I. Das H-Theorem in dem BGK-Model Betrachten Sie das BGK-Modell

Physikalische Kinetik SS 2019

Blatt 9.

I. Das H-Theorem in dem BGK-Model Betrachten Sie das BGK-Modell

∂f

∂t + v∇f = −ν(f − f

).

Zeigen Sie, dass in diesem Modell das H-Theorem erf¨ ullt ist. Die H-Funktion ist wie ¨ ublich definiert durch

H =

Z

f (v, x, t) ln f(v, x, t)dvdx (d.h. S = −k

H), und man muss zeigen, dass

dH dt ≤ 0.

Die Verteilungsfunktion im lokalen Gleichgewicht ist f

(v, x, t) = n(x, t) m

2πk

T (x, t)

!

exp

"

− m

2k

T (x, t) (v − V(x, t))

#

, und es wird angenommen, dass hvi = hvi

= V und h(v − V(x, t))

i = h(v − V(x, t))

i

.

Hinweise: Parallel zu dem Fall der Boltzmann-Gleichung zeigen Sie, dass dH

dt =

Z

ln f I

dvdx

ist, wobei nun I

= −ν(f − f

) ist. Versuchen Sie dann das Integrand auf der Form (x − y) ln(x/y) zu bringen. Bei Umformung des Ausdrucks kann es von Nutzen sein, dass

Z

f ln f

dv =

Z

f

ln f

dv.

Zeigen Sie das.

1

II. Adiabatische Eliminierung

Das Prozedur zur Eliminierung der schnell relaxierenden Variablen, die wir in der Diskussion von BGK-Modell benutzt haben, kann auch in der an- deren F¨ allen von Nutzen sein. Betrachten wir die Klein-Kramers-Gleichung, einfachheitshalber ohne ¨ ausseren Kraft. Wir diskutieren das Problem in einer Dimension:

∂

∂t p(v, x, t) = − ∂

∂x vp(v, x, t) + ∂

∂v γ

m vp(v, x, t) + k

T γ m

∂

∂v

p(v, x, t), und f¨ uhren wir die folgende Bezeichnungen an: ρ(x, t) = ^R p(x, v, t)dv (mar- ginale Wahrscheinlichkeitsdichte der Position), ρ(x, t)u(x, t) = ^R vp(x, v, t)dv und ρ(x, t)hC

i = ^R (v−u)

p(x, v, t)dv. Wir wollen nun aus der Klein-Kramers- Gleichung die Diffusionsgleichung f¨ ur ρ(x, t) in dem ¨ uberd¨ ampften Fall be- kommen. In diesem Fall ist γ/m ein großes Parameter der Theorie.

• bestimmen Sie die kinetische Gleichungen f¨ ur ρ, u und hC

i.

Hinweis: Die erste zwei Gleichungen sehen wie folgt aus:

∂ρ

∂t + ∂

∂x ρu = 0

∂u

∂t + u ∂u

∂x = − γ m u − 1

ρ

∂ρhC

i

∂x .

• Bestimmen Sie auch die dritte Gleichung und zeigen Sie, dass f¨ ur γ →

∞ in diesem Fall

hC

i = k

T m .

Hinweis: das dritte Moment von C im Gleichgewicht verschwindet, wof¨ ur wir eigentlich die vierte Gleichung brauchen.

• Benutzen Sie die erste zwei Gleichungen um zur Diffusionsgleichung f¨ ur ρ(x, t) zu gelangen.

Hinweis: F¨ ur t τ = m/γ ist die mittlere Geschwindigkeit eine Variable, die sehr klein ist, und die sich sehr langsam ¨ andert (warum?).

Zeigen Sie nachtr¨ aglich, das es tats¨ achlich so ist.

2