Analysis 1 12. Übung

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Prof. Dr. B. Kümmerer Fachbereich Mathematik

W. Reußwig, K. Schwieger 27. Januar 2010

Lösung 45 Ein Beispiel eines normierten Raums

d) Die Koordinatenauswertungen sind kontraktiv (insbes. stetig), d.h. für jedes x = (x_m)m ∈

`^∞ gilt

x_m

≤ kxk_∞. Konvergiert nun (x⁽ⁿ⁾)n gegen g, so ist

x⁽ⁿ⁾−g

∞ eine Nullfolge.

Somit bilden auch die Koordinaten

x_m⁽ⁿ⁾−g_m

≤

x⁽ⁿ⁾−g

∞ eine Nullfolge (in n), d.h.

(x_m⁽ⁿ⁾)n konvergiert gegen g_m. e) Für jedes n,m∈Ngilt

g_m

≤

g_m−x_m⁽ⁿ⁾

+

x⁽ⁿ⁾_m

≤

g−x⁽ⁿ⁾

∞+

x_m⁽ⁿ⁾ .

Sei" >0. Weil g der Grenzwert der Folge (x⁽ⁿ⁾) in `^∞ ist, gibt es ein n₀ ∈ N, so dass für

allen≥n₀ gilt

g−x⁽ⁿ⁾

∞< "/2 . Insbesondere gilt

g−x⁽ⁿ⁰⁾

∞ < "/2. Weiter ist x⁽ⁿ⁰⁾ = (x⁽ⁿ_m⁰⁾)m eine komplexwertige

Nullfolge. Es gibt also ein m₀∈N, so dass für allem>m₀ gilt

x_m⁽ⁿ⁰⁾

< "/2 .

Somit folgt für alle m≥n₀.

g_m

≤

g−x⁽ⁿ⁰⁾

∞+

x⁽ⁿ_m⁰⁾

< "/2+"/2=".

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