Theoretische Plasmaphysik WiSe 17/18 Vorlesung: Prof. Dr. Julia Tjus
Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc ¨
Hausaufgabe 11 Datum: 18.01.2018
Abgabe: 25.01.2018, 16:00 Uhr
Pr¨ ufungsanmeldung
Um an der abschließenden m¨ undlichen Pr¨ ufung teilzunehmen, m¨ ussen sie mindestens 40 Prozent (132/330 Punkten) der m¨ oglichen Punkte aus den ¨ Ubungsaufgaben erreichen. Außerdem m¨ ussen Sie sich bis zum 30. Januar im eCampus f¨ ur die Pr¨ ufung anmelden. Im eCampus-Portal ist aus organ- isatorischen Gr¨ unden nur der 01. Februar als Pr¨ ufungstermin angelegt. Ihren genauen Pr¨ ufungstermin teilen wir per Mail mit und versuchen Ihre W¨ unsche dabei zu ber¨ ucksichtigen. Sollten Sie Fragen zu Ihren erhaltenen ¨ Ubungspunkten haben, melden Sie sich sp¨ atestens in der letzten ¨ Ubung bei Lukas Merten.
Aufgabe H11.1: Magnetische Helizit¨ at [15 Punkte]
Die magnetische Helizit¨ at H
Mim einfach zusammenh¨ angenden Volumen V ist definiert als H
M:=
Z
V
A ~ · B ~ dV , wobei A ~ ein zum Magnetfeld B ~ geh¨ origes Vektorpotential bezeichne.
(a) Unter welchen Bedingungen ist diese Definition vern¨ unftig, d. h. unabh¨ angig von der Eichung des Vektorpotentials?
(b) Zeigen Sie, dass gilt:
d
dt H
M= − 2c σ
Z
V
~j · B ~ dV ,
und somit die magnetische Helizit¨ at in der idealen MHD eine Erhaltungsgr¨ oße darstellt. Nutzen Sie daf¨ ur das Ohm’sche Gesetz in der Form E ~ + 1/c ~ v × B ~ = 1/σ ~j und achten Sie insbesondere darauf, bei der zeitlichen Ableitung den Fluss durch den Rand des Volumens zu ber¨ ucksichtigen.
(c) Nun soll die anschauliche Bedeutung dieser Erhaltungsgr¨ oße gefunden werden. Gehen Sie daf¨ ur von der (unphysikalischen) Situation aus, dass das Magnetfeld nur aus zwei Feldlinien ϕ ~
1: I
1→ R
3und ϕ ~
2: I
2→ R
3bestehe, die in V geschlossen seien und die Fl¨ achen C
1und C
2umranden. Es gelte also (i ∈ 1, 2):
d
ds ϕ ~
i(s) = B( ~ ϕ ~
i(s)) , und somit l¨ asst sich das Magnetfeld schreiben als:
B(~ ~ x) = Z
d ds ϕ ~
1(s)
δ(~ x − ϕ ~
1(s)) + d
ds ϕ ~
2(s)
δ(~ x − ϕ ~
2(s))
ds . Nutzen Sie weiterhin die Coulomb-Eichung:
A(~ ~ x) = 1 4π
Z
B(~ ~ y) × ~ x − ~ y
|~ x − ~ y|
3d
3y ;
und zeigen Sie, dass f¨ ur die Helizit¨ at vier Integrale der folgenden Form resultieren:
lk(C
i, C
j)) := 1 4π
I
Ci
I
Cj
~ x − ~ y
|~ x − ~ y|
3· (d~ x × d~ y) .
1
(d) Die in (c) gefundenen Linienintegrale wurden erstmals durch Gauß angegeben und ergeben die (ganzzahlige) Anzahl an Schnittpunkten der Kurve ϕ ~
imit der Fl¨ ache C
j. Dies l¨ asst sich bspw.
durch Projektion des Differenzvektors der Kurven auf S
2zeigen, soll hier aber nicht vertieft werden. Wie l¨ asst sich damit die magnetische Helizit¨ at anschaulich interpretieren?
(e) Erl¨ autern Sie kurz ein Anwendungsbeispiel, in dem die (n¨ aherungsweise) Helizit¨ atserhaltung f¨ ur die Dynamik des betreffenden Prozesses eine Rolle spielt (m¨ oglich Stichworte: Dynamo, magnetis- che Relaxation, Rekonnexion).
Aufgabe H11.2: Gefrorener magnetischer Fluss [10 Punkte]
Das Theorem des gefrorenen magnetischen Flusses besagt, dass der magnetische Fluss Φ
Bdurch eine offene Fl¨ ache S, welche durch die Kurve l begrenzt, wird in der idealen MHD zeitlich konstant ist:
d
dt Φ
B= 0 (1)
Φ
B= Z
S
B ~ · ~ n dS
Figure 1: Verallgemeinerte Zylinderoberfl¨ ache (a) Zeigen sie, dass Gleichung (1) gilt.
Gehen Sie dazu wie folgt vor:
• Zeigen Sie, dass sich die zeitliche ¨ Anderung des Flusses Φ
Bschreiben l¨ asst als, falls sich das Linienelement l mit der Geschwindigkeit ~ v bewegt (siehe Abbildung 1:
d
dt Φ
B= lim
∆t→0
1
∆t (Φ
B1(t + ∆t) − Φ
B1(t) − Φ
B3(t + δt))
, (2)
hierbei ist Φ
i, der Fluss durch die entsprechenden Fl¨ achen in Abbildung 1. Nutzen Sie aus, dass gilt ∇ B ~ = 0.
• Zeigen Sie, dass gilt:
Z
S3
B(t ~ + ∆t) · ~ n
3dS = ∆t I
l
(~ v × B(t ~ + ∆t)) · d~l (3)
• Wenn Sie davon ausgehen, dass die Integration und Grenzwertbildung vertauschen d¨ urfen, zeigen Sie, dass unter Verwendung des Satzes von Stokes gilt:
d dt Φ
B=
Z
S1
