Numerik Partieller Differentialgleichungen, Sommersemester 2011/2012 Aufgabenblatt 2
Prof. Peter Bastian Abgabe 9. Mai 2012
IWR, Universit¨at Heidelberg
U¨BUNG1 ANALYTISCHEL ¨OSUNG FUR HETEROGENE¨ W ¨ARMELEITUNG
Ω1
Ω2
Ω3 Ω4
(0,0)
(1,1)
(−1,−1) (1,−1)
(−1,1)
Auf dem oben dargestellten zwei-dimensionalen Gebiet solle die W¨armeleitungsgleichung gem¨aß
∇(−λ∇u) = 0, ∀x∈Ω, mit Ω = [
i=1...4
Ωi,
gel ¨ost werden. Dabei seiλst ¨uckweise konstant und es gelte
λ=
(λ1 x∈Ω1∪Ω3
λ2 x∈Ω2∪Ω4 .
1. Zeigen Sie, dass die in Polarkoordinaten gegebene Funktion pi(r, θ) =rδ(aisin(δθ) +bicos(δθ))
aufΩ\(0,0)f ¨ur Konstantenai, bi, δ∈Rharmonisch ist, also∆u= 0gilt.
2. Die Funktionp: Ω→Rsei st ¨uckweise durch p(r, θ)
Ωi =pi(r, θ), (i= 1. . .4),
definiert. Welche ¨Ubgergangsbedingungen m ¨ussen an den R¨andern Ω1\
Ω2, Ω2\
Ω3, Ω3\
Ω4, Ω4\ Ω1,
gelten, damitpden physikalischen Anforderungen an die Erhaltungseigenschaften des W¨armetransports gen ¨ugt. F ¨ur gegebenesδ entsprechen diese Forderungen einem linearen Gleichungssystem in
denaiundbi. Stellen Sie dieses System auf.
3. (Bonus)Bestimmen Sie explizit (mit Matlab, Maple, Mathematica oder eigenem Programm) die Koeffizientenai, bi, δunter der zus¨atzlichen Forderungδ= 0.5354409455.
5 (+ 2) Punkte
U¨BUNG2 EIGENSCHAFTEN DESENERGIE-FUNKTIONALS IM DISKRETENFEDER-SYSTEM
In der Vorlesung wurde gem¨aß der Darstellung
J(n)(u) =Jel(n)+Jf(n)=
n
X
i=0
κi
2(kui+1−uik)−li)2−
n
X
i=1
ui·fi
die FunktionJ(n):U →Rvorgestellt, wobei
U =R3×R3× · · · ×R3
| {z }
n+1mal
.
Dies entspricht einer diskreten Approximation der elastischen und (durch Wirkung externer Kr¨afte bedingten) potentiellen Energie in einem gespannten Faden.
Es gebe ein∈(0,1)so dass
2
n
X
i=0
kui+1−uik ≥
n
X
i=0
li.
Zeigen Sie, dass dann das FunktionalJ(n)(u)nach unten beschr¨ankt ist, also
∃C ∈R:J(n)(u)≥C, ∀u∈U.
Gehen Sie wie folgt vor:
1. Zeigen Sie zun¨achst:
Jel(n) ≥α
n
X
i=0
kui+1−uik
!2
+β (α, β >0).
2. Zeigen Sie auch:
kuk ≤√ n+ 2
n
X
i=0
kui+1−uik+ku0k
!
3. Verwenden Sie beide Ergebnisse, um Jel(n)≥ α∗
2 kuk2+β∗, (α∗ >0, β∗∈R)
zu zeigen. Kombiniert mit einer Absch¨atzung f ¨urJf(n)(u)f ¨uhrt dies zur Behauptung.
Hilfreiche Ungleichung:
n
X
i=1
ai
!2
≤2log2n
n
X
i=1
a2i
10 Punkte
U¨BUNG3 SIMULATION DESDISKRETENFEDER-SYSTEMS
Die L ¨osung desu∈R3(n+1)des diskreten Energie-FunktionalsJ(n)(u), welche J(n)(u)≤J(n)(v) ∀v∈U
erf ¨ullt soll numerisch bestimmt werden. Hierzu ist die L ¨osung der nicht linearen algebraischen Glei- chung
∇J(n)(u) = 0
zu bestimmen. Es gilt:
∂J(u)
∂(uk)l
=κk−1(kuk−uk−1k −lk−1)(uk)l−(uk−1)l
kuk−uk−1k +κk(kuk+1−ukk −lk)(uk)l−(uk+1)l
kuk+1−ukk −(fk)l. Im dune-npde Modul ist im Verzeichnis dune-npde/uebungen/uebung02 ein Programm verf ¨ugbar, welches bereits fast alle notwendigen Schritte durchf ¨uhrt, um dieses nicht-lineare Problem durch eine Iteration nach dem Schema
∂J(ui, ui−1)
∂(uk)l =κk−1(kui−1k −ui−1k−1k−lk−1)(uik)l−(uik−1)l
kui−1k −ui−1k−1k+κk(kui−1k+1−ui−1k k−lk)(uik)l−(uik+1)l
kui−1k+1−ui−1k k−(fk)l. zu l ¨osen. Augehend von einem Startwert u0 ∈ R3(n+1) muss in jeder Iteration ein lineares Pro- blem zur Bestimmung derui gel ¨ost werden. Lediglich die FunktionenassembleMatrix(..)und assembleRhs(..), welche die Matrix und rechte Seite der linearen System aufstellen, sind noch nicht (bzw. unvollst¨andig) implementiert.
1. Vervollst¨andigen Sie diese Implementierung und testen Sie diese. Das Programm wird durch die Dateiuebung02.inikonfiguriert. Die Voreinstellung entspricht einem Silikon-Kautschuk Fa- den mit einem Quadratmillimeter Querschnittsfl¨ache, der um das zweieinhalbfache seiner Ru- hel¨ange auf 1000 Meter gespannt wurde.
2. Testen Sie ihre L ¨osung und erweitern Sie das Programm so, dass es von den y-Koordinaten der Feder-Knoten sowohl den Mittelwert als auch den niedrigsten Wert bestimmt und ausgibt.
3. (Bonus):Verwenden Sie in der Matrix-Iterator Schleife in der MethodeassembleMatrix(..) keine conditionals, also Anweisungen, die im kompilierten Code bedingte Spr ¨unge erzeugen k ¨onnten (wieif,switch,?:,std::max(..), etc.).
10 (+ 3) Punkte
