so verschwindet die Konkavität der Präferenzdarstellung

Mikroökonomik A, Wintersemester 2010/2011 Dr. Stefan Behringer/Dr. Alexander Westkamp

1. Termin 09.02.2011

Probeklausur: Mikroökonomik A Musterlösung

1. Teil (Behringer) Aufgabe 1:

a) Nutzen ist ein ordinales Maß (1 Punkt) welches für jede monotone Transformation (1 Punkt) definiert ist. Angenommen eine Nutzenfunktionu(x)ist konkav in x und stellt ein gegebenes Set von Präferenzen dar. Wenn eine sehr konvexe monotone transformation auf u(·) angewendet wird (z.B. g(·) = e^u(·) oder gar z(·) = e^g(·)), so verschwindet die Konkavität der Präferenzdarstellung. Die quasi-konkavität der Präferenzdarstellung bleibt jedoch bestehen (1 Punkt).

b)

RT SL,K = −dK dL

F(K,L)=Q

= M PL

M P_K = K+ 1 L = w

v

(1 Punkt) Beachten Sie, dass für positives Q immer L > 0 gelten muss. Da F(0, L) = Q = L und die Isoquante bei K = 0 hat die (negative) Steigung RT SL,K = _{M P}^{M PL}

K =

K+1

L = _L¹ = _Q¹.Wie haben also eine innere Lösung wenn w

v > 1 Q

(1 Punkt) Intution: Wenn Kapital sehr teuer ist, hält diese Ungleichung nicht. Die Isokostengerade wird sehr flach und berührt die Isoquante im Punkt (0, L). Dort setzt die Firma dann nur Arbeit zur Produktion ein. (1 Punkt)

c) Die Nachfrage ist konsistent mit der Annahme der Nutzenmaximierung unter der Bud- getrestriktion. Die Funktion ist homogen vom Grad 0 inpX, pY,undM.

X(tp_X, tp_Y, tM) = 2 +tp_Y tpX

= 2 + p_Y pX

=X(p_X, p_Y, M)

∀t >0. (1 Punkt) Die Nachfrage hat keinen Einkommenseffekt:

∂X(p_X, p_Y, M)

dM = 0

(1 Punkt) daher wissen wir aus der Slutzky Gleichung, dass der Substitutionseffekt (die Eigenableitung der Hicks’schen Nachfrage)

∂X(pX, pY, M)

dp_X = ∂X^c(pX, pY, M)

dp_X = −p_Y p²_X <0

leitung der Hicks’schen Nachfrage)

∂X(pX, pY, M)

dp_Y = ∂X^c(pX, pY, M)

dp_Y = 1

p_X >0

(1 Punkt) somit sind die beiden Güter Brutto- und auch Nettosubstitute.

Aufgabe 2:

a) Lagrange:

L= lnx+ 2 lny+λ[M−p_xx−p_yy]

mit BeO’s

1

x =λpx,2

y =λpy ⇒2xpx =ypy

(1 Punkt) Substitution in die Budgetbeschränkung ergibt M =pxx+ 2xpx

oder

x= M 3p_x (1 Punkt) und

y= 2M 3p_y (1 Punkt). Die indirekte Nutzenfunktion ist

V = ln(M

3p_x) + 2 ln(2M

3p_x) = ln(M)−ln(3)−ln(px) + 2 [ln(2) + ln(M)−ln(3)−ln(py)] =

= 3 ln(M)−ln(27

4 )−ln(px)−2 ln(py) (1 Punkt).

b) Slutzky:

∂x

∂px

= ∂x^c

∂px

−x ∂x

∂M (1 Punkt). Daher, Gesamteffekt (LHS):

∂x

∂p_x = −M3

(3p_x)² =−M 3p²_x (1 Punkt). Einkommenseffekt (zweiter Teil RHS):

−x ∂x

∂M =−M 3p_x( 1

3p_x) =−1 3(M

3p²_x) (1 Punkt). Daher ist der Substitutionseffekt:

∂x^c

∂px

= ∂x

∂px

+x ∂x

∂M =−M 3p²_x + 1

3(M

3p²_x) =−2 3(M

3p²_x)

(1 Punkt). Damit resultieren 2/3 der Änderung in der Nachfrage aus dem Substitutions- und 1/3 aus dem Einkommenseffekt.

Aufgabe 3:

a)

AV C = 1

3Q²− 2 3aQ+b und

M C =Q²−4 3aQ+b b)

d(¹₃Q²−²₃aQ+b)

dQ = 2

3Q−2

3a= 0 =⇒Q=a

(Der Mindestmarktpreis für positive Produktion ist demnachPmin=AV C(a) = ¹₃a²−

2

3aa+b=b−¹₃a²) c) dto a.

d) Aus der Wettbewerbsbedingung (1 Punkt):

P = M C =Q²−4

3aQ+b⇔ Q²−4

3aQ+b−P = 0 Auflösen als

Q_1,2 =−2a 3 +

r (2

3a)²−b+P Q= −^2a₃ +

q4

9a²−b+P fallsP ≥P_min 0 sonst

(1 Punkt).

e) Da Mindestmarktpreis nun Pmin = b− ¹₃a² = 5− ¹₃(3)² = 2, daher produziert das UnternehmenQ= 0,(1 Punkt) da noch nicht einmal die variablen Kosten gedeckt sind.

Profitπ = 0(1 Punkt). Fixkosten (versunken) spielen für die Optimierung keine Rolle.

f) Nun produziert das Unternehmen eine positive Menge auf der MC Kurve. Daher

P = 5 =M C(Q) =Q²−4

3aQ+b=Q²−4Q+ 5 mit LösungenQ= 0 undQ= 4 (1 Punkt). Ökonomischer Profit:

π = Q(P −AV C(Q)) = Q(P −(1

3Q²−2

3aQ+b)) = 4(5−7 3) = 32

3

(1 Punkt). Hier sind die Fixkosten nicht gedeckt da π −F = ³²₃ −12 = −⁴₃ < 0 (1 Punkt) (also ein negativer "buchhalterischer"Gewinn) aber die Marge auf jede pro- duzierte Einheit ist positiv. Die Produzentenrente ist Profit zuzüglich Fixkosten also π+F = ³²₃ + 12 = ⁶⁸₃ = 22.667(1 Punkt).

Aufgabe 4: Die Nachfragefunktionen sind

x_A1(p1, p2) = 5, x_A2(p1, p2) = 5p1

p₂, x_B1(p1, p2) = 10p2

3p₁ , x_B2(p1, p2) = 20 3 (1.5 Punke)

Die Markträumungsbedingungen sind

5 +10p₂ 3p1

= 10und 5p₁ p2

+ 20 3 = 10 (1.5 Punkte)

Ein möglicher Gleichgewichtspreisvektor ist (p1, p2) = (²₃,1). (1 Punkt)

Aufgabe 5

a) Peters Nachfrage nach Hamburgern ist

h(p) = 1

√p

(1 Punkt) Die Änderung der Konsumentenrente ist somit−R16 4

√1

pdp=−[2√

p]¹⁶₄ =−4.

(1 Punkt)

b) Kompensatorische und äquivalente Variation stimmen mit der Änderung der Konsu- mentenrente überein, da Peters Nutzen quasilinear im Konsum von Hamburgern ist. (1 Punkt)

Aufgabe 6

a) Die sozial optimale Anzahl von Jägern bestimmt sich aus der Gleichungsozialer Grenz- nutzen =soziale Grenzkosten, d.h. aus der Gleichung10n−2nJ =w(1 Punkt).

Die sozial optimale Anzahl an Jägern ist alsoJ^∗= ^10n−w_2n . (1 Punkt)

b) Nach a) giltJ^∗ = ^10n−w_2n . Damit J^∗ ≥1 beiw= 24muss n≥3 gelten. (1 Punkt) c) Damit zumindest ein Jäger eingestellt wird, muss der private Nutzen der Anstellung

eines Jägers höher sein als der private Nutzen, wenn kein Jäger eingestellt wird, d.h. es muss10−J²−w≥0 gelten. (1 Punkt)

Dies ist, unabhängig von der Anzahl der Jäger, der Fall wennw≤9. (1 Punkt) d) Die nötige Subvention ist s(J) = 10(n−1)J−(n−1)J². (1 Punkt)

Mit dieser Subvention ist der Nutzen des Dorfältesten bei Anstellung von J Jägern gerade

10J−J²+s(J)−wJ = 10nJ−nJ²−wJ und die Maximierung liefert J⁰ = ^10n−w_2n =J^∗. (1 Punkt)

Aufgabe 4:

a) Nachfragefunktion erhalten wir als Lösung der Gleichung V⁰(q) = p: 10− ¹₅q = p ⇒ D(p) = 50−5p. (1 Punkt)

Die Angebotsfunktion erhalten wir als Lösung der Gleichung C⁰(q) = p: ₂₅¹q = p ⇒ S(p) = 25p. (1 Punkt)

Der Gleichgewichtspreis ist also gegeben durch25p= 50−5p⇒ p^∗= ⁵₃. Die Gleichge- wichtsmenge ist ¹²⁵₃ . (1 Punkt)

b) Der Nettoumsatz der Firma in Abhängigkeit von abgesetzter Menge q und Marktpreis p ist

(p−T)q+ 5T , fallsq >5 pq, fallsq≤5 (2 Punkte)

c) Fallsp≤15erhalten wir die Angebotsfunktion aus Teil (i), d.h.S^T(p) = 25p. (1 Punkt) Falls ¹₅ < p≤T, lohnt es sich für den Anbieter nicht mehr als 5 Einheiten anzubieten, da zusätzliche Einheiten seinen Gewinn mindern würden. Also gilt S^T(p) = 5, falls p∈(¹₅, T]. (1 Punkt)

Fallsp > T, bestimmt sich das Angebot prinzipiell aus der Lösung der Gleichungp−T = C⁰(q):p−T = ₂₅¹q⇒S^T(p) = 25(p−T). (1 Punkt) Fürp≤T+¹₅ gilt aber25(p−T)≤5 und es ist weiterhin optimal 5 Einheiten anzubieten. (1 Punkt)

Zusammenfassend erhalten wir also

S^T(p) =







25p , p≤ ¹₅

5 , p∈(¹₅, T +¹₅] 25(p−T) , p > T +¹₅

d) Falls im Gleichgewicht keine Steuern gezahlt würden, müsste es ein p≤T+¹₅ geben, so dassS^T(p) =D(p). Zunächst gilt für jeden Preisp≤ ¹₅,S^T(p) = 25p <50−5p=D(p), so dass es in diesem Bereich kein Gleichgewicht geben kann. (1 Punkt) Fürp∈(¹₅, T+¹₅] giltS^T(p) = 5undD(p) = 50−5p. Für ein Gleichgewicht müssten wir alsop= 9haben.

DaT <8ist dies aber nicht möglich. (1 Punkt)

e) Im Gleichgewicht muss25(p−T) = 50−5p(1 Punkt) gelten und folglichp(T) = ^10+5T₆ (1 Punkt) sowie q(T) = ^250−25T₆ (1 Punkt).

f) Die ökonomische Steuerlast des Konsumenten beträgt ⁵₆ (1 Punkt).

Die Steuereinnahmen entsprechen (q(T)−5)T = ^220T−25T₆ ² (1 Punkt).