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Klassische Theoretische Physik III Elektrodynamik WS 18/19

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Klassische Theoretische Physik III Elektrodynamik WS 18/19

Institut f¨ur Kernphysik, KIT Prof. T. Schwetz-Mangold, Dr. O. Fischer, A. Pargner

3. ¨ Ubung Besprechung: 07.11.18

Aufgabe 4 6 Punkte

Die Dirac Delta Distribution δ(x) ordnet jeder stetigen, beliebig oft differenzierbaren Funktionf den Wertf(0) zu. Sie ist definiert ¨uber folgende Eigenschaft:

Z +∞

−∞

δ(x)f(x)dx=f(0). (1)

a) Zeigen Sie folgende Relationen:

δ(kx) = 1

|k|δ(x) mit k∈R, (2)

δ(h(x)) = 1

|h0(x0)|δ(x−x0) , (3) wobei h(x) eine reelwertige, differenzierbare Funktion mit einer Nullstelle x0 ist. Weiter sei h0(x=x0)6= 0.

Hinweis: Entwickeln Sie h(x) in einer Taylor Reihe umx=x0.

2 Punkte b) Verallgemeinern Sie das Ergebnis aus b) f¨ur Funktionen h(x) mit beliebig vielen, einfachen

Nullstellenxi. Weiterhin gilt f¨ur alle i,h0(x=xi)6= 0.

2 Punkte c) Zeigen Sie folgende Relation zwischen Dirac Delta Distribution und der Heavyside Theta Funk-

tion:

d

dxθ(x) =δ(x), (4)

Es gilt:

θ(x) =

(1 f¨urx≥0

0 f¨urx <0 . (5)

2 Punkte

Aufgabe 2 6 Punkte

Betrachten Sie eine gleichm¨aßig geladene, inifinitisimal d¨unne Kugeloberfl¨ache mit Radius R und LadungQ.

(2)

a) Bestimmen Sie die dazugeh¨orige Ladungsdichte ρ(~r). Machen Sie dazu den Ansatz

ρ(~r) =C·δ(3)(|~r| −R) (6)

und bestimmen Sie die KonstanteC, in dem Sie R

ρ(~r)d3~r=Qbenutzen.

Hinweis: Die L¨osung lautet

C= Q

4πR2 . (7)

2 Punkte b) Berechnen Sie die elektrische Feldst¨arke E(~~ r) aus

I

f

E(~~ r)·df~= 4π Z

V

ρ(~r)dV . (8)

4 Punkte

Aufgabe 3 8 Punkte + 4 Bonuspunkte

Wir betrachten eine Punktladungq1 im Ursprung unseres Koordinatensystems und eine zweite Punkt- ladung q2 q1 im Abstand r. Leiten Sie aus der Maxwell-Gleichung

divE~ = 4πρ , (9)

zusammen mit dem Satz von Gauß Z

A

Ed ~~ A= Z

V

divE dV~ 0 (10)

das Coulomb’sche Gesetz her:

FE = q1q2

r2 . (11)

Gehen Sie wie folgt vor:

a) Dr¨ucken Sie die Ladungsverteilung mit Delta-Funktionen aus.

1 Punkt b) Integrieren Sie die rechte Seite von (10) ¨uber eine Kugel mit Radius r um den Ursprung.

Hinweis: Nutzen Sie die Maxwell-Gleichung (9).

2 Punkte c) Integrieren Sie die linke Seite von (10).

Hinweis: Der Annahme q2 q1 folgt, dass das el. Feld E~ um q1 sph¨arisch symmetrisch ist.

2 Punkte d) Schreiben Sie das Coulomb Gesetz unter Benutzung von qE=F.

1 Punkt e) Warum gilt das Gesetz f¨ur alle Werte vonq2?

2 Punkte f) Zeigen Sie, dass das Gesetz f¨ur alle Ladungsverteilungen gilt, die als eine Menge an Punktladun-

genqi an den Orten~ai gegeben sind und folgende Bedingungen erf¨ullen:

ρ1(~r) =X

i

qiδ(~r−~ai), (12)

X

i

qi =q1, (13)

|~ai| r . (14)

4 Bonuspunkte Bitte schreiben Sie auf die erste Seite des ¨Ubungsblattes Ihren Namen, Matrikelnummer und die

Nummer ihres Tutoriums.

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