Ubungsblatt 6: ¨ Spuroperator, Dichtematrix, Dekoh¨ arenz

Freie Universit¨at Berlin WS 2005/2006

Fachbereich Physik 23.11.2005

Statistische Physik - Theorie der W¨ arme

(PD Dr. M. Falcke)

Ubungsblatt 6: ¨ Spuroperator, Dichtematrix, Dekoh¨ arenz

L¨ osungen

Aufgabe 1

a. Seien {|ni} und {|ni} zwei Basissysteme, dann gilt nach Einschieben des Eins-Operators:

X

n

hn|A|ni = X

n,m

hn|A|mihm|ni = X

n,m

hm|nihn|A|mi = X

m

hm|A|mi . (1)

b. Die Spurbildung ist additiv, da die Mittelwertbildung additiv ist:

Sp(A + B) = X

n

hn|A + B|ni = X

n

hn|A|ni + X

n

hn|B|ni = Sp A + Sp B . (2) Sei λ ∈ C , dann folgt die Homogenit¨at aus

Sp(λA) = X

n

hn|λA|ni = λ X

n

hn|A|ni = λ Sp A . (3)

c. Es gilt

Sp(|ψihφ|) = X

n

hn|ψihφ|ni = X

n

hφ|nihn|ψi = hφ|ψi . (4)

d. Seien {|ni} und {|ni} wiederum zwei Basissysteme, so erhalten wir Sp(AB) = X

n

hn|AB|ni = X

n,m

hn|A|mihm|B|ni = X

n,m

hm|B|nihn|A|mi

= X

m

hm|BA|mi = Sp(BA) .

(5)

e. Die Basis des Produkthilbertraumes H = H a ⊗ H b sei {|n a i|n b i}. Dann ist Sp(AB) = X

n

,n

hn b |hn a |AB|n a i|n b i = X

n

,n

hn b |B|n b ihn a |A|n a i = Sp A Sp B . (6)

f. Sei ρ(t) der zeitabh¨angige Dichteoperator, dann gilt nach Aufgabe 2 mittles des unit¨aren Zeit- entwicklungsoperators U (t, t 0 ): ρ(t) = U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ). Somit finden wir

Sp ρ ² (t) = Sp U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 ) U (t, t 0 )U ^† (t, t 0 )

| {z }

Id

ρ(t 0 )U (t, t 0 )

= Sp U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 )

= Sp U (t, t 0 )U ^† (t, t 0 )ρ ² (t 0 )

= Sp ρ ² (t 0 ) . (7)

Hierbei haben wir verwendet, daß f¨ ur unit¨are Operatoren U U ^† = Id gilt und daß die Spurbildung

zyklisch invariant ist.

Aufgabe 2

Die zeitliche Entwicklung eines Operators im Heisenberg Bild wird durch den Zeitentwicklungsopera- tor U (t, t 0 ) bestimmt, der eine formale L¨osung der Schr¨odingergleichung ist, also:

i ~ ∂ψ

∂t = Hψ

ψ(t) = U (t, t 0 )ψ(t 0 ) = T exp



− i

~ Z t

t

H (t ^′ )dt ^′



ψ(t 0 ),

wobei T den Zeitordnungsoperator bezeichnet. Insbesondere gilt f¨ ur zeitunabh¨angige Hamiltonopera- toren

U (t, t 0 ) = exp

− i

~ H (t − t 0 )

.

Die Zeitentwicklung eines Operators folgt nun unmittelbar aus zeitlichen Entwicklung von Erwar- tungswerten

hAi(t) = hψ(t)|A|ψ(t)i

= hψ(t 0 )|U ^† (t, t 0 )AU (t, t 0 )|ψ(t 0 )i

= hψ(t 0 )|A(t)|ψ(t 0 )i

mit A(t) = U ^† (t, t 0 )AU (t, t 0 ). Insbesondere gilt also f¨ ur den Dichteoperator ρ(t) = U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) und damit f¨ur die zeitliche Entwicklung der Entropie

S(t) = −k B Sp

ρ(t) ln(ρ(t))

= −k B Sp

U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) ln U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) . Betrachten wir im Folgenden das allgemeine Glied

U ^† ρ(t 0 )U − Id n

=

U ^† ρ(t 0 )U − U ^† U n

in der Entwicklung des Logarithmus

ln ρ = ρ − Id − (ρ − Id) ²

2 + (ρ − Id) ³

3 − + . . . , in der Operatorpotenzen ρ ⁿ = ρ ◦ ρ ◦ . . . ◦ ρ

| {z }

n-Faktoren

wohldefiniert sind und der Einheitsoperator wegen der Unitarit¨at von U , d.h. wegen U ^† = U ⁻¹ , als Id = U ^† U aufgel¨ost werden kann:

U ^† ρ(t 0 )U − U ^† U n

=

U ^† ρ(t 0 )U − U ^† U

◦ . . . ◦

U ^† ρ(t 0 )U − U ^† U

| {z }

n Faktoren

= U ^†



(ρ(t 0 ) − Id) U U ^†

| {z }

Id

(ρ(t 0 ) − Id) U ◦ . . . ◦ U ^† (ρ(t 0 ) − Id) U U ^†

| {z }

Id

(ρ(t 0 ) − Id)



 U

= U ^† (ρ(t 0 ) − Id) ⁿ U.

Hieraus folgt f¨ ur den Logarithmus

ln U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 )

= U ^† (t, t 0 ) ln ρ(t 0 )U (t, t 0 )

und damit f¨ur die Entropie

S(t) = −k B Sp

U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) ln U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 )

= −k B Sp

U ^† (t, t 0 )ρ(t 0 ) U (t, t 0 )U ^† (t, t 0 )

| {z }

Id

ln ρ(t 0 )U (t, t 0 )

zykl. Inv.

= −k B Sp

ρ(t 0 ) ln ρ(t 0 ) U (t, t 0 )U ^† (t, t 0 )

| {z }

Id

≡ S (t 0 )

wobei wir im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur Operation verwendet haben.

Aufgabe 3

Der zu dem Zustand |ψ(t)i adjungierte Zustand hψ(t)| ist hψ(t)| = c ^∗ ₁ e ⁱ

E1t

~

hE 1 | + c ^∗ ₂ e ⁱ

E2t

~

hE 2 |.

Da der Zustand ψ(t) als normiert vorausgesetzt wird, gilt

hψ(t)|ψ(t)i = |ψ(t)| ² = |c 1 | ² + |c 2 | ² = 1.

Der zugeordnete Dichteoperator ergibt sich zu ρ(t) = |ψ(t)ihψ(t)|

= |c 1 | ² |E 1 ihE 1 | + |c 2 | ² |E 2 ihE 2 | + c 1 c ^∗ ₂ e ⁱ

|E 1 ihE 2 | + c ^∗ ₁ c 2 e ⁻ⁱ

|E 2 ihE 1 |.

Durch Zeitmittelung erhalten wir zun¨achst ρ(t) = 1

T Z T

0

ρ(t)dt

= |c 1 | ² |E 1 ihE 1 | + |c 2 | ² |E 2 ihE 2 | (8)

+ c 1 c ^∗ ₂ |E 1 ihE 2 | 1 T

Z T

0

e ⁱ

dt + c ^∗ ₁ c 2 |E 2 ihE 1 | 1 T

Z T

0

e ⁻ⁱ

dt.

Nun sieht man aber, dass die beiden Interferenzterme in der letzten Zeile f¨ ur Zeiten T , die sehr gross gegen¨ uber ~ / |E 2 − E 1 | sind, verschwinden, denn

1 T

Z T

0

e ⁱ

E2−E1)t

~

dt

=

~ iT (E 2 − E 1 )

e

^(E

^−E

^)T − 1

= ~

T |E 2 − E 1 |

e

^(E

^−E

^)T − 1

| {z }

≤2

→ 0

f¨ ur T ≫ ~ / |E 2 − E 1 |. Eine analoge Absch¨atzung f¨ur das zweite Integral in (8) zeigt, dass dieses ebenfalls verschwindet falls die Zeitmittelung gross genug ist, sodass der zeitgemittelte Dichteoperator

¨

ubergeht in

ρ(t) = ρ = |c 1 | ² |E 1 ihE 1 | + |c 2 | ² |E 2 ihE 2 |

was einem Gemisch der Zust¨ande |E 1 i und |E 2 i entspricht. Das sieht man am einfachsten anhand der Matrixdarstellung von ρ in der Basis {|Ei} = {|E 1 i, |E 2 i}, in der ρ diagonal ist

hE|ρ|Ei =

|c 1 | ² 0 0 |c 2 | ²

.

Daraus erh¨alt man

hE|ρ ² |Ei =

|c 1 | ⁴ 0 0 |c 2 | ⁴

, also ρ 6= ρ ² und insbesondere |c 1 | ⁴ + |c 2 | ⁴ < 1 w¨ahrend |c 1 | ² + |c 1 | ² = 1.

Zusammenfassend gilt also: Wenn die Zeitmittelung T gross gegen¨ uber den inversen ¨ Ubergangsfre-

quenzen 1/ω 12 = 1/ |ω 2 − ω 1 | des Zwei-Niveau-Systems ist, kommt es zur Dekoh¨arenz des urspr¨unglich

reinen Zustandes, was sich im verschwinden der Interferenzterme in (8) ¨aussert.