Binomischer Lehrsatz
Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik
Bettina Bieri
24. Juli 2011
Inhaltsverzeichnis
1 N¨otiges Vorwissen 1
1.1 Fakult¨at . . . 1
1.1.1 Definition . . . 1
1.1.2 spezielle Fakul¨aten . . . 1
1.1.3 Rechenregeln f¨ur die Fakult¨at . . . 1
1.1.4 Beispiele . . . 3
1.2 Bimonialkoeffizient . . . 4
1.2.1 Definition . . . 4
1.2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten . . . 4
1.2.3 Beispiele . . . 7
1.2.4 Pascalsches Dreieck . . . 8
1.2.5 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks . . . 9
2 Binomischer Lehrsatz 10 2.0.6 Definition . . . 10
2.0.7 Beispiele . . . 11
Kapitel 1
N¨ otiges Vorwissen
Um den allgemeinen Binomischen Lehrsatz verstehen zu k¨onnen, braucht es einiges an Vorwissen. Dieses werden wir in diesem Kapitel erarbeiten.
1.1 Fakult¨ at
Das Produkt der ersten n nat¨urlichen Zahlen wird als Fakult¨at bezeichnet.
1.1.1 Definition
Sei n eine nat¨urliche Zahl. Dann wird das Produkt ¨uber alle Zahlen von 1 bis n geschrieben als n! und als Fakult¨at von n bezeichnet.
1.1.2 spezielle Fakul¨ aten
Um Problemen bei praktischen Anwendungen vorzubeugen wird per Verein- barung 0!:=1 gesetzt.
1.1.3 Rechenregeln f¨ ur die Fakult¨ at
Seien k,n ∈N mit k ≤n. Dann gilt:
1. n! =n·(n−1)!
2. n!k! = (k+ 1)·...·n
3. (n−k)!n! = (n−k+ 1)·...·n
Beweis
Begr¨unde die oberen Rechenregeln f¨ur Fakult¨aten:
1.1.4 Beispiele
Berechne folgende Ausdr¨ucke m¨oglichst einfach und ohne Taschenrechner:
a) 5!5 b) 199!200!
c) 400!399!· 10!9!
d) 100!2! · 98!2!
1.2 Bimonialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient wird sehr h¨aufig in der Kombinatorik verwendet - aber auch f¨ur den allgemeinen Binomischen Lehrsatz wird er gebraucht.
Um den Binomialkoeffizient zu verstehen, werden die oben eingef¨uhrten Fa- kult¨aten ben¨otigt.
1.2.1 Definition
Seienk, n ∈ N0 mitk ≤n. Dann ist der Binomialkoeffizient n
k
definiert als:
n k
= k!(n−k)!n!
1.2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
1.
n 0
= n
n
= 1 ∀n ∈N 2.
n 1
=
n n−1
=n ∀n∈N 3.
n k
=
n n−k
∀n∈N0 und k ∈ {0, ..., n}
4.
n+ 1 k
= n
k
+ n
k−1
(Regel von Pascal) 5.
n+ 1 k
= n+1k · n
k−1
∀n∈N0, k ∈ {1, ..., n+ 1}
Beweis
Beweise die oberen Eigenschaften mit Hilfe der Definition.
1.2.3 Beispiele
Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner:
a) 6
5
b) 11
9
c) 5
5
d)
100 1
e) 6
0
1.2.4 Pascalsches Dreieck
Die Regel von Pascal
n+ 1 k
= n
k
+ n
k−1
liefert eine einfache M¨oglichkeit, Binomialkoeffizienten rekursiv zu berechnen. Da die Startbedin- gungen
0 0
= n
0
= n
n
= 1 bekannt sind, k¨onnen auf diese Art und Weise alle Binomialkoeffizienten berechnet werden.
Diese Rekursion l¨asst sich leicht im Pascalschen Dreieck darstellen:
0 0
1
0
1 1
2
0
2 1
2 2
3
0
3 1
3 2
3 3
4
0
4 1
4 2
4 3
4 4
5
0
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
usw.
Die obere Zahl des Binomialkoeffizienten entspricht der Nummer der Zeile, in welcher der Koeffizient steht. Die untere Zahl gibt an, an welcher Stelle in dieser Zeile der Ausdruck steht.
Wenn man die Binomialkoeffizienten in der oberen Darstellung ausrechnet, erkennt man, wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist: Jeweils die Summe zweier nebeneinanderstehenden Zahlen ergibt die Zahl, welche unter diesen beiden Zahlen steht. Die drei obersten Zahlen sind die Startwerte, welche alle Eins sind:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
usw.
1.2.5 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks
Mit dem Pascalschen Dreieck lassen sich einige Spielereien betreiben. Im Pascalschen Dreieck gilt:
1. Jeweils in der zweiten schr¨agen Linie neben den Einsen (links und rechts) stehen die Nat¨urlichen Zahlen.
2. Die Summe aller Zahlen in einer Zeile ergeben immer Zweierpotenzen.
3. Bei entsprechender Diagonalenbildung ergeben die Summen der Ein- tr¨age auf der Diagonalen die Fibonacci-Folge.
Es gibt noch viele andere Besonderheiten im Pascalschen Dreieck. Diese sind auf verschiedenen Internetseiten und B¨uchern erkl¨art.
Kapitel 2
Binomischer Lehrsatz
Mit Hilfe all der oben erkl¨arten Angaben k¨onnen wir nun den allgemeinen Binomischen Lehrsatz verstehen.
2.0.6 Definition
Seien x, y reelle Zahlen und n∈N0. Dann gilt der Binomische Lehrsatz:
(x+y)n=Pn i=0
n i
xiyn−i =Pn i=0
n i
xn−iyi.
Wird an der Stelle vom + ein - in die Klammer gesetzt, gilt folgende Formel:
(x−y)n =Pn
i=0(−1)n−i n
i
xiyn−i =Pn
i=0(−1)i n
i
xn−iyi.
Setzt man bei den oberen beiden Formel n=2 resultieren daraus die erste und die zweite Binomische Formel:
2.0.7 Beispiele
Multipliziere die folgenden Ausdr¨ucke mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes aus:
a) (3x+y)4 b) (a+b)5
c) (2z−k)3 d) (2−r)6
Literaturverzeichnis
E. Cramer, J. Ne˘slehov´a, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Hei- delberg, 2009
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgard, 1990 H. M. Enzensberger,Der Zahlenteufel, Deutscher Taschenbuch Verlag, M¨unchen, 2003
