Adaptive Finite-Elemente-Methoden und Anwendungen

Zentrum für Technomathematik

Prof. Dr. A. Schmidt

Adaptive Finite-Elemente-Methoden und Anwendungen

SS 2012 — ¨Ubung 1 — 24.04.2012 Abgabe: 03.05.2012

Aufgabe 1 (6 Punkte)

Zu einem nicht degenerierten d-SimplexS ⊂R^ddefiniere das Polynom ψS ∈P^d+1(S) durch ψS(x) = (d+ 1)^d+1

Yd i=0

λi(x), wobei λi die baryzentrischen Koordinaten zu S sind.

Zu vorgegebenem k≥1 sei ϕ∈P^k(S). Zeigen Sie die Absch¨atzungen:

a) k√

ψSϕk^L2(S) ≥ ckϕk^L2(S), b) kψSϕk^L2(S) ≤ kϕk^L2(S),

c) k∇(ψSϕ)k^L2(S) ≤ c 1

h(S)kϕk^L2(S).

Aufgabe 2 (Zur Konvergenz der adaptiven Methode) (6 Punkte) a) Sei X ein Hilbertraum und B eine stetige, koerzive symmetrische Bilinearform auf X und kvk²B =B(v, v)die durch das SkalarproduktBinduzierte Norm. SeienXH undXhvollst¨andige Unterr¨aume mit XH ⊂Xh⊂X.

Zu einem f ∈X^′ sei u∈X die L¨osung von

B(u, v) =f(v) f¨ur allev∈X

sowie uh∈Xh und uH ∈XH die entsprechenden L¨osungen der Unterraum-Probleme.

Zeigen Sie, dass dann gilt:

ku−uhk^2B =ku−uHk^2B− kuH −uhk^2B

b) Sei S^H eine zul¨assige Triangulierung von Ω und S^h eine zul¨assige Verfeinerung von S^H. Zei- gen Sie, dass dann die entsprechenden Finite-Elemente-R¨aume mit st¨uckweise polynomialen Funktionen (XH zuS^H,Xh zuS^h) erf¨ullen

XH ⊂Xh⊂X=H¹(Ω).

c) Zeigen Sie: Wenn die Verfeinerung der Gitter in der adaptiven Methode so gemacht werden kann, dass f¨ur ein festes θ >0 in jeder Iteration (mit uk∈Xk⊂Xk+1) gilt

kuk+1−ukk^2B≥θku−ukk^2B,

so konvergiert der Fehler ku−uhk mindestens mit linearer Rate gegen Null, d.h. es gibt ein α <1so dass

ku−ukk^2B ≤α^kku−u₀k^2B