H¨ohereMathematikIIWS2002/2003
§ 5: F ourier - und Laplace-T ransf ormationen
IndenvorigenParagraphenhabenwirperiodischeFunktionenmittels ihrerFOURIER-Reihenals¨ Uberlagerungen
reinerSchwingungendarge- stellt.DieseZerlegungeinerFunktioninSinus-undCosinusschwingun- genverschiedenerFrequenzenistnichtnurf¨urperiodischeFunktionen n¨utzlich;angesichtsderTatsache,daßdasVerhaltenvielerelektroni- scherBauteilevonderFrequenzabh¨angt,w¨urdemangernejedeFunk- tionentsprechendzerlegen.Esistallerdingsklar,daßFOURIER-Reihen, wiewirsiebislangkennen,dazunichtgeeignetsind:Dadortallebetei- ligtenFrequenzenVielfacheeinefestenGrundfrequenzsind,mußauch dieSummemindestensdiederGrundfrequenzentsprechendePeriode haben. Daherbrauchenwirf¨urnichtperiodischeFunktionenimAllgemeinenein kontinuierlichesFrequenzspektrum;diesesliefertunsf¨urhinreichend gutartigeFunktionendieFOURIER-Transformation.DieLAPLACE-Trans- formationisteineVariantedavon,diezwarinhaltlichetwasschwerer zuinterpretierenistalsdieFOURIER-Transformation,diedaf¨uraberf¨ur gr¨oßereFunktionenklassenexistiertundrechnerischbesserhandhabbar ist;außerdemgibteszurLAPLACE-Transformationsehrvielausf¨uhrli- chereTabellenalszurFOURIER-Transformation a)Fourier-ReihenundFourier-Integrale ZurKonstruktionderFOURIER-Transformationgehenwirausvon FOURIER-Reihen: F¨ureinebeliebigereelleFunktion
:
w¨ahlenwirdazuzun¨achst eine(große)Periode
undbetrachtendieFunktion
:
,dieauf demIntervall(
2
2]mit
¨ubereinstimmtunddannperiodisch mitPeriode
aufganz
fortgesetztwird.Mit
=2
istdie FOURIER-Reihevon
gleich
=
mit
=
(
)=1
2
2
( )
.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
Um
selbstdarzustellen,m¨ussenwir
gegenunendlichgehenlassen; umdasVerhaltenvon
beiVer¨anderungvon
kontrollierenzuk¨onnen, definierenwirdazueineFunktion
! (
" )als ! (
" )= def
2
2
( )
#
. MitdieserDefinitionist =1
! (
)=
2
! (
), unddieFOURIER-Reihevon
l¨aßtsichschreibenals 1 2
=
! (
)
(
) . W¨aredieseineendlicheSumme,etwa 1 2
$ =
$
! (
)
(
)
, sok¨onntenwirsieauffassenalsRIEMANN-Summef¨ur (
$ +1)
$
1 2
! (
" )
#" beieiner¨aquidistantenUnterteilungmitIntervallbreite
.Fallsalso gegenNullgeht(unddamit
=2
gegenunendlich)undgleichzeitig % gegenunendlich,konvergiertdieFOURIER-ReihegegendasIntegral
1 2
! (
" )
#
" =1 2
! (
" )
#
" , soferndiesesexistiert.ImIdealfallsolltealsogelten ( )=1 2
! (
" )
#
" mit
! (
" )= def
( )
#
.
& H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Umdiesgenauerzuuntersuchen,gebenwirdiesenKonstruktionenNa- men: Definition:F¨ur
:
' bezeichnenwirdieFunktion :
(*)+)+)+, )+)+)+-
' .
( )
+
, sosieexistiert,alsFOURIER-Transformiertevon
. Damitsolltedannalsogelten ( )=1 2
(
)
+
, unddieseKonstruktion,die
aus
rekonstruiert,heißtinverseFOURIER- Transformation: Definition:F¨ur
/ :
' bezeichnenwirdieFunktion ˇ/ :
(*)+)+)+, ))+)+-
' .
1 2
/ (
)
+
alsinverseFOURIER-Transformiertevon
/ . Offensichtlichist ˇ (
)=1 2
(
)und
/ ( )=2
ˇ
/ (
). JenachBuchoderVorlesungwerdendieVorfaktorengelegentlichauch andersgew¨ahlt,beispielsweisestandinderHMIIbis1998derFaktor 1
2
vorderFOURIER-Transformationselbststattvorihrerinversen.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
0 Diejetztgew¨ahlteDefinitionpaßtbesserzuderausderhiesigenElek- trotechnik;dortwirddieFOURIER-Transformationals 1 (
2 )=
( )
3
+
definiert,wobei
2 ,wieinderElektrotechnik¨ublich,f¨urdieinderMa- thematikundPhysikmit
4 bezeichneteimagin¨areEinheit
5 1steht. Demnachistalso
1 (
2 )=
(
). EinigeAutorenbevorzugenesauch,ausSymmetriegr¨undenbeibeiden TransformationeneinenVorfaktor1
5 2
zuverwenden,sodaßjenach BuchdurchaussehrverschiedeneDingegemeintseink¨onnen,wenn von ”der“FOURIER-TransformationundihrerUmkehrungdieRedeist. InallenF¨allensinddieFaktorenabersoaufeinanderabgestimmt,daß f¨urhinreichendgutartigeFunktionendieBeziehungen ˇ ( )=
( )und
ˇ ( )=
( ) gelten. b)DieLaplace-Transformation DieExistenzderFOURIER-Transformierten,d.h.dieKonvergenzdesun- eigentlichenIntegralsausderDefinition,sowieauchdieobigenFormeln f¨urˇ und
ˇ sindleiderallesanderealsselbstverst¨andlich:F¨ur
( )=1 oderauch
( )=
oder
( )=
6 undinvielenweiterenF¨allenkann dasIntegralf¨ur
(
)schonausganztrivialenGr¨undennichtexistieren. OffensichtlichhatdasFOURIER-Integral
( )
7
Konvergenzproblemesowohlanderoberenalsauchanderunteren Grenze.BeivielenAnwendunginteressierenFunktionenvorallemf¨ur positiveWertevon
(die ”Zukunft“),w¨ahrendnegativeWerte(die ”Ver- gangenheit“)vernachl¨assigtwerdenk¨onnen.Umdahereinegegebene
8 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Funktion
soabzu¨andern,daßdasFOURIER-Integralanderunteren GrenzekeineKonvergenzproblememehrhat,setzenwirsief¨ur
9 0 einfachaufnull. F¨urpositive
d¨urfenwirnichtsoradikalvorgehen;schließlichsolldas ErgebnisnochetwasmitderFunktion
zutunhaben.Deshalbd¨ampfen wirhierdieFunktionnurdurcheineExponentialfunktion.Insgesamt betrachtenwiralsoanstellevon
( )dieFunktion
/;:
(
)=
< 0f¨ur
9 0 ( )
:
f¨ur
= 0. DenFunktionswertanderStelle0legenwirsofest,daßdieFunktion dortrechtsseitigstetigist,d.h. / (0)=
(0+ )=lim>0+
( ). DieFOURIER-TransformiertedieserFunktion
/?:
bezeichnenwir,wenn sieexistiert,alsLAPLACE-Transformiertevon
anderStelle
@ =
A +
4 , inZeichen B
C ( )
D (
@ )= def
0
( )
E
+
. F¨urg¨angigeFunktionen
ist
BC ( )
D (
@ )istdenmeistenFormelsamm- lungenzufinden;esgibtauchumfangreicheTabellenwerke,dieaus- schließlichderLAPLACE-Transformationgewidmetsind.Imallgemei- nenwirdsienurf¨urhinreichendgroßeWertevon
A =
FG@ existieren. DieinverseLAPLACE-Transformationl¨aßtsichausderinversenFOURIER- Transformationableiten:Wegen
B
C ( )
D (
A +
4 )=
/ :( )sollte
/ :(
)die inverseFOURIER-Transformiertevon
B
C ( )
D (
A +
4 )sein;f¨ur
= 0 solltedaher ( )=
:
/;:
(
)=
:
2
B
C ( )
D (
A +
4 )
+
sein.F¨ur
9
0k¨onnenwirnat¨urlichkeineentsprechendeFormeler- warten,dadieFunktionswertevon
aufdernegativenAchsebeider BerechnungderLAPLACE-Transformationignoriertwerden.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
HI c)ErsteEigenschaftenundersteBeispiele AlserstesBeispielbetrachtenwirdieFunktion
( )=sin
.Ihr FOURIER-Integral (
)=
sin
7
isteinunendlichesIntegral¨ubereineperiodischeFunktion,existiertalso nicht.DasLAPLACE-Integral BC sin
D (
@ )=
0
sin
E
+
existiertf¨urreinimagin¨ares
@ =
4 ausdemgleichenGrundnicht, undf¨urein
@ mitnegativemRealteilkannesnat¨urlichschongarnicht existieren.Istaber
FG
@=
0,soliefertdieRegelf¨urpartielleIntegration B
C sin
D (
@ )=
0
sin
E
=sin
E
@
JKJKJKJ
0
0
cos
E
@
etwasVerwertbares:
E
gehtdannn¨amlichf¨ur
L
gegennull, undanderunterenGrenze
=0verschwindetsin
,sodaßdererste Summandrechtsinsgesamtverschwindet.DerIntegralganzhintenist bisaufdenFaktor
@ dieLAPLACE-TransformiertedesCosinus,d.h. BC sin
D (
@ )=
@
BC cos
D (
@ ). AufdasLAPLACE-Integralf¨urdenCosinuswendenwirwiederdieRegel derpartiellenIntegrationan: BC cos
D (
@ )=
0
cos
E
=cos
E
@
JKJKJMJ
0+
0
sin
E
@
. HierbekommenwiranderunterenGrenzedeserstenTermsrechtsden Werteinsf¨urdenCosinus,undanderoberenGrenzegehtnat¨urlich wiederderExponentialfaktorgegennull,sodaß BC cos
D (
@ )=1 @+
@
BC sin
D (
@ )
H H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 ist.Insgesamtist B
C sin
D (
@ )=
@
B
C cos
D (
@ )=
@2
2 @2
B
C sin
D (
@ ) oderN 1+
2 @2
O B
C sin
D (
@ )=
@2. Multiplikationmit
@2 machtdaraus (
@2 +
2 )
BC sin
D (
@ )=
und
BC sin
D (
@ )=
@2+
2 f¨ur
FG@
= 0.Damitkennenwirauch BC cos
D (
@ )=
@
BC sin
D (
@ )=
@ @2+
2. Tats¨achlichkennenwirsogardieLAPLACE-Transformationeinesbe- liebigentrigonometrischenPolynoms,dennwegenderLinearit¨atder Integrationgiltoffensichtlich Lemma:SowohldieFOURIER-alsauchdieLAPLACE-Transformation sindlineareOperationen,d.h.f¨urzweiFunktionen
/ undzweikom- plexeZahlen
P
Q gilt P
+
Q/ (
)=
P
(
)+
Q
/ (
) und BCP
+
Q/
D (
@ )=
P
BCD (
@ )+
Q
BC/
D (
@ ), sofernjeweilsbeideSeitenexistieren. Damitistetwa B
C7R
cos
+
S sin
D (
@ )=
R@ +
S @2+
2, undentsprechendl¨aßtsichauchdieLAPLACE-Transformationjedestri- gonometrischenPolynomsberechnen. Wirk¨onnennocheinenSchriffweitergehenunddieLAPLACE-Trans- formationauchaufeineged¨ampfteSchwingung
T (R cos
+
S sin
)
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
H anwenden,dennallgemeingilt: Lemma:FallsbeideSeitenexistieren,istf¨urjedes
U
' BC
V
( )
D (
@ )=
BC ( )
D (
@ ). ZumBeweisrechnenwireinfachnach: B
C
V
( )
D (
@ )=
0
V
( )
E
+
=
0
( )
(
E
V)
=
B
C ( )
D (
@ ). Damitistalsobeispielsweise BC
T (R cos
+
S sin
)
D (
@ )=
R (
@ +
P )+
S (
@ +
P )2+
2. Alsn¨achsteswollenwir ”richtige“Polynomfunktionenbetrachten;wie daserstederobigenLemmatazeigt,reichtesdazu,dieTransformationen derPotenzfunktionen
.
6 f¨ur
W
U
X 0zubetrachten. BeimFOURIER-Integral
6
=
6 cos
4
6 sin
gibtesoffensichtlichkeineChance,daßesexistiert;selbstderCAUCHYsche Hauptwertexistiertnicht,dennwennderIntegranddesRealteilsunge- radeist,istderdesImagin¨arteilsgeradeundumgekehrt. DieLAPLACE-TransformationverlangtdieBerechnungvon BC
6D (
@ )=
0
6
E
. DiesesIntegralk¨onnenwirdurchdieaus[HM1],Kap.II,
Y 3lbekannte Gammafunktion Z (
[ )=
0
\1
+
HH H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 ausdr¨ucken:mitderSubstitution
] =
@
wird 0
6
E
=
0
]
6 @
6
^
] @=1 @
6+1
0
]
6
^] =
Z (
W +1) @
6+1. Wiewirdamalsnachgerechnethaben,ist Z (
W +1)=
W !f¨uralle
W
U
X 0, also B
C
6D (
@ )=
W ! @
6+1. F¨ureinPolynom ( )=
R 6
6 +R
61
61 +
___+
R 1
+
R 0 istdamitnachobigemLemma B
C ( )
D (
@ )=
W !
R6 @
6+1+(
W 1)!
R 61 @
6+
___+2
R 1 @2+
R 0 @ =
W !
R6+(
W 1)!
R61
@ +
___+2
R 1
@
61 +
R 0
@
6 @
6+1. InsbesondereistdieLAPLACE-TransformierteeinerkonstantenFunktion ( )=
R gleich
R
@ .GenaudieselbeTransformiertehatnat¨urlichauch dieSprungfunktion ( )=
`R f¨ur
a 0 0f¨ur
9 0, dennaufWerteannegativenStellenkommtesbeiderLAPLACE-Trans- formationnichtan. Alsn¨achsteswollenwirnegativePotenzen
6 betrachten.Deren LAPLACE-Transformationistgegebendurch B
C
6D (
@ )=
0
E
6
, unddiesessowohlanderoberenalsauchanderunterenGrenzeunei- gentlicheIntegralexistiertleidernicht:F¨urreelles
@
= 0etwaistf¨ur jedes
R
= 0dieFunktion
bE 6 ¨uberallimIntervall(0
R ]kleiner
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
Hc odergleichdemIntegranden;daihreStammfunktion
bE (1
W )
61 f¨ur
W
= 1und
bE ln
f¨ur
W =1f¨ur
0gegenunendlichgeht, existiertdasIntegral b 0
bE 6
f¨urkein
R
= 0,unddamitexistierterstrechtdasobigeLAPLACE-Integral nicht. Daf¨uraberexistiertindiesemFallzumindestderCAUCHYscheHaupt- wertdesFOURIER-Integrals
6
! F¨ur
W =1habenwirin
Y 3f)imZusammenhangmitdemIntegralsinus nachgerechnet,daß
=
4 f¨uralle
= 0. Ersetzenwirhier
durch
,wirdderIntegrandkomplexkonjugiert, alsoauchderCAUCHYscheHauptwertdesIntegrals,unddamitist
=
4 f¨uralle
9 0. F¨ur
=0habenwirdasIntegral¨uber1
,dasnat¨urlichebenfallsnicht existiert,dasaberdenCAUCHYschenHauptwertnullhat,daderInte- grandungeradeist.DerCAUCHYscheHauptwertdesFOURIER-Integrals istalso
=
d
4 f¨ur
=
0 0f¨ur
=0
4 f¨ur
9 0.
H H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 F¨ur
W=
1kannmangenauwiein
Y 3f)argumentierenunderh¨alt(mit dendortigenBezeichnungen)dieBeziehung
6
=lime> 0
fg
h i
6
i f¨urdenCAUCHYschenHauptwert.ReihenentwicklungderExponential- funktionf¨uhrtauf fg
h i
6=
fg
=0
(
4 )
i
6 !
i =
=0
(
4 )
!
fg
i
6i . F¨ur
=
W 1istdasrechtsstehendeIntegral fg
i
1
i =Ln(
j )Ln(
j )=Ln(1)=
4 unabh¨angigvon
j ;imFalle
k =
W 1verschwindet fg
i
6i =
j
6+1 (
j )
6+1 f¨ur
lW 1mod2undistgleich2
j
sonst.Dadiegeometrische Reihe2
m
=1
j
einekonvergenteMajorantederSummeallersolcher Termeistundf¨ur
j 0gegennullgeht,folgt
6
=lime>0
fg
h i
6
i =(
4 )
61 (
W 1)!
_
4 f¨ur
=
0. F¨ur
9
0wirdwiederderIntegrandkomplexkonjugiert,alsoauchdas Ergebnis;imFaktor(4
)
61 sorgt
selbstf¨urdiekomplexeKonjugati- on,sodaßrechtsnur
4 konjugiertwerdenmuß,d.h.derCAUCHYsche HauptwertdesFOURIER-Integralsist
6
=
d (
)
no
1 (
61)!
_
f¨ur
= 0 (
)
no1 (
61)!
_
f¨ur
=
0.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
H F¨ur
=0habenwirdasIntegral¨uber1
6 ,daßf¨urungerades
W den CAUCHYschenHauptwertnullhatundf¨urgerades
W gegenunendlich divergiert. UmwenigstenseinBeispieleinesnichtnuralsCAUCHYscherHauptwert existierendenFOURIER-Integralszusehen,wollenwiralsletztesBeispiel denRechteckimpuls ( )=
`R f¨ur
Sp
p
S 0sonst betrachten.Hierist (
)=
( )
+
=
q
q
R
+
=
R 4
JMJKJKJ
q
q =
R
q
q 4=2R sin
S . MitderinderElektrotechniksehrwichtigenFunktion sinc
=sin
l¨aßtsichdiesauchschreibenals (
)=2
R
S sinc
S . Anstellevonsinc
schreibenmancheAutorenauchsi
,mandarfdie FunktionabernichtmitIhrerStammfunktion,demIntegralsinusSi
, verwechseln. DieLAPLACE-TransformiertediesesRechteckimpulsesist B
C ( )
D (
@ )=
0
( )
E
+
=
q 0
R
E
=
R @
r 1
E
q
s , unddasistgleichzeitigauchdieLAPLACE-TransformiertederRecht- eckimpulse / ( )=
`R f¨ur0p
p
S 0sonstund
t ( )=
`R f¨ur
p
S 0sonst.
