U Potential von F ~ ⇔

8.5 Potentialtheorie

Potential

U Potential von F ~ ⇔

F ~ = grad U Arbeitsintegral entspricht Potentialdifferenz

Z

C

F ~ · d~r = U (B) − U (A) = [U ] ^B _A

f¨ur jeden Weg C : t 7→ ~r(t), t ∈ [a, b] von A nach B R

C

F ~ · d~r = 0 f¨ur geschlossene Wege Existenz eines Potentials

Existenz eines Potentials ⇔ Wegunabh¨angigkeit des Arbeitsintegrals ⇔ U (P ) = U (P 0 ) +

Z

C

F ~ · d~r

mit C P : t 7→ ~r(t) einem beliebigen Weg, der P 0 mit P verbindet Potential bis auf eine Konstante eindeutig

Integrabilit¨ atsbedingung

F ~ = grad U = ⇒ rot F ~ = 0 Umkehrung g¨ultig f¨ur einfach zusammenh¨angende Gebiete

Konstruktion eines Potentials

grad U = F ~ = (F x , F y , F z ) ^t Integration von F x bzgl. x

U (x, y, z) = Z

F x dx = U 1 (x, y, z) + C 1 (y, z) Integration von F y = ∂ y U = ∂ y U 1 + ∂ y C 1 bzgl. y

C 1 (y, z) = Z

(F y − ∂ y U 1 ) dy = U 2 (y, z) + C 2 (z) Integration von F z = ∂ z U = ∂ z U 1 + ∂ z U 2 + ∂ z C 2 bzgl. z

C ₂ (z) = Z

(F _z − ∂ _z U ₁ − ∂ _z U ₂ ) dz = U ₃ (z) + c

127

Hakenintegral

F ~ = (F x , F y , F z ) ^t = grad U

U (Q) = U (P ) +

q

Z

p

F x (x, p 2 , p 3 ) dx +

q

Z

p

F y (q 1 , y, p 3 ) dy +

q

Z

p

F z (q 1 , q 2 , z) dz

analoge Integrale bei Permutation der Koordinaten Vektorpotential

A ~ Vektorpotential von F ~ ⇔

F ~ = rot A ~

Existenz eines Vektorpotentials

F ~ = rot A ~ = ⇒ div F ~ = 0 Umkehrung g¨ultig auf einfach zusammenh¨angendem Gebiet

Vektorpotential bis auf ein Gradientenfeld eindeutig bestimmt:

rot B ~ = rot A ~ = ⇒ B ~ = A ~ + grad U

− ∆U = div A ~ (Eichung) div B ~ = 0 Konstruktion eines Vektorpotentials

A(x, y, z) = ~



 

 

 

 



0 R x

x

F z (ξ, y, z) dξ − R z z

F x (x 0 , y, ζ) dζ

− R x x

F _y (ξ, y, z) dξ



 

 

 

 

 analoge Formeln durch zyklisches Vertauschen der Variablen

128