈Γ, [[φ]]_v = 0.

I Wenn Γ6`φdann Γ6|=φ.

Theorem 8 (Vollständigkeit von ND in der Aussagenlogik) Wenn Γ|=φ, dann Γ`φ

I Aus Entscheidbarkeit von|= folgt Entscheidbarkeit von `

(68)

Zusammenfassung

I Aussagenlogik ist eineBoolesche Algebra.

I Äquivalenzumformung alsBeweisprinzip

I Aussagenlogik und natürliches Schließen sindkorrektundvollständig.

I Beweis der Vollständigkeit: maximale Konsistenz

I Konstruktion desHerbrand-Modells, Aufzählung aller (wahren, ableitbaren) Aussagen

I Ausagenlogik istentscheidbar: für Γ und φ, Γ`φoder Γ6`φ.

I Nächste VL: Prädikatenlogik

12 [12]

(69)

Vorlesung 4 vom 04.05.15: Prädikatenlogik erster Stufe

Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2015

(70)

Fahrplan

I Einführung

2 [16]

(71)

Das Tagesmenü

I Von Aussagenlogik zur Prädikatenlogik

I Logik mitQuantoren

I Semantikder Prädikatenlogik

I Natürliches Schließenmit Quantoren

(72)

Eine Beispielspezifikation

Das Flugbuchungssystem

Das Flugbuchungssystemsoll eine Menge von Flügen verwalten, Anfragen beantworten und Buchungen vornehmen.

Ein Flughat einen Startflughafen und ein Zielflughafen (durch ihr IATA-Kürzel repräsentiert), eine eindeutige Kennung, einen Starttermin, eine Ankunftsermin, sowie eine Anzahl von verfügbaren Plätzen.

Eine Flugbuchungfür einen durch die Flugnummer und Starttermin identifizierten Flug soll eine Anzahl von Plätzen auf diesem Flug

reservieren. Sind die verfügbaren Plätze für einen Flug erschöpft, können keine weiteren Buchungen vorgenommen werden.

Eine Anfrage besteht aus den Daten (Start, Ziel, Datum) für einen Flug, und liefert die Anzahl freier Plätze auf diesem Flug zurück.

4 [16]

(73)

Beschränkungen der Aussagenlogik

I Beschränkungder Aussagenlogik:

I Die Menge unserer Atome istunstrukturiertundflach.

I Wir können nicht zwischenLogik(Meta-Ebene) undObjektunterscheiden.

I Wir können keinestrukturellenEigenschaften beschreiben.

I Wir können keine Aussagen überExistenz von Objekten machen.

I Ziel: Formalisierung von Aussagen wie

I “Ein Flug hat eineeindeutigeKennung.”

I “AlleMenschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich.”

I “AlleZahlen sind ein Produkt von Primfaktoren.”

(74)

Prädikatenlogik: Erweiterung der Sprache

I Termebeschreiben die zu formalisierenden Objekte.

I Formelnsind logische Aussagen.

I EineSignatur Σ beschreibt Prädikate und Funktionen:

I Prädikatensymbole: P₁, . . . ,P_n,= mit˙ Aritätar(P_i)∈N,ar( ˙=) = 2

I Funktionssymbole:f₁, . . . ,f_mmitAritätar(t_i)∈N

I MengeX vonVariablen (abzählbar viele)

I Konnektive:∧,−→,⊥,∀,abgeleitet:∨,←→,¬,←→,∃

I DieTrennungzwischenTermen und Formelnist der wesentliche Abstraktionsschritt in der Prädikatenlogik.

6 [16]

(75)

Terme

I MengeTerm_Σ der Terme(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I Variablen:X ⊆ TermΣ

I Funktionssymbolf ∈Σ mitar(f) =nundt1, . . . ,tn∈ TermΣ, dann f(t1, . . . ,tn)∈ TermΣ

I Sonderfall:n= 0, dann istf eineKonstante,f ∈ TermΣ

(76)

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ

I Wennφ∈ FormΣ,x ∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σ mitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term_Σ, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

8 [16]

(77)

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ I Wennφ∈ FormΣ,x∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σ mitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term_Σ, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

(78)

Freie und gebundene Variable

Definition (Freie und gebundene Variablen)

Variablen in t ∈ Term,p∈ Form sind frei,gebunden, oder bindend:

(i) x bindend in ∀x.φ,∃x.ψ

(ii) Für∀x.φund ∃x.φ ist x in Teilformelφgebunden (iii) Ansonsten istx frei

I FV(φ): Menge derfreienVariablen inφ

I Beispiel:

(q(x)∨ ∃x.∀y.p(f(x),z)∧q(a))∨ ∀r(x,z,g(x))

I Formel (Term)s geschlossen, wennFV(s) =∅

I Abschlusseiner Formel: Cl(φ) =∀z₁. . .z_k.φ fürFV(φ) ={z₁, . . . ,z_k}

9 [16]

(79)

Semantik: Strukturen

Definition (StrukturAzur Signatur Σ) A= (A,f,P) mit

(i) Anicht-leere Menge (Universum)

(ii) fürf ∈Σ mitar(f) =n,n-stelligeFunktion fA:Aⁿ→A (iii) fürP ∈Σ mitar(P) =n,n-stellige RelationPA⊆Aⁿ

I Füra∈A, Konstante a∈ Term_Σ

I Damit Auswertung vongeschlossenenTermen: [[·]]_A:Term_Σ→A [[a]]_A=a

[[f(t1, . . . ,tn]]_A=f_A([[t1]]_A, . . . ,[[tn]]_A)

(80)

Semantische Gültigkeit

I Auswertung vonFormeln: [[·]]_A:Form_Σ → {0,1}

[[⊥]]_A = 0 [[¬φ]]_A = 1−[[φ]]_A

[[φ∧ψ]]_A = min([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ∨ψ]]_A = max([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ−→ψ]]_A = max(1−[[φ]]_A,[[ψ]]_A)

[[φ←→ψ]]_A = 1− |[[φ]]_A−[[ψ]]_A| [[P(t1, . . . ,tn)]]A =

( 1 h[[t₁]]_A, . . . ,[[t_n]]_Ai ∈P_A 0 sonst

[[t₁=˙ t₂]]_A =

( 1 [[t₁]]_A= [[t₂]]_A 0 sonst

[[∀x.φ]]_A = min({[[φ^a_x]]_A|a∈A}) [[∃x.φ]]_A = max({[[φ_x^a]]_A|a∈A})

I Damitsemantische Gültigkeit (Wahrheit):

A|=φgdw. [[Cl(φ)]]_A= 1, |=φgdw. A|=φfür alle A

11 [16]

(81)

Syntaktische Gültigkeit: Natürliches Schließen

I Die alten Regeln blieben (−→I,−→E,∧I,∧E_L,∧E_R,raa,⊥, . . . )

I Mutatis mutandis:Form_ΣstattProp

I Dazu benötigen wir Regeln für die Quantoren.

I Zu behandelndeProbleme:

I Substitution

I Bindung

(82)

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^s ^def=

( s x =y y x 6=y f(t₁, . . . ,t_n)_x^s ^def= f(t₁^s_x, . . . ,t_n^s_x)

⊥_x^s ^def= ⊥

(φ∧ψ)_x^s ^def= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^s ^def= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^s ^def= P(t₁^s_x, . . . ,t_n_x^s)

(∀y.φ)_x^s ^def=











∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

13 [16]

(83)

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^s ^def=

( s x =y y x 6=y f(t₁, . . . ,t_n)_x^s ^def= f(t₁^s_x, . . . ,t_n^s_x)

⊥_x^s ^def= ⊥

(φ∧ψ)_x^s ^def= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^s ^def= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^s ^def= P(t₁^s_x, . . . ,t_n_x^s)

(∀y.φ)_x^s ^def=











∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

(84)

Natürliches Schließen mit Quantoren

φ

∀x.φ ∀I (∗) ∀x.φ

φ_x^t ∀E (†)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nichtfreiin offenen Vorbedingungen von φ(x beliebig)

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

I Gegenbeispielefür verletzte Seitenbedingungen

14 [16]

(85)

Der Existenzquantor

∃x.φ^def=¬∀x.¬φ

φ^t_x

∃x.φ ∃I (†) ∃x.φ [φ]

... ψ

ψ ∃E (∗)

x nicht frei inψ, oder einer offenenen Vorbedingung außerφ

(86)

Zusammenfassung

I Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um

I Konstanten- und Prädikatensymbole

I Gleichheit

I Quantoren

I Semantik der Prädikatenlogik:Strukturen

I BildenOperationenundPrädikateder Logik ab

I Dasnatürliche Schließenmit Quantoren

I Variablenbindungen— Umbenennungen bei Substitution

I Eigenvariablenbedingung

I Das nächste Mal: FOL at work, FOL in Isabelle

I Nächste VL:Vollständigkeit

16 [16]

(87)

Vorlesung 5 vom 18.05.15: Eigenschaften der Prädikatenlogik erster Stufe

Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2015

(88)

Organisatorisches

I Die Übung am Donnerstag, 21.05.2015fällt aus!

2 [15]

(89)

Fahrplan

I Einführung

(90)

Das Tagesmenü

I Wiederholung: natürliches Schließen mit FOL

I Regeln für dieGleichheit

I Beispiele:Graphen, natürlicheZahlen

I Vollständigkeitvon FOL

I Unentscheidbarkeitvon FOL

4 [15]

(91)

Natürliches Schließen mit Quantoren

φ

∀x.φ ∀I (∗) ∀x.φ

φ_x^t ∀E (†)

x nichtfreiin offenen Vorbedingungen von φ(x beliebig)

I Gegenbeispielefür verletzte Seitenbedingungen