Definition von PDGs (1)

9. Partielle

Differentialgleichungen

Definition von PDGs (1)

Partielle Differentialgleichungen (PDG) treten in vielf¨altigen Natur- und Ingenieurwissenschaftlichen Fragestellungen auf und geh¨oren zu den h¨aufigsten Problemen auf Parallelrechnern.

Sie beschreiben Probleme, bei denen eine orts- und zeitabh¨angige Funktion gesucht wird, von denen nur etwas ¨uber die Ableitungen der Funktion bekannt ist.

Die Gleichungen enthalten meist die ersten und/oder zweiten partiellen Ableitungen der gesuchten Funktion

u = u(x₁, x₂, x₃, t) = u(x_{, t)}

und sind im Normalfall analytisch nicht l¨osbar. Es treten meist zwei Typen von PDGs auf.

Definition von PDGs (2)

Einfachste hyperbolische PDG

Gesucht ist eine Funktion u(x, t), die von der Zeit und von einer Orts- koordinate abh¨angt. Gegeben ist folgende Differentialgleichung

∂u

∂t + a∂u

∂x = 0

sowie Anfangswerte u(x, t = 0) zu einem Zeitpunkt t = 0 an jedem Raumpunkt x.

Hier l¨asst sich die L¨osung ganz allgemein angeben: Jede Funktion, die nur von der Kombination z(x, t) = x − at abh¨angt, l¨ost die Gleichung.

Beweis ¨uber Kettenregel mit u(x − at) = u(z(x, t)):

∂u

∂t = ∂u

∂z

∂z

∂t = −a∂u

∂z a∂u

∂x = a∂u

∂z

∂z

∂x = a∂u

∂z

Definition von PDGs (3)

• Beispiel f¨ur eine An- fangsbedingung:

u(x, t = 0) = exp(−x²)

•

Differentialgleichung:

∂u

∂t + a∂u

∂x = 0

• L¨osung:

u(x, t) = exp(−(x−at)²)

• Abbildung mit a=1

zur Zeit t=1 ⁰

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1 0 1 2 3

u

x

exp (-x**2) exp(-(x-1)**2)

Definition von PDGs (4)

Hyperbolische PDG

Da ich auf einem Projekt mit dieser Form von Gleichungen arbei- te, hier eine Definition: Betrachte ein System aus s partiellen Dif- ferentialgleichungen erster Ordnung mit den unbekannten Funktio- nen u _{= (u1}, . . . , u_s), die Funktionen des Orts und der Zeit sind, also u ₌ u₍x_{, t)}

∂u₁

∂t + ∂

∂x₁f₁⁽¹⁾(u₁, ..., u_s) + ∂

∂x₂f₁⁽²⁾(u₁, ..., u_s) + ∂

∂x₃f₁⁽³⁾(u₁, ..., u_s) = 0

· · · = 0

∂u_s

∂t + ∂

∂x₁f_s⁽¹⁾(u₁, ..., u_s) + ∂

∂x₂f_s⁽²⁾(u₁, ..., u_s) + ∂

∂x₃f_s⁽³⁾(u₁, ..., u_s) = 0 oder in Vektorschreibweise mit d Dimensionen

∂u

∂t +

d X j=1

∂

∂x_jf^(j)₍u_{) = 0}

Definition von PDGs (5)

Hyperbolische PDG

f_j⁽ⁱ⁾ ist die Funktion in der j-ten Differentialgleichung, die nach x_i abgeleitet wird.

Umschreiben ¨uber partielle Ableitung und in Matrix-Vektor-Schreibweise

¨

uberf¨uhren f¨ur ein j

∂

∂x_jf^(j)_(u1, . . . , u_s) =

s X i=1

∂f^(j)

∂u_i

∂u_i

∂x_j = A^j ∂u

∂x_j

Definition von PDGs (6)

A^j sind die Jacobimatrixen

A^j :=













∂f₁^(j)

∂u₁ · · · ^∂f

(j)

∂u1_s

... . . . ...

∂f_s^(j)

∂u₁ · · · ^∂f_∂u^s(j)

s













, j = 1, . . . , d

Ein System heißt hyperbolisches System von Differentialgleichung, falls die Jacobimatrizen in jeder Dimension diagonalisierbar sind und nur reelle Eigenwerte hat.

Definition von PDGs (7)

1. Bekanntest Form einer einfachen hyperbolischen PDGs ist:

∂²u(x_{, t)}

∂t² − α² ∂²u(x_{, t)}

∂x²₁ + ∂²u(x_{, t)}

∂x²₂ + ∂²u(x_{, t)}

∂x²₃

!

= f(u,x_{, t)}

Schwingungs- oder Wellengleichung, l¨asst sich in 2 Gleichungen 1.

Ordnung umformen (hier nur kurz am Ende behandelt).

2. Einfache parabolische PDG (jetzt 1. Ableitung in der Zeit):

∂u(x_{, t)}

∂t − α² ∂²u(x_{, t)}

∂x²₁ + ∂²u(x_{, t)}

∂x²₂ + ∂²u(x_{, t)}

∂x²₃

!

= f(u,x_{, t);}

Laplace-Operator :

∆u(x_{, t) =} ^∂

2u

∂x²₁ + ∂²u

∂x²₂ + ∂²u

∂x²₃

Beispiele f¨ ur PDGs (1)

Einfaches Beispiel f¨ur eine parabolische DGL: W¨armeleitung Es sei T(x_{, t}) die Temperaturverteilung in einem Objekt. Mit der orts- unabh¨angigen W¨armeleitf¨ahigkeit κ, der zugef¨uhrten W¨arme Q und der spezifischen W¨arme a gilt

∂T(x_{, t)}

∂t = κ

a∆T(x_{, t) +} ^Q a .

κa heißt auch Temperaturleitwert. Eine typische einfache Anwendung f¨ur ein W¨armeleitproblem ist die W¨armeverteilung nach einer anf¨ang- lichen Temperaturverteilung

T(x_{, t = 0) = T0(}x₎

Beispiele f¨ ur PDGs (2)

mit z.B. konstanter Temperatur auf dem Rand ∂Ω eines Volumens Ω.

T(x _{= ∂Ω, t) = const}

Beispiel: Temperaturverteilung in einem Motorblock oder auf einer Kochplatte

Randbedingungen

Um die Eindeutigkeit der L¨osung zu sichern, m¨ussen Rand- oder/und Anfangswertbedingungen vorgegeben werden.

Beispiele f¨ ur PDGs (4)

Sie kennen Ableitungen in 2 Dimensionen aus GRA, wie bereits in Kapitel 5 diskutiert. Die Funktion ist an diskreten Stellen bekannt und enth¨alt die Pixelwerte.

Kanten sind an den Stellen im Bild vorhanden, an denen die Ableitung Bildwerte groß ist.

Die Ableitung in 2 Dimensionen wird durch den Gradienten

∇f(x, y) =







∂f(x,y)

∂x

∂f(x,y)

∂y







beschrieben. Die Kanten sind dort, wo der Betrag des Gradienten ein Maximum hat, also zu bestimmen ist

|∇f(x, y)| =

v u u

t ∂f(x, y)

∂x

!₂

+ ∂f(x, y)

∂y

!₂

Beispiele f¨ ur PDGs (5)

Meist wird der Einfachheit halber

|∇f(x, y)| ≈

∂f(x, y)

∂x

+

∂f(x, y)

∂y

verwendet. Beim Maximum der Ableitung muss die Summe der 2.

Ableitungen, also der Laplace-Operator, gleich null sein

∆f(x, y) = ∇²f(x, y) = ∂²f(x, y)

∂x² + ∂²f(x, y)

∂y² = 0.

Die Funktion, die die Kanten beschreibt, ist also gegeben durch die partielle Differentialgleichung ∆f(x, y) = 0

Praktisch werden Ableitungen durch diskrete Differenzen bestimmt, also n¨aherungsweise durch die Differenz der Pixelwerte benachbarter Pixel.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 1-D (1)

Die einfachste L¨osungsmethode ist die Finite-Differenzen Methode Beispiel: einfache elliptische PDG (parabolische PDG ohne Zeitablei- tung, die Poisson-Gleichung)

∆u(x_{, t) = f(}x_{, t)}

und ohne Quellterm f(x_{, t}) (Laplace-Gleichung)

∆u(x_{, t) = 0} in einer Dimension:

∆u = ∂²

∂x²u(x) = 0

entlang der Strecke x ∈ [0,1] mit den Randbedingungen u(x = 0) = 0 und u(x = 1) = 1.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 1-D (2)

L¨osung:

∂²

∂x²u(x) = 0 ⇒ ∂

∂xu(x) = c ⇒ u(x) = c · x + d Aus u(0) = 0 folgt d = 0 und aus u(1) = 1 folgt c = 1. Damit:

u(x) = x.

Numerisch: Das Problem wird in N + 2 Punkte unterteilt und die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt.

• F¨ur die gesuchte Gr¨oße u gilt

u(x_i) → u_i, i = 0,1, . . . , N + 1;

u(0) = u₀ = 0 u(1) = u_N+1 = 1

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 1-D (3)

• Mit der Kurzschreibweise ^∂2

∂x²_i = ∂_x²_i folgt beim Ersetzen der Ablei- tung durch einen Differenzenquotienten n¨aherungsweise

∂_xu(x_i) ≈ (u_i+1 − u_i)/h ≈ (u_i − u_i−1)/h

• symmetrisiert f¨ur die 2. Ableitung folgt

∂_x²u(x_i) ≈ ∂_x(u_i+1 − u_i)/h

= (∂_xu_i+1 − ∂_xu_i)/h

≈ (u_i+1 − 2u_i + u_i−1)/h².

• Aus ∂_x²u(x) = 0 wird das diskrete System

(u_i+1 − 2u_i + u_i−1)/h² = 0 f¨ur i = 1, . . . , N mit u₀ = 0 und u_N+1 = 1.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 1-D (4)

F¨ur N = 4 ergibt sich das zu l¨osende Gleichungssystem f¨ur die Unbe- kannten u_i, i = 1, . . . ,4 mit u₀ = 0 und u₅ = 1

2u₁ − 0 − u₂ = 0 2u₂ − u₁ − u₃ = 0 2u₃ − u₂ − u₄ = 0 2u₄ − u₃ − 1 = 0 L¨osung:

u₁ = u(0.2) = 0.2, u₂ = u(0.4) = 0.4, u₃ = u(0.6) = 0.6, u₄ = u(0.8) = 0.8

stimmt exakt, da u(x) = x. In mehr als einer Dimension ergibt sich im Allgemeinen die richtige L¨osung nur, wenn die Anzahl der Punkte gegen unendlich geht.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 1-D (5)

Praxis: Schreibe das Problem in Matrix-Vektor Schreibweise und l¨ose es durch Iteration



















2 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 −1 2



















·



















u₁ u₂ u₃ u₄



















=



















0 0 0 1



















.

Die Zerlegung A = D − L − U ergibt Matrizen mit ausschließlich posi- tiven Eintr¨agen.

Die Werte auf der Diagonalen sind mindestens so groß wie die Summe der Eintr¨age auf den Nicht-Diagonalen in jeder Zeile bzw. Spalte.

→ Alle besprochenen Verfahren konvergieren.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 2-D (1)

Das Standardbeispiel, um Methoden zur L¨osung von partiellen DGLs zu untersuchen, ist die 2-dimensionale Poisson-Gleichung mit festen Randbedingungen auf der Fl¨ache (0,1) x (0,1);

−(∂_x² + ∂_y²)u(x, y) = f(x, y).

Das Problem wird in (N + 2) Punkte in jede Richtung unterteilt u → u_i,j, i, j = 0,1, . . . , N + 1

und die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt

∂_xu → (u_i+1,j − u_i,j)/h ≈ (u_i,j − u_i−1,j)/h.

Analog zum 1-dimensionalen Fall folgt symmetrisiert

∂_x²u ≈ ∂_x(u_i+1,j − u_i,j)/h ≈ (u_i+1,j − 2u_i,j + u_i−1,j)/h².

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 2-D (2)

Es ergibt sich

−(∂_x² + ∂_y²)u → (4u_i,j − u_i+1,j − u_i−1,j − u_i,j+1 − u_i,j−1)/h² = f_i,j + τ_i,j. Anschaulich kann die 2. Ableitung durch eine F¨unf-Punkt-Schablone (five-point-stencil) beschrieben werden.

(i+1,j) (i,j+1)

(i,j-1) (i,j) (i-1,j)

4u_i,j − u_i+1,j − u_i−1,j

−u_i,j+1 − u_i,j−1

Es gibt implizit parallelisierende Programmiersprachen mit Bibliotheks- funktionen f¨ur diese Operation.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 2-D (3)

Der Fehler ist von der Ordnung τ_i,j = O(h²) und kann f¨ur kleine h vernachl¨assigt werden kann.

Gesucht werden die Werte von u, die diese Gleichungen erf¨ullen, wobei die Werte oder die Ableitungen von u auf dem Rand festliegen. Dieses Problem ist ¨aquivalent zum L¨osen eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel: Die gesuchte Funktion wird durch 2 Randpunkte und im Inneren der Fl¨ache durch N = 4 Punkte in jeder Richtung approximiert.

Die Randpunkte u_i,j mit i = 0, j = 0, i = 5 und j = 5 liegen fest, u_i,j mit 1 ≤ i, j ≤ 4 sind zu berechnen.

Nummeriere die inneren Punkte des Gebiets in einem 4x4-Gitter von 1 bis 16 durch. Damit ergeben sich 16 Gleichungen mit 16 Unbekannten.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 2-D (4)

13 (4,1)

14 (4,2)

15 (4,3)

16 (4,4) 12 (3,4) 8 (2,4) 4 (1,4) 3

(1,3) 2

(1,2) 1

(1,1)

5 (2,1)

9 (3,1)

10 (3,2)

11 (3,3) 7 (2,3) 6

(2,2)

(1,0) (0,0)

(0,1)

(0,2)

(0,3)

(0,4)

(0,5)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(5,4)

(5,3)

(5,2)

(5,1)

(5,0) (4,0) (3,0) (2,0)

Achtung: Die Indizes Koordinaten der Gitterpunkte haben jetzt (fast) nichts mit den Indizes der Matrix des Gleichungssystems zu tun, auch wenn sie im 2-dimensionalen Fall wie Matrix-Indizes aussehen.

Im folgenden werden die “Quelle”, also die Funktion f(x, y) nicht wei- ter ber¨ucksichtigt.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 2-D (5)

Die Unbekannten sind u₁ bis u₁₆, die bekannten Gr¨oßen sind die Werte auf dem Rand u_0,1, . . . , u_0,4, u_1,0, . . . , u_4,0, u_5,1, . . . , u_5,4 und u_1,5, . . . , u_4,5

4u₁ − u₂ − u₅ − u_0,1 − u_1,0 = 0 4u₂ − u₁ − u₃ − u₆ − u_0,2 = 0 4u₃ − u₂ − u₄ − u₇ − u_0,3 = 0 4u₄ − u₃ − u₈ − u_0,4 − u_1,5 = 0 4u₅ − u₁ − u₆ − u₉ − u_2,0 = 0

. . . = . . .

oder

4u_1,1 − u_1,2 − u_2,1 − u_0,1 − u_1,0 = 0 oder allgemein

4u_i,j − u_i,j−1 − u_i−1,j − u_i,j+1 − u_i+1,j = 0.

Elliptische PDG: Finite Differenzen in 2-D (6)

Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit einer Matrix der Gr¨oße N² × N² bei N inneren Punkten in jeder Richtung, hier also von der Gr¨oße 16 × 16.

M_k,lu_l = f_l^′

Die Indizes k und l laufen in dem Beispiel von 1 bis 16.

Die Matrix ist d¨unn besetzt und zur Berechnung der einzelnen Werte werden immer gleich viele Operationen ben¨otigt.

F¨ur die ¨Ubersichtlichkeit ist es sinnvoll, dem zu berechnenden Vektor nicht einen Index u_l, sondern 2 Indices u_i,j zu geben.

L¨ osungsmethoden f¨ ur PDGs (1)

L¨osungsmethoden

• Die L¨osung kann formal durch eine Matrixinversion beschrieben werden

u_l = M_l,k⁻¹f_k.

• Die Berechnung von u l¨asst sich explizit durchf¨uhren, z.B. mit Gauß-Elimination,

– ist bei großen Matrizen sehr zeitaufwendig, – Matrix wird im Laufe der Rechnung gef¨ullt.

• Deshalb werde ausschließlich iterative Verfahren verwendet.

Praxis: F¨ur viele Probleme werden anstatt finite Differenzen die soge- nannte Finite-Elemente Methoden oder Finite-Volumen Metho- den verwendet, kombiniert mit Adaptiven Gittern. Auch dann werden die Gleichungssysteme iterativ gel¨ost.

L¨ osungsmethoden f¨ ur PDGs (2)

Das gewichtetet Jacobi-Verfahren

Wir haben mehrere iterative L¨osungsmethoden f¨ur Gleichungssysteme kennengelernt, hier nur das Jacobi-Verfahren mit Relaxationsfaktor.

Es galt f¨ur

Ax = Bx + (A − B)x = b

mit einer beliebigen Matrix B die Iterationvorschrift:

Bx^(t+1) = (B − A)x^(t) + b oder

x^(t+1) = (I − B⁻¹A)x^(t) + B⁻¹b = Cx^(t) + B⁻¹b

= x^(t) − B⁻¹(Ax^(t) − b) = x^(t) + B⁻¹r^(t)

mit dem Residuenvektor r^(t) = b − Ax^(t). Die Matrix C war die soge- nannte Iterationsmatrix.

L¨ osungsmethoden f¨ ur PDGs (3)

Das Jacobi-Verfahren verwendet B = D und das gewichtete analog zum SOR-Verfahren B = ^D_ω .

• Jacobi-Verfahren B = D.

x^(t+1) = (I−D⁻¹A)x^(t)+D⁻¹b, x^(t+1)_j = 1 a_jj



b_j − ^X

k6=j

a_jkx^(t)_k



.

• gewichtete Jacobi-Verfahren B = ^D_ω.

x^(t+1) = (I − ωD⁻¹A)x^(t) + ωD⁻¹b x⁽_j^t+1) = 1

a_jj



b_j + (1 − ω)a_jjx⁽_j^t) − ω



 X k6=j

a_jkx⁽_k^t)







. F¨ur ω = 1 ergibt sich das “normale” Jacobi-Verfahren.

L¨ osungsmethoden f¨ ur PDGs (4)

Abbruchbedingung der Iterationsverfahren: Der Betrag des Residuen- vektors ||A(x − x^(t))|| = ||b − Ax^(t))|| = ||r^(t)|| oder besser ||r^(t)||/||x^(t)||

ist klein.

1.) L¨osung der Poisson-Gleichung mit Jacobi-Verfahren a_kkx^(t+1)_k = − ^X

k6=l

a_klx^(t)_l + b_l.

Das ergibt f¨ur unseren Fall (gesuchter Vektor x_k = u_i,j mit k = 1, . . . , 16 und entsprechend i, j = 1, . . . , 4) f¨ur alle inneren Punkte

4u^(t+1)_i,j = u^(t)_i+1,j + u^(t)_i−1,j + u^(t)_i,j+1 + u^(t)_i,j−1. Beispiel:

u^(t+1)_2,2 = 0.25 · (u^(t)_3,2 + u^(t)_1,2 + u^(t)_2,3 + u^(t)_2,1).

L¨ osungsmethoden f¨ ur PDGs (5)

Zu beachten ist, dass nur die Werte im Inneren Unbekannte sind, also u_i,j mit 1 ≤ i, j ≤ 4

und die Werte u_0,j, u_i,0, u_5,j, u_i,5 konstant sind.

Die Form der Gleichungen ist unabh¨angig davon, ob Randpunkte auf- treten oder nicht.

Das Jacobi-Verfahren konvergiert f¨ur jeden beliebigen Startwert u⁰_i,j. Die Konvergenzrate erh¨alt man ¨uber die Eigenwerte der Matrix.

Ohne Beweis: F¨ur N² Punkte konvergiert das Verfahren in O(N⁴) Schritten.

L¨ osungsmethoden f¨ ur PDGs (7)

2.) L¨osung der Poisson-Gleichung mit dem gewichteten Jacobi- Verfahren

x^(t+1)_j = 1 a_jj



b_j + (1 − ω)a_jjx^(t)_j − ω



 X k6=j

a_jkx^(t)_k







. Damit folgt

u⁽_i,j^t+1) = (1 − ω)u⁽_i,j^t) + 0.25ω

u⁽_i−1,j^t) + u⁽_i,j−1^t) + u⁽_i+1,j^t) + u⁽_i,j^t)₊₁

Ohne Beweis: Das gewichtete Jacobi-Verfahren konvergiert f¨ur alle Werte 0 < ω < 2

Hinweis: Das gewichtete Gauß-Seidel Verfahren mit adaptiven Git- tern konvergiert f¨ur die Poisson-Gleichung bei einer N²×N²-Matrix in O(N²)!

2-d Beispiel (1)

Zur weiteren Veranschaulichung ein sehr einfaches Beispiel

Ein Rechteck werde an einem Ende auf 100 Grad erhitzt, die anderen Kanten werden mit Eis auf 0 Grad gehalten.

Problemstellung: Was ist die Temperaturverteilung, wenn sich ein Gleichgewicht eingestellt hat, also die Temperatur sich nicht mehr mit der Zeit ¨andert?

Die Differentialgleichung lautet

∂T(x, y)²

∂x² + ∂T(x, y)²

∂y² = 0,

mit den Randbedingungen T(0, y) = 100, ansonsten T(x 6= 0, y) = 0 auf dem Rand. Der Quellterm f¨allt weg, da es keine weitere W¨arme- quellen gibt.

2-d Beispiel (2)

L¨osungsmethode: Diskretisiere die Differentialgleichung und n¨ahere das Rechteck im Inneren durch 8 Punkte an.

100^o

0

0

0^o

o o

T T T

1/1,1 2/1,2 3/1,3 T

4/1,4

T T T

5/2,1 6/2,2 7/2,3 T

8/2,4

Damit ergeben sich 8 Gleichungen f¨ur die 8 Unbekannten T₁, . . . T₈ (der Abstand der Punkte sei 1)

4T_1,1 − T_1,2 − T_2,1 = 100 4T_2,1 − T_2,2 − T_1,1 = 100

4T_1,2 − T_1,1 − T_1,3 − T_2,2 = 0 4T_2,2 − T_2,1 − T_2,3 − T_1,2 = 0 4T_1,3 − T_1,2 − T_1,4 − T_2,3 = 0 4T_2,3 − T_2,2 − T_2,4 − T_1,3 = 0

4T_1,4 − T_1,3 − T_2,4 = 0 4T_2,4 − T_2,3 − T_1,4 = 0

2-d Beispiel (3)

Das Gleichungssystem in Matrixschreibweise mit T_j+4·(i−1) = T_i,j lau- tet





































4 −1 0 0 −1 0 0 0

−1 4 −1 0 0 −1 0 0 0 −1 4 −1 0 0 −1 0

0 0 −1 4 0 0 0 −1

−1 0 0 0 4 −1 0 0 0 −1 0 0 −1 4 −1 0

0 0 −1 0 0 −1 4 −1

0 0 0 −1 0 0 −1 4











































































T₁ T₂ T₃ T₄ T₅ T₆ T₇ T₈







































=





































100 0 0 0 100

0 0 0





































2-d Beispiel (4)

Das Jacobi-Verfahren lautete:

a_jjT_j^(t+1) = b_j − ^X

k6=j

a_jkT_k^(t).

a_jj = 4 und a_jk = −1 f¨ur j “benachbart” zu k. Mit “Feld-Indices” f¨ur die Randwerte.

100

0

T T T

1,1 1,2 1,3 T

1,4

T T T

2,1 2,2 2,3 T

2,4

T T T

0,1 0,2 0,3 T

0,4

T T T

3,1 3,2 3,3 T

3,4

T1,5

T2,5

T0,5

T3,5

T1,0

T2,0

T0,0

T3,0

0

0

und T_i,0 = 100 und T_i,5 = T_0,i = T_3,i = 0 folgt:

4T_i,j^(t+1) = T_i−^(t)_1,j + T_i,j^(t)₋₁ + T_i,j+1^(t) + T_i+1,j^(t) i = 1,2; j = 1,2,3,4

Parabolische PDG (1)

Bis jetzt haben wir die einfache elliptische PDG in 2 Dimensionen

− ∂²T(x, y)

∂x² + ∂²T(x, y)

∂y²

!

= f(x, y)

mit f(x, y) = 0, also ohne “Quellterm” und festen Randbedingungen betrachtet. Der Einfachheit halber beschr¨anken wir uns weiterhin auf diesen Typ, denn eine Erweiterung ist einfach. Die einfachste parabo- lische PDG, also mit Zeitableitung lautete dementsprechend

∂T(x, y, t)

∂t − α² ∂²T(x, y, t)

∂x² + ∂²T(x, y, t)

∂y²

!

= 0;

Es wird nur das Eulerverfahren als einfachstes L¨osungsverfahren f¨ur Differentialgleichungen dieser Form im folgenden betrachtet.

Parabolische PDG (2)

Wiederholung: F¨ur eine DGL der Form

∂T(x, y, t)

∂t = φ(T(x, y, t), x, y, t) lautete das Eulerverfahren f¨ur einen Zeitschritt ∆t

T(x, y, t + k) = T(x, y, t) + ∆t φ(T(x, y, t), x, y, t).

Unter Verwendung der Schreibweise T(x, y, t) = T(x, y)^(t) und T(x, y, t + ∆t) = T(x, y)^(t+1) folgt

T(x, y)^(t+1) = T(x, y)^(t) + ∆t α²





∂²T(x, y)^(t)

∂x² + ∂²T(x, y)^(t)

∂y²





Mit der Diskretisierung im Raum T(x, y)^(t) → T_i,j^(t), h = ∆x folgt T_i,j^(t+1) = T_i,j^(t) − ∆t α²

∆x²

4T_i,j^(t) − T_i^(t)_+1,j − T_i−^(t)_1,j − T_i,j^(t)₊₁ − T_i,j^(t)₋₁

Parabolische PDG (3)

Setze ^{4∆t α2}

∆x² = ω

T_i,j^(t+1) = (1 − ω)T_i,j^(t) + 0.25ω

T_i+1,j^(t) + T_i−1,j^(t) + T_i,j^(t)₊₁ + T_i,j^(t)₋₁

Wir hatten f¨ur das gewichtete Jacobi-Verfahren genau dieselbe Form der Gleichung:

u^(t+1)_i,j = (1 − ω)u^(t)_i,j + 0.25ω

u^(t)_i−1,j + u^(t)_i,j−1 + u^(t)_i+1,j + u^(t)_i,j+1

,

wobei ω die Bedeutung des Relaxationsparameters hatte. ω hat jetzt die Bedeutung des Verh¨altnisses von Zeitschrittweite zur Schrittweite im Raum, also dem Abstand der Gitterpunkte bei der Diskretisierung des Raum.

Parabolische PDG (4)

Das Jacobi-Verfahren ergibt sich f¨ur ω = 1 = ^{4∆t α2}

∆x² .

Ein Iterationsschritt entspricht somit einem festen Zeitschritt bei der L¨osung des zeitabh¨angigen Problems.

Das gilt ganz allgemein, wobei f¨ur andere Iterationsverfahren in der Zeit kombiniert mit anderen Diskretisierungsverfahren im Raum die gleichen Zusammenh¨ange gezeigt werden k¨onnen und im Normalfall nur anderen Ordnungen in h und k entsprechen.

Hyperbolische PDG (1)

Mit dem Vorwissen ist jetzt eine numerische Behandlung einer einfa- chen hyperbolische PDG oder Schwingungsgleichung

∂²u(x_{, t)}

∂t² − α² ∂²u(x_{, t)}

∂x²₁ + ∂²u(x_{, t)}

∂x²₂ + ∂²u(x_{, t)}

∂x²₃

!

= f(u,x_{, t)}

m¨oglich. Die 2. Ableitung in der Zeit wird analog zur 2. Ableitung im Raum behandelt, hier in einer Dimension:

∂²u(x, t)

∂t² − α²∂²u(x, t)

∂x² = f(u, x, t) → 1

∆t²

u_i,t+1 − 2u_i,t + u_i,t−1 − α² 1

∆x²

u_i+1,t − 2u_i,t + u_i−1,t = f_i,t(u)

∆x ist wieder die Schrittweite im Raum, d.h. der Abstand zwischen 2 Punkten der diskretisierten Form, und ∆t ist die Schrittweite in der Zeit.

Hyperbolische PDG (2)

Mit λ = α∆t/∆x folgt

u_i,t+1 = 2(1 − λ²)u_i,t + λ²(u_i+1,t + u_i−1,t) − u_i,t−1

Die Werte zum Zeitpunkt t+ 1 werden aus den Werten zum Zeitpunkt t und zum Zeitpunkt t − 1 berechnet.

Ein Zeitschritt entspricht somit analog zu einem Zeitschritt bei ei- ner elliptische PDG (ein Iterationsschritt im Jacobi-Verfahren) einer Matrix-Vektor Multiplikation, jetzt jedoch verschoben um den Term vor 2 Zeitschritten.

Hyperbolische PDG (2)

Mit β = 2(1 − λ²) lautet das System





















u_1,t+1 u_2,t+1 u_3,t+1

...

u_n,t+1





















=





















β λ² 0 ... 0 λ² β λ² ... 0 0 . . . ... ... 0 ... ... . . . ... ...

0 0 0 λ² β









































u_1,t u_2,t u_3,t

...

u_n,t





















−





















u_1,t−1 u_2,t−1 u_3,t−1

...

u_n,t−1





















Um eine hyperbolische PDG zu l¨osen, also eine PDG mit einer 2.

Ableitung in der Zeit, muss ein Anfangswert f¨ur ˙u und f¨ur u vorgegeben werden. Mit diesen Anfangswerten werden die Startwerte u_i,0 und u_i,1 berechnet und damit dann iterativ alle weiteren Werte von u_i,j.