1. Wie lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ein System von gewöhnlichen Dgl.

Dr. Mario Helm TU Bergakademie Freiberg

Steffen Pacholak Sommersemester 2015

Numerik 2 für natur- und ingenieurwissenschaftliche Studiengänge

Fragen zum Selbsttest und zur Wiederholung/Systematisierung

1. Wie lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ein System von gewöhnlichen Dgl.

höherer Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung reduzieren? Warum ist diese Transformation für die numerische Behandlung von Differentialgleichungen höherer Ordnung so wichtig? Illustrieren Sie das Vorgehen an einem selbst gewählten Beispiel.

2. Wie lauten die Verfahrensgleichungen für das explizite und das implizite Euler-Verfahren?

Illustrieren Sie die Arbeit mit beiden Verfahren an einem selbst gewählten Beispiel, z. B.

durch Berechnung der jeweils ersten zwei Näherungen.

3. Wie lässt sich ein gegebenes Butcher-Tableau in den Formelsatz des assoziierten Runge-Kutta- Verfahrens übersetzen? Illustrieren Sie dies an einem selbst gewählten Beispiel.

4. Gehen Sie auf Vor- und Nachteile von expliziten und impliziten Verfahren ein. Stellen Sie auch einen Bezug zu den Fragen 13 und 14 her.

5. Was verstehen Sie unter dem lokalen und dem globalen Diskretisierungsfehler sowie der Kon- sistenzordnung eines Verfahrens?

6. Wie lässt sich die Konsistenzordnung expliziter Runge-Kutta-Verfahren prüfen (maximal 3- stufig reicht)?

7. Angenommen Sie verkleinern die (konstante und bereits hinreichend kleine) Schrittweite h eines Runge-Kutta-Verfahrens mit Ordnung 4 um den Faktor 10. Welches Verhalten würden Sie für den Fehler Ihrer numerischen Approximation erwarten?

8. Wie funktioniert eine Schrittweitensteuerung (Idee reicht)? Mit welchen Verfahren setzt man eine Schrittweitensteuerung besonders kostengünstig um?

9. Was verstehen Sie unter einem linearen Mehrschritt-Verfahren? Geben Sie ein bis zwei Bei- spiele.

10. Was sind Vor- und Nachteile linearer Mehrschrittverfahren gegenüber Einschritt-/Runge- Kutta-Verfahren?

11. Was verstehen Sie unter Nullstabilität eines LMSV? Welcher Zusammenhang besteht hier zwischen Konsistenz, Nullstabilität und Konvergenz? Wie kann man ein LMSV auf Konsistenz prüfen?

12. Erklären Sie das Konzept der absoluten Stabilität. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Rolle

der Dahlquist’schen Testgleichung sowie die Stabilitätsfunktion ein.

13. Die Stabilitätsfunktion eines expliziten m-stufigen RKV ist gegeben durch

R(ˆ h) =

p

X

j=0

1 j!

ˆ h

+

m

X

j=p+1

ˆ h

b

A

e.

Dabei sind A und b dem Butcher-Tableau entnommen und e besteht aus lauter Einsen. Aus welchem Grund können solche Verfahren niemals absolut stabil sein?

14. Beschreiben Sie das Phänomen der „Steifigkeit “ einer Differentialgleichung. Gehen Sie dabei auch auf die Verwendungsmöglichkeit von expliziten und impliziten Verfahren ein.

15. Wie klassifiziert man lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit symmetri- scher Koeffizientenmatrix? Geben Sie gängige Beispiele für die drei wichtigsten Gleichungs- typen an.

16. Was verstehen Sie unter einem korrekt gestellten Problem im Sinn von Hadamard?

17. Mit welchen Methoden kann man Testprobleme mit analytischer Lösung für elliptische RWP/parabolische ARWP erzeugen?

18. Erklären Sie, wie man ein 2D-Dirichlet-Problem zur Laplace-/Poisson-Gleichung mit Hilfe fini- ter Differenzen diskretisiert. Gehen Sie dabei von einem einfachen Gebiet (Quadrat/Rechteck) und einem uniformen Gitter aus. Gehen Sie auch auf die Konsistenzordnung der Diskretisie- rung ein.

19. Wie lässt sich die Diskretisierung des 2D-Laplace-Operators auf dem Einheitsquadrat aus der korrespondierenden 1D-Version erzeugen?

20. Beschreiben Sie zwei gängige Wege zur Diskretisierung von Neumann-Randbedingungen (Pro- blem korrespondierend zu Frage 18). Gehen sie auf die jeweiligen Vor- und Nachteile ein.

Illustrieren Sie das Vorgehen an einem selbst gewählten 1D-Beispiel.

21. Diskretisieren Sie das ARWP zur 1D-Wärmeleitungsgleichung (unendlich dünner Stab mit Länge 1) in Ortsrichtung. Formulieren Sie das entstehende System linearer gewöhnlicher Dif- ferentialgleichungen und geben Sie die zugehörige Anfangsbedingung an.

22. Erklären Sie, wie man das in Frage 21 gewonnene AWP numerisch lösen kann. Gehen sie dabei auf alle drei behandelten Fälle ein.

23. Gehen Sie auf die Konsistenzordnungen aller drei in Frage 22 betrachteten Schemata ein.

Welche sinnvollen Refinement-Kurven ergeben sich hieraus? Welche zusätzliche Restriktion

besteht bei Verwendung des expliziten Euler-Schemas?