Modellierung — Das Prinzip

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Formale Modellierung Vorlesung 1 vom 16.04.15: Einführung

Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015

16:21:30 2015-07-13 1 [17]

Organisatorisches

I Veranstalter:

Christoph Lüth christoph.lueth@dfki.de

MZH 3110, Tel. 59830 I Termine:

IVorlesung: Montag, 16 – 18, MZH 1470

IÜbung: Donnerstag, 14 – 16, MZH 5210 I Webseite:

http://www.informatik.uni-bremen.de/~cxl/lehre/fm.ss15

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Warum formale Modellierung?

Die Vasa, 10. August 1628

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Modellierung — Das Prinzip

Welt Welt

?

Welt Welt Modell Modell

Modell

!

I GrundlegendesPrinzip der Naturwissenschaften

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Modellierung — Beispiele

2Mg + O2 −→ 2MgO

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Modellierung — Beispiele

x(t) = v0tcos(β) y(t) = v0tsin(β)−g

2t²

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Modellierung — Beispiele

T1 T2

2

= a1

a2 3

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Arten der Modellierung

I PhysikalischenSysteme:

IModellierung durchkontinuierlicheMathematik (Analysis, DGL) I Frage: wie modellieren wirProgrammeund ihrVerhalten?

I Modellierung vonProgrammen:Berechenbarkeitsbegriff

ITuring-Maschinen, rekursive Funktionen, . . . I Modellierung derEigenschaften:formale Logik

I Formale Logik ist dieGrundlageder Modellierung in der Informatik

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Was ist mit der UML?

I AllgemeineModellierungssprache fürproblemorientierteSpezifikationen

I Ziel ist nicht derBeweisvon Eigenschaften

I NurbestimmteAspekte sind formal

I AlsGrundlagenicht geeignet

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Lernziele

1.Modellierung—Formulierungvon Eigenschaften

2.Beweis— Formaler Beweis derEigenschaften

3.SpezifikationundVerifikation— Eigenschaften vonProgrammen

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Themen

I Formale Logik:

I Aussagenlogik (A∧B,A−→B), Prädikatenlogik (∀x.P)

I Formales Beweisen: natürliches Schließen

I Induktion, induktive Datentypen, Rekursion

I Berechenbarkeitsmodelle

I Die Gödel-Theoreme I Spezifikation und Verifikation:

I Formale Modellierung von Programmen

I Temporale Logik

I Modellprüfung

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Der Theorembeweiser Isabelle

I InteraktiverTheorembeweiser I Entwickelt inCambridgeundMünchen I Est. 1993 (?), ca. 500 Benutzer I Andere: PVS, Coq, ACL-2 I Vielfältig benutzt:

IVeriSoft (D) —http://www.verisoft.de

IL4.verified (AUS) —

http://ertos.nicta.com.au/research/l4.verified/

ISAMS (Bremen) —http://www.projekt-sams.de

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Formale Logik

I Formale(symbolische) Logik:RechnenmitSymbolen

I Programme:Symbolmanipulation

I Auswertung:Beweis

I Curry-Howard-Isomorphie:

funktionale Programme∼= konstruktiver Beweis

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Geschichte

I GottlobFrege(1848– 1942)

I‘Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens’(1879)

I GeorgCantor(1845– 1918), BertrandRussel(1872– 1970), Ernst Zermelo(1871– 1953)

IEinfache Mengenlehre: inkonsistent (Russel’s Paradox)

IAxiomatische Mengenlehre: Zermelo-Fränkel I DavidHilbert(1862– 1943)

IHilbert’s Programm: ‘mechanisierte’ Beweistheorie

I KurtGödel(1906– 1978)

IVollständigkeitssatz,Unvollständigkeitssätze

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Grundbegriffe der formalen Logik

I AbleitbarkeitTh`P

I SyntaktischeFolgerung I GültigkeitTh|=P

I SemantischeFolgerung I KlassischeLogik:P∨ ¬P I Entscheidbarkeit

I Aussagenlogik I Konsistenz:Th6` ⊥

I Nicht allesableitbar

I Vollständigkeit:jede gültige Aussageableitbar

I Prädikatenlogikerster Stufe

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Unvollständigkeit

I Gödels 1.Unvollständigkeitssatz:

IJedeLogik, diePeano-Arithmetikformalisiert, ist entwederinkonsistent oderunvollständig.

I Gödels 2.Unvollständigkeitssatz:

IJedeLogik, die ihre eigeneKonsistenzbeweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

IHilbert’s Programmterminiert nicht.

IProgrammenicht vollständig spezifierbar.

ISpezifikationssprachenimmerunvollständig(oder uninteressant).

IMitanderen Worten:Es bleibt spannend.

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Nächste Woche

I Aussagenlogik

I Erstes Übungsblatt

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