Freie Universit¨at Berlin WS 2005/2006
Fachbereich Physik 17.11.2006
Statistische Physik - Theorie der W¨ arme
(PD Dr. M. Falcke)
Ubungsblatt 6: ¨ Spuroperator, Dichtematrix, Dekoh¨ arenz
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften des Spuroperators:
a. Sp A ist invariant unter Basistransformation.
b. Die Spurbildung ist eine lineare Abbildung, d.h. additiv und homogen.
c. Sp(|ψihφ|) = hφ|ψi.
d. Die Spur ist zyklisch invariant, d.h. Sp(AB) = Sp(BA), wenn sowohl Sp(AB) als auch Sp(BA) existieren.
e. Sei H ein Hilbertraum derart, daß H = H a ⊗ H b gilt. Seien A und B Operatoren, die je- weils nur auf die Hilbertr¨aume H a bzw. H b wirken. Dann faktorisiert die Spur, d.h. Sp(AB) = Sp a (A) Sp b (B).
f. Sei ρ(t) ein zeitabh¨angiger Dichteoperator, dann ist Sp ρ 2 (t)
zeitunabh¨angig, d.h. ein reiner Zustand bleibt rein, ein gemischter Zustand bleibt gemischt.
Aufgabe 2 (2 Punkte)
Zeigen Sie, daß die Entropie S = −k B Sp(ρ ln ρ) eines quantenmechanischen Systems bei unit¨arer Zeitentwicklung zeitlich konstant bleibt.
Hinweis: Benutzen Sie die Entwicklung: ln x = P ∞
k=1 (−1) k+1 (x − 1) k /k, 0 < x ≤ 2.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Gegeben sei ein Zwei-Energieniveau-System. Die normierten Energiezust¨ande seien mit |E 1 i und |E 2 i bezeichnet. Ein beliebiger Zustand |ψ(t)i des Systems besitzt dann die Darstellung
|ψ(t)i = c 1 e −i
E1t
~
|E 1 i + c 2 e −i
E2t
~
|E 2 i
wobei E 1 und E 2 die zugeh¨origen Energieeigenwerte und c 1 und c 2 komplexwertige Normierungskon- stanten sind. Der diesem Zustand zugeordente Dichteoperator sei mit ρ(t) = |ψ(t)ihψ(t)| bezeichnet.
Zeigen Sie, dass der zeitgemittelte Dichteoperator ρ(t) = T 1 R T
0 ρ(t)dt f¨ur Zeiten T , die sehr groß gegen¨ uber ~ / |E 2 − E 1 | sind, in den eines Gemisches ¨ubergeht.
Abgabetermin: Mittwoch, 29.11.2006 vor Beginn der Vorlesung.
L¨ osungen
Aufgabe 1
a. Seien {|ni} und {|ni} zwei Basissysteme, dann gilt nach Einschieben des Eins-Operators:
X
n
hn|A|ni = X
n,m
hn|A|mihm|ni = X
n,m
hm|nihn|A|mi = X
m
hm|A|mi . (1)
b. Die Spurbildung ist additiv, da die Mittelwertbildung additiv ist:
Sp(A + B) = X
n
hn|A + B|ni = X
n
hn|A|ni + X
n
hn|B|ni = Sp A + Sp B . (2) Sei λ ∈ C , dann folgt die Homogenit¨at aus
Sp(λA) = X
n
hn|λA|ni = λ X
n
hn|A|ni = λ Sp A . (3)
c. Es gilt
Sp(|ψihφ|) = X
n
hn|ψihφ|ni = X
n
hφ|nihn|ψi = hφ|ψi . (4)
d. Seien {|ni} und {|ni} wiederum zwei Basissysteme, so erhalten wir Sp(AB) = X
n
hn|AB|ni = X
n,m
hn|A|mihm|B|ni = X
n,m
hm|B|nihn|A|mi
= X
m
hm|BA|mi = Sp(BA) .
(5)
e. Die Basis des Produkthilbertraumes H = H a ⊗ H b sei {|n a i|n b i}. Dann ist Sp(AB) = X
n
a,n
bhn b |hn a |AB|n a i|n b i = X
n
a,n
bhn b |B|n b ihn a |A|n a i = Sp A Sp B . (6)
f. Sei ρ(t) der zeitabh¨angige Dichteoperator, dann gilt nach Aufgabe 2 mittles des unit¨aren Zeit- entwicklungsoperators U (t, t 0 ): ρ(t) = U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ). Somit finden wir
Sp ρ 2 (t) = Sp U † (t, t 0 )ρ(t 0 ) U (t, t 0 )U † (t, t 0 )
| {z }
Id
ρ(t 0 )U (t, t 0 )
= Sp U † (t, t 0 )ρ(t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 )
= Sp U (t, t 0 )U † (t, t 0 )ρ 2 (t 0 )
= Sp ρ 2 (t 0 ) . (7)
Hierbei haben wir verwendet, daß f¨ur unit¨are Operatoren U U † = Id gilt und daß die Spurbildung zyklisch invariant ist.
Aufgabe 2
Die zeitliche Entwicklung eines Operators im Heisenberg Bild wird durch den Zeitentwicklungsopera- tor U (t, t 0 ) bestimmt, der eine formale L¨osung der Schr¨odingergleichung ist, also:
i ~ ∂ψ
∂t = Hψ
ψ(t) = U (t, t 0 )ψ(t 0 ) = T exp
− i
~ Z t
t
0H (t ′ )dt ′
ψ(t 0 ),
wobei T den Zeitordnungsoperator bezeichnet. Insbesondere gilt f¨ ur zeitunabh¨angige Hamiltonopera- toren
U (t, t 0 ) = exp
− i
~ H (t − t 0 )
.
Die Zeitentwicklung eines Operators folgt nun unmittelbar aus zeitlichen Entwicklung von Erwar- tungswerten
hAi(t) = hψ(t)|A|ψ(t)i
= hψ(t 0 )|U † (t, t 0 )AU (t, t 0 )|ψ(t 0 )i
= hψ(t 0 )|A(t)|ψ(t 0 )i
mit A(t) = U † (t, t 0 )AU (t, t 0 ). Insbesondere gilt also f¨ ur den Dichteoperator ρ(t) = U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) und damit f¨ur die zeitliche Entwicklung der Entropie
S(t) = −k B Sp
ρ(t) ln(ρ(t))
= −k B Sp
U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) ln U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) . Betrachten wir im Folgenden das allgemeine Glied
U † ρ(t 0 )U − Id n
=
U † ρ(t 0 )U − U † U n
in der Entwicklung des Logarithmus
ln ρ = ρ − Id − (ρ − Id) 2
2 + (ρ − Id) 3
3 − + . . . , in der Operatorpotenzen ρ n = ρ ◦ ρ ◦ . . . ◦ ρ
| {z }
n-Faktoren
wohldefiniert sind und der Einheitsoperator wegen der Unitarit¨at von U , d.h. wegen U † = U −1 , als Id = U † U aufgel¨ost werden kann:
U † ρ(t 0 )U − U † U n
=
U † ρ(t 0 )U − U † U
◦ . . . ◦
U † ρ(t 0 )U − U † U
| {z }
n Faktoren
= U †
(ρ(t 0 ) − Id) U U †
| {z }
Id
(ρ(t 0 ) − Id) U ◦ . . . ◦ U † (ρ(t 0 ) − Id) U U †
| {z }
Id
(ρ(t 0 ) − Id)
U
= U † (ρ(t 0 ) − Id) n U.
Hieraus folgt f¨ ur den Logarithmus
ln U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 )
= U † (t, t 0 ) ln ρ(t 0 )U (t, t 0 ) und damit f¨ur die Entropie
S(t) = −k B Sp
U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 ) ln U † (t, t 0 )ρ(t 0 )U (t, t 0 )
= −k B Sp
U † (t, t 0 )ρ(t 0 ) U (t, t 0 )U † (t, t 0 )
| {z }
Id
ln ρ(t 0 )U (t, t 0 )
zykl. Inv.
= −k B Sp
ρ(t 0 ) ln ρ(t 0 ) U (t, t 0 )U † (t, t 0 )
| {z }
Id
≡ S (t 0 )
wobei wir im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur Operation verwendet haben.
Aufgabe 3
Der zu dem Zustand |ψ(t)i adjungierte Zustand hψ(t)| ist
hψ(t)| = c ∗ 1 e i
E~1thE 1 | + c ∗ 2 e i
E~2thE 2 |.
Da der Zustand ψ(t) als normiert vorausgesetzt wird, gilt
hψ(t)|ψ(t)i = |ψ(t)| 2 = |c 1 | 2 + |c 2 | 2 = 1.
Der zugeordnete Dichteoperator ergibt sich zu ρ(t) = |ψ(t)ihψ(t)|
= |c 1 | 2 |E 1 ihE 1 | + |c 2 | 2 |E 2 ihE 2 | + c 1 c ∗ 2 e i
(E2−E1)t
~
|E 1 ihE 2 | + c ∗ 1 c 2 e −i
(E2−E1 )t
~
|E 2 ihE 1 |.
Durch Zeitmittelung erhalten wir zun¨achst
ρ(t) = 1 T
Z T
0
ρ(t)dt
= |c 1 | 2 |E 1 ihE 1 | + |c 2 | 2 |E 2 ihE 2 | (8)
+ c 1 c ∗ 2 |E 1 ihE 2 | 1 T
Z T
0
e i
(E2−E1)t
~
dt + c ∗ 1 c 2 |E 2 ihE 1 | 1 T
Z T
0
e −i
(E2−E1)t
~