Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc ¨

Theoretische Plasmaphysik WiSe 17/18 Vorlesung: Prof. Dr. Julia Tjus

Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc ¨

Hausaufgabe 9 Datum: 14.12.2017

Abgabe: 21.12.2017, 16:00 Uhr

Hinweise zur Weihnachtszeit

Die Vorlesung am Donnerstag, 14.12.2017 f¨ allt krankheitsbedingt aus.

Die Vorlesung von Montag, 18.12.2017 wird auf Dienstag, 19.12.2017 verlegt (10:00 Uhr c.t. ND 3/99) und findet als sog. Weihnachtsvorlesung statt. Hier werden Doktoranden und Mitarbeiter des Lehrstuhls ihre aktuelle Forschung in kurzen Vortr¨ agen vorstellen.

Die Vorlesung am Donnerstag, 21.12.2017 f¨ allt aufgrund der Weihnachtsferien aus.

Die ¨ Ubung am 22.12.2017 findet nicht statt.

Die n¨ achste Vorlesung findet am Montag, 08.01.2018 statt.

Die n¨ achste ¨ Ubung findet am Freitag, 12.01.2018 statt.

Wir w¨ unschen Ihnen Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins Jahr 2018!

Aufgabe H9.1: Zusammenhang von Lenard-Balescu- und Fokker-Planck-Gleichung [15 Punkte]

Die Fokker-Planck-Gleichung tritt h¨ aufig in der statistischen Physik auf und beschreibt die Zeiten- twicklung von Verteilungsfunktionen unter dem Einfluss vieler kleiner ¨ Anderungen/St¨ oße. Nachdem wir uns lange mit der stoßfreien Vlasov-Gleichung befasst haben, soll zum Abschluss des Themen- blocks ”kinetische Theorie” noch einmal die Lenard-Balescu-Gleichung (LBG) betrachtet werden, welche sich unter einigen vereinfachenden Annahmen aus der BBGKY-Hierarchie ergibt und Zwei- K¨ orper-Wechselwirkungen/-St¨ oße nicht vernachl¨ assigt. Die LBG lautet:

∂

f (~ v, t) = −∇

· Z

d

v

← →

Q (~ v, ~ v

)(∇

− ∇

)f (~ v)f (~ v

) (1)

← →

Q (~ v, ~ v

) = − 8π

n

m

Z

d

k ( ~ k ⊗ ~ k)



 ˆ ϕ(k)

( ~ k, ~ k · ~ v)





2

δ( ~ k · (~ v − ~ v

)) , (2) wobei ( ~ k, ω) die bekannte dielektrische Funktion und ˆ ϕ(k) = e

/(2π

k

) die Fourier-Transformierte des Coulomb-Potentials ist (vergleichen Sie diese Form der LBG mit der in der Vorlesung angegebe- nen!).

(a) Zeigen Sie, dass sich ← →

Q (~ v, ~ v

) mit ~ g := ~ v − ~ v

und der Einheitsmatrix ← →

I schreiben l¨ asst als:

← →

Q (~ g) ≈ − 2πn

e

ln Λ m

g

← →

I − ~ g ⊗ ~ g

g

. (3)

Hinweis : F¨ uhren Sie die Integration in (2) in Kugelkoordinaten durch, wobei Sie ≡ 1 ansetzen und die radiale Integration nur von k

= λ

bis k

= p

durchf¨ uhren (mit p

= 2e

/(mv

) als Landau-L¨ ange). Sind dies vern¨ unftige N¨ aherungen? Orientieren Sie bspw. die z-Achse ihres Koordinatensystems parallel zu ~ g, dann sollten bei korrekter Rechnung nach der Integration nur Beitr¨ age f¨ ur die ~ e

⊗ ~ e

und die ~ e

⊗ ~ e

-Komponente ¨ ubrig bleiben. Gehen Sie am Ende zu der koordinatenfreien Darstellung (3) ¨ uber.

1

(b) Weisen Sie die Identit¨ aten:

∇

∇

g = g

← →

I − ~ g ⊗ ~ g

g

, (4)

und:

(∇

· ∇

)g = 2

g , (5)

nach und nutzen Sie diese (sowie ∇

g = −∇

g), um (1) in die Form einer Fokker-Planck-Gleichung zu bringen, d.h.

∂

f (~ v, t) = −∇

· h

A(~ ~ v, t) f (~ v, t) i

+ 1

2 ∇

∇

: h ← →

B (~ v, t) f(~ v, t) i

, (6)

mit dem Driftkoeffizienten:

A(~ ~ v, t) = 8πn

e

ln Λ m

∇

Z

d

v

f (~ v

, t)

g , (7)

und dem Diffusionstensor:

← →

B (~ v, t) = 4πn

e

ln Λ m

∇

∇

Z

d

v

gf (~ v

, t) . (8) Hinweis : Das doppelte Tensorprodukt ist definiert als ← →

X : ← →

Y = Spur( ← → X ← →

Y

) = X

Y

(mit Summenkonvention). In allen Rechnungen dieser Teilaufgabe erweist sich ein komponentenweises Rechnen mit Summenkonvention als sehr hilfreich, also bspw. [∇

∇

g]

= ∂

∂

g. So m¨ ussen Sie keine Vektoridentit¨ aten nachschlagen.

Aufgabe H9.2: Diffusionsn¨ aherung f¨ ur magnetostatische Turbulenz oder parallele Diffusion [15 Punkte]

Es ist nicht immer m¨ oglich die Fokker-Planck-Gleichung geschlossen zu l¨ osen, oder auch nur Teile ihrer ganz allg. Fokker-Planck-Koeffizienten zu bestimmen. Unter bestimmten Annahmen lassen sich aber erstaunlich treffende N¨ aherungen berechnen.

Beschr¨ ankt man sich auf magnetostatische Turbulenz (δ ~ E = 0) ist der Pitch-Winkel (hierbei ist µ = cos(θ) wobei θ der Winkle zwischen Magnetfeld- und Impulsvektor ist) FP-Koeffizient D

der einzige nicht verschwindende FP-Koeffizient. Im Falle stark magnetisierter Plasmen (δB B) und B ~ = B

~ e

l¨ asst sich die Fokker-Planck Gleichung schreiben als:

∂f

( X, µ, p, t) ~

∂t + vµ ∂f

∂Z − S( X, p, t) = ~ ∂

∂µ D

∂f

∂µ , (9)

hier ist f

( X, µ, p, t) die gyrokinetische Verteilungsfunktion von der wir annehmen, dass sie sich schnell ~ durch Pitch-Winkel-Streuung einer isotropen Verteilung im Ruhesystems des Plasmas n¨ ahert. Es gilt also:

f

( X, µ, p, t) = ~ F ( X, p, t) + ~ g( X, µ, p, t) ~ (10) hf

i = 1

2 Z

−1

f

dµ := F ( X, p, t) ~ (11) (a) Zeigen Sie, dass aus Gl. (9) unter Verwendung von Gl. (10,11) folgt:

∂F

∂t + v 2

∂

∂Z Z

−1

µg(µ) dµ − S = 0 . (12)

Verwenden Sie hierzu, dass gilt: D

∝ (1 − µ

).

Die Differenz aus Gl. (9) und Gl. (12) kann unter bestimmten Voraussetzungen vereinfacht werden zu:

vµ ∂F

∂Z ≈ ∂

∂µ

D

∂g

∂µ

(13)

2

(b) Berechnen sie o.g. Differenz explizit und suchen sie Argumente, welche die Vereinfachung st¨ utzen.

(c) Zeigen Sie durch zweifache Integration ¨ uber µ, dass gilt:

g = v 4

∂F

∂Z Z

−1

(1 − s) 1 − s

D(s) ds − 2

Z

−1

1 − s

D(s) ds

, (14)

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten nutzen Sie aus, dass D

∝ (1 − µ

) gilt und aus Gl. (11) folgt: hg(µ)i = 0.

(d) Zeigen Sie abschließend, dass sich Gl. (12) schreiben l¨ asst als:

∂F

∂t = ∂

∂Z

κ

∂F

∂Z

+ S (15)

mit: κ

= v

8

Z

−1

(1 − µ

)

D

dµ , (16)

hier wird κ

als paralleler Diffusionskoeffizient bezeichnet.

3