Theoretische Physik D - Quantenmechanik I

Theoretische Physik D - Quantenmechanik I

Ubungsblatt 7 - L¨osung ¨

SS 2005

Dieses Dokument ist ein Mitschrieb aus den Tutorien. Es besitzt daher keinen Anspruch auf Vollst¨andigkeit oder Richtigkeit und darf somit nicht als Referenzquelle genutzt werden.

Aufgabe 1

zu zeigen: ⁱ

~hX[Px, V(X)]i= 2h_2m^Px2i

0 = d

dthXP_xi= i

~

h[H, XP_x]i+h∂

∂tXP_xi

| {z }

= 0

= i

~

h[H, X]Px+X[H, Px]i

= i

~

*

−

X,P_x² 2m

P_x−[X, V(X)]P_x

| {z }

= 0

−X

P_x,P_x² 2m

| {z }

=0

−X[P_x, V(X)]

+

= i

~

*

−P_x

2m[X, Px]

| {z }

=i~

−[X, Px]

| {z }

=i~

P_x 2m



Px−X[Px, V(X)]

+

(Vertauschungsrelation von Orts- und Impulsoperator: [R_k, P_j] =i~δ_kj)

⇒ ⁱ

~hX[P_x, V(X)]i= ⁱ

~h(−2^i~_2m^Px)P_xi= 2h_2m^Px2i

speziell:V(X) =λxⁿ f¨urn= 2

2hP_x²

2mi = i

~hx[Px, λxⁿ]i

=F i

~ hx·~

inλxⁿ⁻¹i

= hxⁿnλi

= n· hV(x)i f¨ur n=2 ergibt sich dann: hV(x)i = hTi

mit T = P_x² 2m

FIn der Ortsdarstellung stimmt der ImpulsoperatorPxmit dem Differentialoperator ^~_i∇¨uberein.

Aufgabe 2

Es gelten:

a= 1

√2( ˆX+iP),ˆ a^†= 1

√2( ˆX−iPˆ), Xˆ = rmω

~

X = 1

√2(a^†+a), Pˆ = 1

√m~ωP = i

√2(a^†−a) (i)

hψm|X|ψni = 1

√2(hψm|a|ψni+hψm|a^†|ψni)· r

~ mω

=

rn

2hψm|ψ_n−1i+

rn+ 1

2 hψm|ψn+1i

!

· r

~ mω

=

rn

2δ_m,n−1+

rn+ 1 2 δm,n+1

!

· r

~ mω hψm|P|ψni =

√

m~ω 1 i

rn

2δm,n−1−1 i

rn+ 1 2 δm,n+1

!

=

√

m~ω i

rn+ 1

2 δm,n+1−i rn

2δm,n−1

!

(ii)

(∆x)² = hψ_n|X²|ψ_ni −(hψ_n|X|ψ_ni

| {z }

=0 (δn±1=0)

)²

= ~

mωhψn|1

2(a²+aa^†+a^†a+ (a^†)²)|ψni

=F ~

2mω(hψn|(aa^†+a^†a)|ψni)

FF= ~

2mω(hψn|1 + 2a^†a)|ψni)

= ~

2mω(1 + 2n) F a² und (a^†)²liefern keinen Beitrag, da:

hψn|a^†a^†|ψni=√

n+ 1hψn|a^†|ψn+1i= (n+ 1)hψn|ψn+2i= (n+ 1)δ_n,n±2= 0 FF [a, a^†] =aa^†−a^†a= 1 ⇒aa^†= 1 +a^†a (leicht nachzurechnen)

(∆p)² = m~ω

2 hψn| −a^†a−aa^†|ψni

= m~ω

2 (hψn| −a^†ai −1)

= m~ω

2 (2n+ 1)

⇒∆x∆p= r

~

2mω(1 + 2n) rm~ω

2 (2n+ 1) = ~

2(2n+ 1)

(iii) Erwartungswert der potentiellen Energie:

hVi= 1

2mω²hxi²=1

2mω² ~

2mω(2n+ 1) = 1

4~ω(2n+ 1) = 1 2~ω

n+1

2

Erwartungswert der kinetischen Energie:

hTi=hp²i

2m = m~ω 2m

n+1

2

= 1 2~ω

n+1

2

Vergleich mit Aufgabe 1:

⇒ hVi=hTi X

Aufgabe 3

Die Hermitepolynome sind durch die Differentialgleichung d²

dx² −2x d dx+ 2n

H_n(x) = 0 definiert. Sie erf¨ullen die Orthogonalit¨atsrelation:

Z ∞

−∞

dx e^−x2H_n(x)H_m(x) =√

π2ⁿn!δ_nm (i)

H₄= 2⁴x⁴+bx²+a, H₀(x) = 1, H₂(x) = 4x²−2 (a)

Z ∞

−∞

dx e^−x2H4(x)H0(x) = Z ∞

−∞

dx(16x⁴+bx²+a)

= 16 Z ∞

−∞

dx x⁴e^−x2+b Z ∞

−∞

dx x²e^−x2+a Z ∞

−∞

dx e^−x2

= 16I4+bI2+aI0

=F 16 3 4

√π+b 1 2

√π+a√ π

= 12√ π+1

2

√π b+√ π a

=! 0

⇒ 12 +1

2 b+a = 0 FL¨osung der Integrale:

I_n^(α)= Z ∞

−∞

dx x²ⁿe^−x2α, mitI₀^(α)(x) = Z ∞

−∞

dx e^−x2α= rπ

α

∂

∂αI₀^(α)= ∂

∂α Z ∞

−∞

dx e^−x2α= Z ∞

−∞

dx e^−x2α(−x²) =−I₂^(α)

⇒

I₂^(α)=− ∂

∂αI₀^(α)=− ∂

∂α rπ

α=−√ π ∂

∂αα⁻¹² =1 2

rπ α³

α=1= 1 2

√π

⇒

I₄^(α)= ∂

∂α

∂

∂αI₀^(α)= ∂

∂α

−1 2

√πα⁻²³

=3 4

rπ α⁵

α=1= 3 4

√π

⇒

I₆^(α)=− ∂

∂α

∂

∂α

∂

∂αI₀^(α)=− ∂

∂α 3 4

r π α⁵ = 15

8 rπ

α⁷

α=1= 15 8

√π

(b)

Z ∞

−∞

dx e^−x2H₄(x)H₂(x) = Z ∞

−∞

dx e^−x2(2⁴x⁴+bx²+a)(4x²−2)

= Z ∞

−∞

dx e^−x264x⁶− Z ∞

−∞

dx e^−x232x⁴ +

Z ∞

−∞

dx e^−x24bx⁴− Z ∞

−∞

dx e^−x22bx² +

Z ∞

−∞

dx e^−x24ax²− Z ∞

−∞

dx e^−x22a

= 64I6+ (4b−32)I4+ (4a−2b)I2−2aI0

= 120√

π+ 3(b−8)√

π+ (2a−b)√

π−2a√ π

=! 0

⇒ 96 + 2b = 0

⇒ b = −48

mit dem Ergebnis aus (a) folgt:

⇒a=−12 + 24 = 12 (ii)

x⁴ = 1

2⁴(2⁴x⁴−48x²+ 48x²+ 12−24 + 12) = 1

2⁴(2⁴x⁴48x²+ 12 + 12(4x²−2) + 12)

= 1

16(H4(x) + 12H2(x) + 12H0(x)) = 1

16H4(x) +3

4H2(x) +3 4H0(x) allgemeinerer L¨osungsweg:

nutze die Orthogonalit¨at der Hermitepolynome aus:

f(x) =x⁴, f(x) =X

m

c_mH_m(x), mit Z ∞

−∞

dx e^−x2H_n(x)

Z ∞

−∞

dx e^−x2Hn(x)f(x) = X

m

cm

Z ∞

−∞

dx e^−x2Hn(x)Hm(x)

| {z }

=√

π2ⁿn!δnm

= c_n√ π2ⁿn!

⇒c_n = 1

√π2ⁿn!

Z ∞

−∞

dx e^−x2H_n(x)f(x) berechne zum Beispiel:

c0= 1

√π·1·1!

Z ∞

−∞

dx e^−x2H1(x)x⁴= 1

√π 3 4

√π= 3 4

usw.

Aufgabe 4

Der Zustand sei zur Zeit t = 0 durch |ψ(0)i = P

nx_n|φ_ni gegeben, wobei die |ψ_ni station¨are Zust¨ande zu den Energien (n+¹₂)~ω sind.

(i)

PE>2~ω = 1−PE<2~ω= 1−(P_E=~ω/2+P_E=3~ω/2) = 1−PE<2~ω= 1−(P0+P1)

|ψ(t)i = X

n

cne^{−iEn~ t}|φni=X

n

cne^{−i(n+12)ωt}|φbi P_n = |hφ_n|ψ(t)i|²=|c_n|²

⇒ PE>2~ω = 1− |c0|²− |c1|²

aus PE>2~ω= 0 folgt c0, c16= 0 und ∀_n≥2 cn= 0 (ii)

hψ(0)|ψ(0)i= 1

|ψ(0)i =c0|φ0i+c1|φ1i )

⇒ hψ(0)|ψ(0)i=|c0|²+|c1|^{2 !}= 1

hHi = hψ(0)|H|ψ(0)i

= (hφ0|c^∗₀+hφ1|c^∗₁)H(c0|φ0i+c1|φ1i)

= |c0|²hφ0|H|φ0i+|c1|²hφ1|H|φ1i+ 0

= |c0|²1

2~ω+|c1|²3 2~ω

=! ~ω

⇒ |c0|²=|c1|²= 1 2 (iii) gegeben sind: c₀>0, c∈R, hHi=~ω, hxi= ¹₂q

~

mω, c₁=|c1|e^iθ1

⇒ |ψ(0)i = c0|φ0i+|c1|e^iθ1|φ1i hHi=~ω ⇒ |c0|=|c1|= 1

√2 hˆxi = hψ(0)|ˆx|ψ(0)i

= 1

√2hφ0|+ 1

√2e^−iθ1hφ1| 1

√2 r

~

mω(a^†+a) 1

√2|φ0i+ 1

√2e^iθ1|φ1i

= r

~ 2mω

1

√2hφ0|+ 1

√2e^−iθ1hφ1| 1

√2|φ1i+ 1

√2e^iθ1|φ2i+ 1

√2e^iθ1|φ0i

= r

~ 2mω

1

2e^iθ1hφ₀|φ₀i+1

2e^−iθ1hφ₁|φ₁i

= r

~

2mωcosθ₁

=! 1 2

r

~ mω

⇒ cosθ1= 1

√2 ⇒θ1= π 4

(iv)

hˆxi(t) =hψ(t)|ˆx|ψ(t)i, |ψ(0)i= 1

√2|φ0i+ 1

√2e^iπ4|φ1i

|ψ(t)i = 1

√2e^−iE~0t|φ0i+ 1

√2e^−iE~1t+π4|φ1i

= 1

√2e^−iω2t|φ0i+ 1

√2e^{i(−32ωt+π4)}|φ1i

⇒ θ1(t) =π 4 −3

2ωt

hˆxi(t) = 1 2

√1 2

r

~

mω(e^{−i(ωt−π4)}+e^i(ωt−π4))

= r

~

2mωcos(ωt−π 4)

= r

~ 2mω

cosπ

4 cos(ωt) + sinπ

4 sin(ωt)

= 1

2 r

~

mω(cos(ωt) + sin(ωt)) hˆpi = hψ(0)|ˆp|ψ(0)i

= 1

2 i rm~ω

2 (e^−iθ1−e^iθ1)

θ1=^π₄

= 1

2

√ m~ω

⇒ hˆxi(t) = hˆxicos(ωt) + hˆpi

mωsin(ωt) vgl. klassischer harmonischer Oszillator:

x(t) =x₀cos(ωt) + p₀

mω sin(ωt)